改進停止閾值準則的振動信號降噪方法研究

楊坤，王桂寶，王楠，王磊，李一飛

（1.陜西理工大學機械工程學院，陜西漢中 723001；2.陜西省工業(yè)自動化重點實驗室，陜西漢中 723001）

0 前言

機械振動信號蘊含著設(shè)備運行過程中的重要信息，在監(jiān)測旋轉(zhuǎn)機械的運行狀態(tài)時，通常需要采集設(shè)備機組主要部件的振動信號數(shù)據(jù)，如滾動軸承、齒輪箱、加速器等。并且根據(jù)這些數(shù)據(jù)，運用信號變換等理論把信號轉(zhuǎn)換到頻域內(nèi)來處理，繼而進行設(shè)備故障的監(jiān)測與診斷［1］。在旋轉(zhuǎn)機械設(shè)備的監(jiān)測環(huán)境中，設(shè)備內(nèi)部及外界都會產(chǎn)生較強的噪聲，這些噪聲信號不可避免地會摻雜到純凈的振動信號中，使得振動信號特征提取難度加大，繼而會對信號分析處理結(jié)果產(chǎn)生負面影響［2］。

近年來，壓縮感知理論為信號降噪這一方向提供了新思路。呂麒鵬等［3］在提取滾動軸承原始振動信號的故障頻率時，由于該信號存在著強背景噪聲，嚴重影響提取故障頻率的效率，甚至還會提取到錯誤的故障頻率，在使用壓縮感知理論對原始振動信號進行降噪處理后，故障提取效率、準確性以及計算效率得到大幅提高。郭亮等人［4］利用Lasso 算法對壓縮信號進行稀疏重構(gòu)，恢復(fù)出振動信號，對于時變信號具有很好的壓縮能力，并且能夠有效地去除信號中的噪聲成分。

在信號重構(gòu)階段使用最廣泛的是正交匹配追蹤算法，但是該算法的迭代誤差會在迭代循環(huán)中繼續(xù)傳導，導致重構(gòu)階段所得信號的精度比較低［5］。此外，在信號降噪的迭代過程中，觀測向量內(nèi)積序列的主要成分為純凈信號的信息。經(jīng)過多次迭代后，純凈信號成分逐漸被提取出來。迭代閾值選取不當?shù)脑挘貥?gòu)后的信號將包含大量的噪聲成分［6］。

為了解決上述問題，本文作者提出一種改進停止閾值準則的正交匹配追蹤（Improved Orthogonal Matching Pursuit，IOMP）算法，將其應(yīng)用于振動信號的降噪階段，并且根據(jù)不同類型信號的稀疏系數(shù)分布情況，計算出不同的迭代終止閾值ε，在經(jīng)典重構(gòu)算法中加入一種篩選判斷條件。此判斷機制可以避免誤差的持續(xù)迭代，提高了重構(gòu)信號的精確度。

目前在使用小波降噪理論處理非平穩(wěn)振動信號時，需要設(shè)定閾值對分解系數(shù)進行處理，而閾值的設(shè)置恰當與否，很大程度上影響著降噪效果［7］。文中方法還可避免小波閾值設(shè)定的問題，通過對振動信號進行壓縮投影和重構(gòu)實現(xiàn)信號的降噪。因此，使用優(yōu)化的降噪算法對噪聲信號進行去噪處理，會提高后續(xù)信號處理結(jié)果的準確性。

1 基于壓縮感知理論的信號降噪數(shù)學模型

1.1 噪聲信號與觀測矩陣的構(gòu)造

首先定義一個不含噪聲的振動信號x∈RN，定義另一個噪聲信號為n∈RN，將這兩個信號進行和運算得到含噪信號c＝（x＋n）∈RN。

選取一個觀測矩陣，對原始信號先進行觀測降維。文中采用的觀測矩陣Φ∈RM×N（M ＜N）是隨機高斯測量矩陣［8］，該矩陣的每個元素獨立服從均值為0、方差為1／M的高斯分布。即

