基于HPM視角的概率論與數理統計課程思政探究*
——以正態分布為例

楊曉航

(河南工學院 理學部,河南 新鄉 453003)

0 引言

概率論與數理統計是研究和揭示隨機現象統計規律性的一門數學課程,旨在培養學生的概率思維和統計分析能力。概率論主要研究隨機現象及統計規律性的數量關系,而數理統計以概率論為基礎,研究如何有效地收集、整理和分析隨機數據,并做出統計推斷。概率論與數理統計是當前很多重要的學科如金融學、信息學、人工智能等的基礎,其與生活實際關系緊密,有極高的應用價值[1]?；跀祵W史與數學教育(History and Pedagogy of Mathematics,HPM)視角,在課堂上融入學科發展的歷史與成就,有利于與課程思政有機融合,將傳授知識、培養能力和塑造價值三者融為一體,將教學引向更高的層次[2]。

正態分布是一個在數學、物理等領域都非常重要的概率分布,在統計學的許多方面有著重大的影響力。在進行正態分布教學時可深挖其發展史料,這有利于學生深刻理解概率思想的形成過程,化解他們對于正態分布概率密度函數的畏難情緒;有助于激發學生的學習興趣,促進學生的人格養成,實現知識傳授和價值引領的統一,貫徹落實立德樹人的根本任務[3]。

1 教學背景

正態分布在概率論與數理統計中的地位十分特殊,在學習了離散型隨機變量之后,正態分布作為最重要的連續型隨機變量,既是對前面內容的補充,又是后續學習統計推斷和假設檢驗的基礎。正態分布是由二項分布發展而來的,這一發展過程主要得益于數學家們對中心極限定理和誤差分析的研究。中心極限定理的主要推動者是拉普拉斯,他的研究對概率論領域產生了深遠影響。而誤差分析的主要推動者則是高斯,他的研究主要集中在數理統計領域。正態分布的教學重點是正態分布概率密度曲線的特點和性質,難點是利用正態分布解決生活實際問題。

概率密度函數概念十分抽象,教材一般都未說明其是通過什么原理推導出來的,學生無法將其和前置知識建立聯系,也無法體會正態分布在生活實際中的應用價值,在學習時極易產生畏難情緒。基于HPM視角,教師應預見學生的認知發展,在教學中融入正態分布的發展歷史,讓學生切身體會概念的形成過程[3]。

2 教學思路

在學習正態分布概率密度曲線前,學生已經學習了包括兩點分別、二項分布和泊松分布在內的離散型隨機變量以及均勻分布、指數分布兩種連續型隨機變量,并且在高中階段對正態分布有了一定了解。在此基礎之上,可基于HPM視角引出兩條線索,其一是通過棣莫弗(Abraham de Moivre)的故事介紹二項概率逼近,其二是通過高斯(Gauss)的故事介紹誤差分析,兩條線索都可導出正態分布,引導學生體會知識形成的過程[4]。教師可先通過GeoGebra軟件幫助學生直觀認識正態分布密度曲線及兩個參數對曲線的影響,進而講解標準正態分布及Φ(x)函數表的查用,最后突破難點3σ準則及正態分布在生活中的應用。

圖1 教學流程圖

3 教學設計

3.1 引入歷史,激發興趣(附加式)

教師可采用附加式引入數學史的方法,在正式上課之前通過超星學習通平臺向學生推送分組學習任務:探尋德國10馬克鈔票正面圖案(圖2)背后的故事,并在課堂上相互分享。

圖2 德國1993年版10馬克鈔票正面

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正態分布的概率密度函數在上述的積分公式中出現了,二項分布的極限分布便是正態分布,同時,也為統計學史上占據重要地位的中心極限定理奠定了基礎。附加式數學史的融入重演了正態分布的發現過程,可使學生認識到了正態分布在概率論與數理統計中的地位,對正態分布概念的形成有了整體的印象,也消除了學生的畏難情緒。

3.2 正態分布的發展(復制式)

圖3 高爾頓板

此時可以采用復制式的方法將數學史融入教學,即引導學生解決高爾頓板問題,深化學生對連續型隨機變量概率密度函數的理解及正態分布的理解?？梢酝ㄟ^以下三個問題進行引導:

(1)高爾頓板最直接推出的是二項分布,而不是正態分布,那它是如何趨于正態分布的?

(2)從二項分布到正態分布,主要問題是估計階乘,能否參考附加式引入中介紹的棣莫弗的方法使用斯特林公式解決?

(3)這個數學問題的解決使你對正態分布有了哪些不一樣的認識?

在高爾頓板實驗中,小球每隨機自由下落一層都有向左或向右的可能,小球最終的落點受到一些因素的左右。類似地,在自然界中許多隨機現象都受到各種干擾因素的影響,這些因素會影響事件的分布。然而,在這些干擾因素疊加的情況下,只要樣本數量足夠大,這些隨機現象通常會遵循正態分布規律。教師重視數學知識的形成過程,引導學生追尋數學知識產生的思維軌跡,就更能他們感受數學之美,培養他們的數學精神。

3.3 依據現實情境,深入理解

學生已經加在高中階段掌握了正態分布概率密度函數的性質,大學課堂上教師可以使用Geogebra軟件畫出正態分布概率密度圖像(如圖4),并分別設置參數μ和σ的滑動條,通過動態演示直觀展示兩個參數值的改變對圖形的下影響:

圖4 正態分布概率密度圖像

(1)曲線關于x=μ對稱,當固定σ,改變μ的值,圖形沿著Ox軸平移,而不改變形狀。

此時,教師可以給出一個例題,建議選擇身高、體重、成績等與學生生活關系緊密的問題,突出正態分布應用價值的體現,例如。

公共汽車是人們日常出行經常使用的交通工具,請同學們幫忙設計公共汽車車門的高度,要求成年男性在上下車時與車門頂頭碰頭機會在小于0.01以下。設男子身高X∶N(170,62),車門的高度應如何確定?

借由此類例子引出3σ準則,教師可用GeoGebra軟件繪制標準正態分布函數(如圖5),輸入對應區間求得具體概率及填充顏色,向學生展示當X∶N(0,1)時,P{-1≤X≤1}=68.26%,P{-2≤X≤2}=95.44%,P{-3≤X≤3}=99.74%。

圖5 3σ準則

當X∶N(μ,σ2)時,仍然有P{μ-σ≤X≤μ+σ}=68.26%,P{μ-2σ≤X≤μ+2σ}=95.44%,P{μ-3σ≤X≤μ+3σ}=99.74%,隨機變量X落在(μ-3σ,μ+3σ)內幾乎是肯定的事。

4 小結

正態分布概率密度函數及分布函數看起來是非常復雜的,但它不是為了定義而定義,是為了解決我們生活中實際遇到的問題而定義的[7]。數學史上還有許許多多和正態分布相似的定理,它們的發現往往歷經艱辛,需要幾代數學家的努力,而當學生直面一個嚴謹而抽象的定理時,教師應結合數學史將定理的形成過程展現給學生。這樣既可以讓學生系統而全面的接受知識,又可以促進學生數學思維的形成。學生意識到知識的形成是如此不易,會在被數學家百折不撓、不斷探索的精神感染下,激發出對數學學習的熱情。