附加質量法和FSI 法用于弧形閘門動力特性分析的適用性

胡友一，王玨，陸中偉，鄭赟

（河海大學機電工程學院，江蘇 常州 213022）

0 引言

弧形閘門因其具有啟門力小、過水條件好、不設門槽等特點，是水工建筑物中運用最廣泛的門型之一[1]。與平面閘門相比，弧形閘門具有特殊的結構形式，其支臂結構以及門葉上下部懸臂端在動水荷載作用下更易發生振動破壞。為確保閘門安全，有必要對弧形閘門進行動力分析，在設計計算中通過計算閘門的自振頻率，并與作用水流的脈動頻率相比較，使閘門自振頻率盡量遠離水流的脈動頻率[2]。由于弧形閘門和流體之間存在相互作用，因此很有必要對考慮流固耦合效應的弧形閘門動力特性計算方法的適用性進行研究。

閘門的流固耦合動力分析可采用原型觀測[3-4]、模型試驗[5-6]、數值模擬[7-9]等方法，其中數值模擬方法相比于原型觀測和模型試驗更加便捷、高效，近年來在閘門動力學分析中得到廣泛應用。曹青等[2]采用Nastran 軟件建立了考慮弧門流固耦合效應的附加質量數值模型，分析表明流體對弧形閘門的動力特性有顯著的影響；上述研究中附加質量法是一種考慮流固耦合效應的簡化動力分析計算方法，計算效率相對較高，廣泛應用于閘門和流體相互作用的有限元模擬中，其中模型中的附加質量通常采用Westergaard 公式[10]來計算。而通過建立流體模型的流固耦合界面法（Fluid-Solid Interction，以下簡稱“FSI”）能夠準確地描述流體的運動，能更真實地反映流體和結構的動力相互作用。但是由于流體的無界性，建立足夠長的流體模型是保證有限元分析精度的一個關鍵問題。Buldgen 等[11-12]通過比較附加質量法和FSI 法計算得到的平面閘門在地震作用下的動水壓力以及動力響應，發現對于不完全剛性的結構，附加質量法的計算結果往往是不精確的，有必要采用FSI法計算以保證分析精度。與平面閘門不同，弧形閘門結構更加復雜。因此，有必要在保證弧形閘門問題中FSI 法流體模型長度合理取值的基礎上，來驗證附加質量法計算得到流體和閘門系統動力特性的計算精度，從而保證考慮流固耦合效應的閘門動力特性分析的準確性。在此基礎上，進一步采用擬靜力法[13]、振型分解反應譜法[14]、動力時程法[15-16]等對考慮流固耦合效應的閘門開展時域響應分析，研究流固耦合效應對閘門動力響應的影響規律。

本文以某工程弧形閘門為例，利用大型有限元分析軟件ANSYS 建立數值模型。首先為避免建立流體所需要的大量單元而降低計算效率，討論了FSI 法中流體有限元模型長度的合理取值，進而從弧形閘門剛度和水頭高度討論了附加質量法的計算精度，在此基礎上研究了流固耦合效應對弧形閘門動力特性的影響。

1 分析方法

1.1 附加質量法

附加質量法是由Westergaard[10]提出來的，其假設流體是無限長且不可壓縮的，基本思想是將動水壓力等效成質量附加在結構上，從而簡化流體對結構的作用，據此弧形閘門在動水壓力作用下的控制方程可寫為：

式中：M0、C0、K0分別為弧形閘門的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；Mf、Cf、Kf分別為流體的附加質量矩陣、附加阻尼矩陣、附加剛度矩陣；分別為弧形閘門加速度矩陣、速度矩陣和位移矩陣；F（t）為水流脈動壓力作用在結構上引起的荷載矩陣。

對于附加質量矩陣Mf，可以通過在ANSYS中對弧形閘門與流體交界面上的節點施加質量單元，每個單元的數值根據Westergaard 公式賦予：

式中：Mi為對應節點的附加質量；ρf為流體密度；Ai為流體作用下對應節點關聯單元的有效面積；H為總水頭高度；hi為對應節點與水面之間的距離。

對于結構阻尼矩陣C0，本文采用瑞利阻尼，公式如下：

式中：ξ 為結構阻尼比，本文取0.05；fi、fj為結構第i、j階自振頻率，本文取i=1，j=2。

在進行弧形閘門考慮流固耦合的結構動力分析時，附加阻尼Cf和附加剛度Kf對閘門動力特性的影響微乎其微，因此，這里忽略水體附加阻尼Cf與附加剛度Kf的影響，將水體附加質量對閘門動力特性的影響作為考慮的重點，因此運動方程式（1）可簡化為：