含噪信號c在觀測矩陣Φ下進行觀測投影，得到的觀測量y為

1.2 稀疏系數(shù)的分布

目前，用來進行信號稀疏表示的方法很多，對不同類型的信號使用不同的稀疏字典其效果是千差萬別的［9］。而文中的研究對象主要是滾動軸承的振動信號，這種類型的信號在離散余弦變換［10］下具有不錯的稀疏性，但是噪聲信號不屬于稀疏信號，故DCT（Discrete Cosine Transform）稀疏字典對噪聲信號沒有稀疏化的能力。在后續(xù)的觀測階段，振動信號會保存下來，然而噪聲信號是不能恢復(fù)重構(gòu)的。

DCT 字典矩陣Ψ∈RN×N的元素可通過式（3）進行計算；

由壓縮感知理論知，若一維信號x2∈RN在DCT字典矩陣下是稀疏的，則信號x2在該字典矩陣下的稀疏表示為

式中：Ψ-1∈RN×N為稀疏矩陣；s∈RN×1為系數(shù)向量。

所以振動信號x和噪聲信號n在DCT 字典矩陣下稀疏表示分別為式（5）（6）所示：

式中：s1和s2分別表示純凈振動信號和噪聲信號。

在Ψ對應(yīng)空間上的稀疏系數(shù)向量：

將式（5）和式（6）代入式（2）中可得

令A(yù)＝Φ·Ψ-1，則

式中：A∈RM×N稱為感知矩陣。

得到s1后，繪制該稀疏系數(shù)的分布直方圖，再用正態(tài)分布檢驗的方法檢驗其是否服從正態(tài)分布；若服從，用式（11）（12）計算出s1的數(shù)學期望μ和標準差σ。

式中：n為信號的采樣數(shù)目；pk是每個稀疏系數(shù)s1出現(xiàn)的概率。

再以3σ準則計算出的迭代終止閾值ε：

當更新殘差的二范數(shù)小于迭代終止閾值ε時，即，則需要停止迭代循環(huán)，否則重構(gòu)信號會包含大量的噪聲，降噪效果會大幅降低。不同類型信號的稀疏系數(shù)分布情況是不同的，以3σ準則計算出的迭代終止閾值ε能將99.74%的稀疏系數(shù)按照大小關(guān)系區(qū)分開［11］。

在通常情況下，判斷感知矩陣A是否滿足約束等距條件是一個NP-hard 問題，因此文獻［12］指出RIP 的等價條件為：若觀測矩陣Φ與稀疏表示字典矩陣ψ不相關(guān)，即要求Φ的行向量不能由ψ的列向量表示，且ψ的列向量不能由Φ的行向量表示。如果矩陣Φ和矩陣ψ不相關(guān)，就可以應(yīng)用相關(guān)重構(gòu)算法得到稀疏向量s1的估計值，進而得到降噪后的重構(gòu)信號。

1.3 OMP 重構(gòu)算法及其改進方法

前面兩個小節(jié)構(gòu)造了觀測矩陣和稀疏字典矩陣，滿足振動信號可以使用壓縮感知理論降噪的前提條件之后，接下來需要用重構(gòu)算法求解如下的最優(yōu)化問題：

為了求解此問題，可以將式（14）轉(zhuǎn)化為式（15），這可以將零范數(shù)轉(zhuǎn)化為l1范數(shù)問題

令A(yù)＝ΦΨ，則式（15）可寫為

與全樣本一致，管理層能力對研發(fā)投入影響在國有組和民營組均表現(xiàn)為1%顯著性水平的抑制作用。二者相關(guān)系數(shù)分別為-0.0755和-0.0518，這說明，雖然我們不能忽視高技術(shù)企業(yè)中國有經(jīng)濟占據(jù)較高比重的合理性，但國營企業(yè)繁冗的決策機制與治理架構(gòu)，加之經(jīng)營目標的多元性，可能使高能力管理者進行高風險創(chuàng)新活動的意愿更低，驗證了假設(shè)1b。

