數形結合思想在高中數學教學中的應用策略

鄭冬

【摘要】“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性，根據二者的對應關系指導學生進行數學研究是數學教學的有效途徑.文章先介紹了數形結合思想的內涵，然后結合具體教學案例說明該思想在教學導入、精講、練習、總結等教學環節中的具體應用策略，以期為優化高中數學教學提供確切參考.

【關鍵詞】數形結合思想；高中數學；教學；應用策略

高中數學以研究事物的數量關系與空間形態為重點，旨在培養高中生從不同角度認識事物的思維能力.教師將抽象思維與形象思維培養教學有機結合，能夠促使學生在直觀觀察數學對象的過程中探析其本質特征.而要做到這一點，教師需要將數形結合思想靈活應用到數學課程教學當中.作為教學工作的實施者，教師有必要把握數形結合思想的內涵，同時根據課程教學規律思考該思想在不同教學環節中的應用策略，并在教學過程中總結經驗，不斷推進高中數學教學的優化.

一、數形結合思想的內涵

數學以“數”與“形”為基本研究對象，二者在合適的條件下可以相互轉化.“數”具有精確性，可用于闡明事物的具體屬性；“形”具有直觀性，可用于闡明事物的空間形式.數形結合思想以“數”與“形”的聯系為基礎，根據二者的對應關系轉化“數”或“形”的形態，以此直觀呈現問題內容，抽象表達問題原理.在高中數學教學中，數形結合思想占據重要地位.教師可以利用數軸圖、函數圖像、單位圓、三角形等直觀圖示實現“以形助數”，幫助學生解決集合、二次函數、指數函數、不等式等代數難題；還可以利用集合的運算、函數解析式、直線方程、曲線方程、向量坐標運算等數學公式實現“以數解形”，幫助學生快速解決立體幾何、平面解析幾何等幾何難題.這樣，教師在教學中通過“以形助數”或“以數解形”將代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述有機結合，使代數、幾何問題相互轉化，有利于學生充分理解數學原理的本質特征，掌握數學概念和運算的幾何意義以及常見曲線的代數特征.

二、數形結合思想在高中數學教學中的應用策略

（一）導入環節借圖激趣，提高學習效能

良好的開端是成功的一半.要保證課堂教學效果達到預期，教師就要做好導入環節的引導教學工作，應認識到教學導入激趣、引起學習動機、建立新舊知關系的重要教學作用，并利用數形結合思想將學生過去所學知識、新課涉及教學內容結合起來呈現給學生，由此引發其求知欲，促使其基于舊知遷移新知.新課引入時，教師可以圍繞課程主題出示相應圖示，之后提出引導性問題，利用直觀的圖形減弱高中數學教學內容的復雜性與抽象性，利用引導性問題驅動學生主動探究新知，提高其學習效能.

以湘教版數學必修第一冊“集合”一課教學為例，教師可聯系小學集合教學內容引入新課：爺爺、奶奶、爸爸、媽媽、外公、舅媽、小明、叔叔8人去蔬果園采摘西紅柿與草莓，他們的分工如圖1所示，你能發現什么？

這樣將生活化場景與Venn圖結合應用于教學導入環節，一方面可以拉近學生與新課教學內容的距離，引發其學習興趣；另一方面能促使學生回顧小學期間所學集合知識，對具體問題加以說明.在此基礎上，教師可以提出引導性問題，如：像這樣根據事物特征對其進行分類，分類后的事物群體可用什么來表示？這個“群體”如何用數學語言描述？構成“群體”的“個體”又該怎樣表示？然后指導學生觀察Venn圖：爸爸、外公、舅媽、叔叔4人構成了“采摘西紅柿”的群體；爺爺、奶奶、媽媽、小明4人構成了“采摘草莓”的群體，指導學生在觀察圖示的過程中從個體、整體的角度分辨相關內容，之后引出集合與元素的概念，加深其感悟.

（二）精講環節借圖探究，提高教學深度

新知教學環節是課堂教學的關鍵環節.把握學生認知規律并合理呈現教學內容，才能夠提高學生認知.鑒于高中數學教學內容的抽象性與復雜性，直接為其灌輸基本概念、性質、原理容易造成其淺層學習，不利于其對相關知識的內化與吸收.為此，教師可應用數形結合思想，提出代數問題驅動學生合作討論，促使其感悟數學規律.

學貴有疑.在新知教學環節提出問題可激活學生思維，使其盡早進入學習狀態.為保證學生的主觀能動性被充分調動，教師可以結合現實生活中的常見問題提問，并作出細致要求，確保學生能夠按照教師設想列式計算、討論分析，感悟數學規律.