1.2 流固耦合界面（FSI）法

FSI 法是指對結構和流體分別建立運動方程，采用數值方法對其耦合求解，并將計算結果通過流固交界面進行信息交互傳遞的一種計算方法。

FSI 法需要在確定流域范圍的基礎上對流體進行建模，由于流體的無界性，需要建立足夠長的流體模型才能保證有限元分析結果的精度，從而反映實際流體的作用。在ANSYS 中采用流體單元建立流體模型，并施加邊界條件。而定義流固耦合界面是弧形閘門進行流固耦合模擬仿真時的關鍵問題，通過對弧形閘門與流體接觸的流體單元的FSI 命令來實現。最后采用非對稱矩陣法（UNSYMMETRIC）進行模態分析求解[17]。本文為避免建立流域需要劃分大量單元而增加計算難度，計算了不同流體模型長度以及水頭高度時弧形閘門的自振頻率，當結果收斂時即可確定流域的最小取值范圍，從而簡化流體模型。

2 分析對象及其模型

2.1 結構布置及基本參數

本文以某工程弧形閘門為例，閘門尺寸為6.9 m×9.21 m（寬×高），半徑為13.5 m，設計水頭6 m，底檻和支鉸高程分別為138.42 m 和128.72 m。該閘門為主橫梁式露頂弧形閘門，閘門采用板梁結構等高布置，水平向設置2 根實腹板主橫梁以及14 根水平次梁（包含頂、底梁），垂直向設置5 道實腹式隔板及2 道邊梁，據此組成梁格與面板直接焊接。閘門直支臂與主橫梁采用螺栓連接構成主框架，上下支臂中間設置一系列斜撐。閘門結構和流體的材料屬性如表1 所示。

表1 材料屬性Table 1 Material properties

2.2 有限元模型

1） 弧形閘門模型

將弧形閘門面板、主橫梁、縱隔板、邊梁、支臂劃分為Shell181 板單元，水平次梁、頂梁、底梁、支臂斜撐劃分為Beam189 梁單元，活動鉸劃分為Solid186 實體單元，弧形鋼閘門有限元計算模型如圖1 所示。其中節點和單元總數分別為14 575、11 922 個，圖中x軸（正）為順水流方向，y軸（正）豎直向上，z軸（正）為橫河向指向左岸。

圖1 弧形閘門有限元模型Fig.1 Finite element model of radial gate

在弧形閘門活動鉸的內表面約束x、y、z方向的移動自由度以及x、y方向的旋轉自由度，僅放松可以繞支鉸轉動的z向旋轉自由度；約束面板底邊y方向移動自由度。

2） 流體模型

流體分別采用FSI 法和附加質量法建立，水頭高度為6 m，如圖2 所示。FSI 法流體模型采用Fluid30 流體單元建立，模型長度根據弧形閘門水頭高度按一定比例選取。該流體模型的節點和單元總數分別為23 977、51 777 個，在模型底面約束y方向移動自由度，兩個側面約束z方向移動自由度。附加質量模型采用MASS21 單元建立，施加在面板與流體接觸面上的所有節點上，單元實常數根據公式（2）的計算結果來定義。

圖2 流體有限元模型Fig.2 Finite element model of fluid

3 計算結果分析

3.1 FSI 法流體收斂性分析

采用附加質量法和FSI 法計算得到弧形閘門在不同水頭下的自振頻率，計算結果如表2 所示。其中h為水頭高度，L為流體模型長度。從表2 可以看出，FSI 法中流體模型的長度由h增加到1.5h時，弧形閘門所得同階自振頻率相差較大，尤其是在9 m 水頭下第二階的自振頻率相差最大且超過了40%；而當流體長度達到2h時，前六階頻率的計算結果收斂。因此，為避免建立流體所需要劃分大量單元而增加計算難度，本文建議FSI 法模型流體長度取L=2h來代替實際流體的無界性。

表2 基于附加質量法和FSI 法的不同水頭下弧形閘門自振頻率Table 2 Natural vibration frequencies of radial gates under different water heads based on the added-mass and FSI methods Hz