對于上述問題，目前較多使用OMP 算法來求解，得到稀疏向量的估計值后，代入式（4）便可恢復(fù)出原始純凈的振動信號。

但是在OMP 算法的迭代運算中，迭代誤差將會在下次循環(huán)中繼續(xù)傳導，導致該算法的穩(wěn)定性較差［13］，因此本文作者將一種改進停止閾值準則的OMP 運用到壓縮感知的解碼端。為了改進該算法的重構(gòu)效果，在求解最小二乘解的步驟之后加入了篩選判斷條件［14］，并加入迭代終止閾值ε。此判斷機制可以避免誤差的持續(xù)迭代，提高了重構(gòu)信號的精確度；迭代終止閾值ε能夠確保只將振動信號的主要信息恢復(fù)出來，把噪聲成分在觀測投影的過程中丟棄，并且在重構(gòu)的過程中不提取出來，使得重構(gòu)信號既保留原始純凈信號的主要特征，又具有較好的去噪效果，且不降低重構(gòu)精度；因此確定迭代終止閾值ε非常重要。

首先給出改進終止閾值準則的OMP 算法的步驟如下：

由上述步驟可以得到如圖1 所示的改進終止閾值準則的OMP 算法流程。由此基于壓縮感知理論的振動信號降噪模型建立完成，下文將采用仿真信號與實測信號相結(jié)合的方法探究所提改進方法的可行性和有效性。

圖1 改進終止閾值準則的OMP 算法流程Fig.1 OMP algorithm flowchart to improve termination threshold guidelines

2 試驗驗證

2.1 仿真信號驗證

為了模擬滾動軸承振動信號的真實工況，可以定義仿真信號［15］進行數(shù)值模擬的仿真分析，如式（20）所示：

式中：x（t）＝2sin（2π×ft1nT）×5.5sin（2π×ft2nT）＋4sin（2π×ft3nT）；n（t）為SNR 為2 dB 的高斯白噪聲；采樣間隔T＝1／4 000 s；采樣數(shù)n＝1 000；組成x（t）的頻率分量分別為ft1＝50 Hz，ft2＝1 600 Hz，ft3＝20 Hz。x（t）與n（t）的信號波形如圖2、3所示。

圖3 高斯白噪聲信號的時域波形Fig.3 Time domain waveform of a white Gaussian noise signal

然后將這兩種信號進行和運算得到帶噪信號y（t）的波形，如圖4 所示。3 種信號的定義完成后，則需對其稀疏性進行分析。首先利用DCT 字典矩陣將信號進行稀疏表示，得到純凈信號與高斯噪聲信號稀疏系數(shù)分別如圖5、6 所示，可以看出：這兩種信號經(jīng)過字典稀疏表示后，原始信號x（t）大量的稀疏系數(shù)都是較小值，接近于零值上下浮動，只有極個別的數(shù)值較大；反觀噪聲信號的稀疏系數(shù)并沒有在零值上下浮動，數(shù)值較大，接近零的值很少。這表明DCT字典矩陣對x（t）的稀疏表示效果非常好，對n（t）并沒有很好的稀疏性。

圖4 帶噪信號時域波形Fig.4 Time domain waveform with noisy signal

圖5 純凈仿真信號的稀疏表示系數(shù)向量Fig.5 Sparse represented coefficient vector for pure simulated signal

圖6 高斯噪聲信號的稀疏表示系數(shù)向量Fig.6 Sparse represented coefficient vector for Gaussian noise signal

為了詳細掌握稀疏系數(shù)s1的分布范圍，則需要畫出該組系數(shù)的頻數(shù)分布直方圖如圖7 所示。可清晰地發(fā)現(xiàn)，大量數(shù)值分布在零值附近，并且分布情況也近似滿足正態(tài)分布曲線。

圖7 純凈仿真信號的稀疏表示系數(shù)分布Fig.7 Sparse represented coefficient distribution of pure simulated signal

圖8 純凈仿真信號的正態(tài)分布檢驗圖Fig.8 Normal distribution test plot of pure simulated signal

然后分別應(yīng)用正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法和改進停止閾值準則的正交匹配追蹤算法對帶噪信號進行降噪，得到兩種方法的降噪信號波形如圖9、10 所示。可知：改進停止閾值準則的正交匹配追蹤算法所重構(gòu)的信號明顯比正交匹配追蹤算法所重構(gòu)信號的時域波形更接近于原始純凈的信號。

圖9 OMP 算法降噪信號時域波形Fig.9 OMP algorithm noise reduction signal time domain waveform

圖10 改進停止閾值準則OMP 算法降噪信號波形Fig.10 Improved stop threshold criterion OMP algorithm noise reduction signal waveform