以湘教版數學必修第一冊“一元二次不等式”一課教學為例，教師可在新知講解環節提出現實問題：學校打算在草坪上用柵欄圍一個矩形區域種植花卉.若柵欄的總長度是24米，圍成的矩形區域的面積要大于20平方米，則這個矩形的邊長應為多少米？提問后，教師要求學生設未知數，盡可能少地引入未知量.學生設長為x米，建立了不等關系x2-12x+20<0，經歷了從實際問題中抽象出一元二次不等式的過程，形成建模能力.在此基礎上，教師可借助GeoGebra軟件畫出函數y=x2-12x+20的圖像，在圖像上隨機取一點A（x，y），拖動A在圖像上移動，讓學生回答，隨著點A位置的改變，其縱坐標有著怎樣的變化規律，如：

（1）當A點的縱坐標為0時，其橫坐標怎么求？

（2）這個一元二次方程x2-12x+20=0的兩個實數根與二次函數y=x2-12x+20有什么關系？

（3）這個發現可以推廣到一般情況嗎？

（4）繼續觀察，二次函數y=x2-12x+20的兩個零點將x軸分成三段，每一段（不包括零點）對應的函數圖像有什么特點（重點觀察函數值）？

（5）結合圖像談談上面例子，矩形的邊長可以是多少？

借助軟件繪制函數圖像并設置問題串，能夠逐步引導學生從函數圖像角度切入，感悟方程的根與函數圖像之間的關系，進而從圖像就能得到相應的不等式解集，體會函數圖像所起的作用.

（三）練習環節數形結合，提升解題能力

優質的高中數學課堂要確保說理教學與練習教學的有機統一.觀察配套練習冊、高考試卷中的數學習題不難發現，部分數學問題可應用列式運算、代入求值等常規方法解決，但部分數學問題卻需要從代數、幾何兩個角度出發綜合分析.高中數學練習教學環節以培養學生解題能力為重點.為保證學生學會綜合“數”與“形”的關系解決問題，教師有必要設計數形結合類型練習題，驅動學生在審題、解題、反思的過程中總結解題技巧.需要注意的是，學生的思維發展呈螺旋上升特征.教師設計練習題目時應遵循該規律，先設計簡單問題使學生形成數形結合意識，再設計復雜問題發展其數形結合思維.

以湘教版數學必修第一冊“函數的基本性質”一課教學為例，教師完成函數的單調性、奇偶性等說理教學后，可依次設計如下習題：

第（2）題以函數的奇偶性為主要考點，難度中等.根據g（x）=f（x-2）是奇函數可得f（x）的圖像關于（-2，0）中心對稱，再由已知可得函數f（x）的三個零點為-4，-2，0；由g（x）=f（x-2）知g（x）是把函數f（x）向右平移2個單位得到的，且g（2）=g（0）=0，f（-4）=g（-2）=-g（2）=0，f（-2）=g（0）=0，得到f（x）的大致圖像如圖3所示，結合函數圖像可知，當x≤-4或x≥-2時，xf（x）≤0，得到正確答案為C選項.

第（3）題綜合考查了函數的基本性質，難度較高.數形結合是解決該問題的突破口.首先作出函數f（x）的圖像，如圖4所示，觀察圖像，當x=1時，y最小，最小值為2；當x=0時，y=3；當x=2時，y=3.又函數y=x2-2x+3在閉區間[0，m]上有最大值3，最小值2，則實數m的取值范圍是[1，2]，得到正確答案為C選項.

這樣設計難度進階的數學問題驅動學生應用數形結合思想進行分析求解，可以滿足學生學以致用的學習需求，提升其解題能力.

（四）總結環節數形雙用，鞏固學習成果

總結環節是高中數學課堂教學的收尾環節，主要用于匯總課堂教學知識點，夯實學生學習成果.此環節中，若教師直接采取注入式教學手段羅列重要知識點，難免會讓學生陷入死記硬背的學習困境，影響其總結質量.為避免出現這一問題，教師可根據數學研究中“數”與“形”的關系指導學生自主歸納.一方面出示圖形，要求學生識圖列式，說出相關原理；另一方面出示代數式，要求學生繪圖解釋，聯想空間形式.

以湘教版選擇性必修第一冊“直線與圓、圓與圓的位置關系”一課教學為例.教師可先出示幾何圖形，提出問題：如圖5所示，如何判斷這條直線與圓的位置關系？

這樣，分別應用圖示驅動學生聯想直線與圓位置關系中反映的數量關系，應用數量關系驅動學生聯想圓與圓的位置關系，使學生在“數”與“形”靈活轉化的過程中完成對新課教學內容的內化與吸收，達到鞏固其學習成果的教學目的.

結 語

“形”具有直觀性，“數”具有精確性，在高中數學課堂教學中結合使用“數”與“形”，有利于學生建構完整的知識體系，提高其認知水平.實際教學中，教師應明確課堂不同環節的主要育人任務，如導入環節應激發學生探究意識，精講環節應提高其認知水平，練習環節應訓練其遷移應用思維，等等.根據不同環節的教學需要靈活使用數形結合思想，確保學生在識圖、列式、綜合分析的過程中真正掌握數學原理，形成深刻認知.除此之外，教師還應不斷在教學過程中汲取經驗教訓，不斷改進教學方法，確保學生在對比圖形、分析代數式的過程中扎實掌握數學原理與思想方法，提高其學習有效性.

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