3.2 附加質量法適用性分析

圖3 將采用FSI 法（L=2h）計算所得弧形閘門在不同水頭下的自振頻率與采用附加質量法的計算結果進行了對比，結果表明：附加質量法在計算3 m 和6 m 水頭下的弧形閘門前六階自振頻率時，能得到較高的精度。但隨著水頭增大到9 m，采用附加質量法計算得到的閘門高階頻率與FSI法具有一定偏差，其中最大的偏差近20%，平均偏差近10%。因此對于低水頭的弧形閘門，為了提高計算效率，可以采用附加質量法模擬流體；但是對于高水頭的弧形閘門，為了保證計算精度建議采用FSI 法。

圖3 附加質量法與FSI 法計算所得頻率偏差Fig.3 Frequency deviation calculated by the added-mass and FSI methods

為了研究弧形閘門剛度對附加質量法精度的影響，本算例基于FSI 法（L=2h）和附加質量法計算對比了弧形鑄鐵閘門（彈性模量1.22×105MPa）和鋼閘門（彈性模量2.10×105MPa）在6 m 水頭下的自振頻率，如表3 所示。結果表明，隨著弧形閘門剛度減小，附加質量法相比于FSI 法各階自振頻率偏差明顯增大。因此，對于剛度較小、柔度較大的弧形閘門，附加質量法的計算精度較低，建議采用FSI 法模擬流體。

表3 不同剛度弧形閘門基于FSI 和附加質量法在6 m 水頭下的自振頻率Table 3 Natural vibration frequencies of radial gate with different stiffness under 6 m water head based on the added-mass and FSI methods

3.3 弧形閘門動力特性參數分析

主要從弧形閘門在不同情況下的自振頻率和振型來分析流固耦合效應的作用效果。表2 反映了考慮流固耦合效應下水頭高度對弧形閘門自振頻率的影響。通過對比自振頻率的結果，可以看出：隨著水頭的增加，弧形閘門的各階自振頻率均有不同程度的下降。其中，閘門前兩階的頻率變化相對較小，原因是由于閘門本身跨度較小、剛度較大，附加質量對自振頻率影響相對較小。該閘門從無水到9 m 水頭后四階的自振頻率降幅分別為14.3%、40.0%、42.9%、38.0%。由此可見，流體與結構的流固耦合作用對于弧形閘門自振的影響不可忽略。從閘門振型的角度出發，討論了弧形閘門在無水和9 m 水頭工況下的前五階振型，表4 闡述了相應的振型特點，圖4—圖8為相應的振型圖。結果表明：

圖4 第一階振型圖Fig.4 The 1st mode of vibration diagram

圖5 第二階振型圖Fig.5 The 2nd mode of vibration diagram

圖6 第三階振型圖Fig.6 The 3rd mode of vibration diagram

圖7 第四階振型圖Fig.7 The 4th mode of vibration diagram

圖8 第五階振型圖Fig.8 The 5th mode of vibration diagram

表4 弧形閘門振型特點Table 4 Mode of vibration characteristics of radial gate

1） 在第1 階模態下，2 種工況下弧形閘門均表現為整體（包括支臂和門葉）的側向運動，流體對結構的局部變形影響較小；在高階模態下，弧形閘門基本以支臂和面板的振動為主，這是由于面板和支臂的剛度相對較低，在動水壓力作用下可能引起強烈振動；

2） 無水情況下閘門的低階模態均呈現出支臂的變形，其中前三階表現為整體運動，四到五階表現為支臂的局部變形；隨著水頭增至9 m，閘門主要的變形由支臂轉移到面板，究其原因在于面板上的附加質量對支臂的偏心矩減小，其中上面板（上主梁上方）相當于懸臂梁，極易引起其發生徑向振動。

4 結語

本文討論了附加質量法和FSI 法在考慮弧形閘門流固耦合動力特性分析中的計算精度問題，并從弧形閘門水頭高度和剛度的角度提出了附加質量法的適用性建議。

1） 為避免建立流域所需要劃分大量單元而增加計算難度，本文建議FSI 模型流體長度取到2倍的水位高度來模擬實際流體的無界性。對于低水頭且剛度較大的弧形閘門，為了提高計算效率，可以采用附加質量法考慮流固耦合效應，但對于高水頭或者低剛度的弧形閘門，為了保證計算精度建議采用FSI 法。

2） 弧形閘門的自振頻率隨著水頭的增高而降低，其振型以面板和支臂的振動為主，閘門主要的變形由支臂轉移到面板，這是因為面板上的附加質量對支臂的偏心矩減小，其中上面板（上主梁上方）極易發生徑向振動。