為了進一步評判降噪效果，可以定義信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）來衡量降噪性能的高低：

計算結(jié)果如表1 所示，可知：降噪前信號的信噪比為-1.025 7 dB，使用OMP 重構(gòu)算法降噪后信號的信噪比為1.292 5 dB，使用改進停止閾值準則的OMP重構(gòu)算法降噪后信號的信噪比為2.054 9 dB。通過對比可以看出，使用文中降噪方法可有效提升信號的信噪比，并且重構(gòu)信號所需的觀測量遠小于其他降噪方法，從而驗證了所提降噪方法的有效性。

表1 不同重構(gòu)算法降噪信號的信噪比Tab.1 Signal to noise ratio of denoised signals by different reconstruction algorithms

2.2 實測振動信號驗證

旋轉(zhuǎn)機械設(shè)備的運行狀態(tài)復(fù)雜多變，這些設(shè)備的振動信號大多屬于非平穩(wěn)信號。這類信號的統(tǒng)計特性都隨著時間變化而變化，因此降噪難度比較高。

下面使用實測振動信號來檢驗方法的效果，試驗中采用的實測信號來源于美國凱斯西儲大學軸承實驗中心［16］，軸承型號為6205-2RS JEK SKF 深溝球軸承，采樣頻率為12 kHz，轉(zhuǎn)速為1 750 r／min，負載746 W（2 HP），該振動信號的時域波形如圖11 所示。在該信號中加入高斯白噪聲形成強噪聲背景下的帶噪信號，如圖12 所示。

圖11 實測振動信號波形Fig.11 Measured vibration signal waveform

圖12 帶噪信號時域波形Fig.12 Time domain waveform with noise signal

實測振動信號在DCT 字典下的稀疏表示如圖13所示，可以發(fā)現(xiàn)：0-400 之間的稀疏表示系數(shù)值不為零的較多，400-1 000 之間的系數(shù)接近于零值上下浮動。這是因為實測信號屬于隨機信號，這類信號的統(tǒng)計特性都隨著時間變化而變化，因此稀疏性不比仿真定義的信號好。這就為重構(gòu)算法提出了苛刻的條件。

圖13 實測振動信號的稀疏表示系數(shù)向量Fig.13 Sparse represented coefficient vector for measured vibration signal

為了進一步檢驗該組數(shù)據(jù)是否滿足正態(tài)分布，需要對其進行正態(tài)分布檢驗，得到圖14，其中橫軸為變量區(qū)間，縱軸為累計概率分布，紅色點劃線是以稀疏系數(shù)s1的數(shù)學期望μ＝0.074 0 和標準差σ＝0.001 2構(gòu)建的標準正態(tài)分布線，如果藍色數(shù)據(jù)樣本點越接近紅色點劃線，則說明樣本點的正態(tài)特性越好。由圖14 可知：70%～80%數(shù)據(jù)樣本點都分布在紅色點劃線上，20%～30%的數(shù)據(jù)樣本點遠離紅色點劃線。因此該組數(shù)據(jù)是服從μ＝0.074 0、σ＝0.001 2 的正態(tài)分布，從而得到迭代終止閾值ε＝0.434。

圖14 實測振動信號的正態(tài)分布檢驗圖Fig.14 Normal distribution test plot for measured vibration signal

然后分別應(yīng)用正交匹配追蹤算法和改進停止閾值準則的正交匹配追蹤算法對帶噪信號進行降噪，得到兩種方法的降噪信號波形如圖15、16 所示。可知：改進停止閾值準則的正交匹配追蹤算法所重構(gòu)的信號明顯比正交匹配追蹤算法所重構(gòu)的信號在縱坐標幅值的大小和波形方面更接近原始的實測振動信號。

圖15 OMP 算法降噪信號時域波形Fig.15 OMP algorithm noise reduction signal time domain waveform

圖16 改進停止閾值準則的OMP 算法降噪信號Fig.16 Improved OMP algorithm for noise reduction based on stop threshold criterion

定量地評判降噪效果，則可以定義信噪比（SNR）和均方誤差（Mean Square Error，MSE）兩個指標來衡量降噪性能。信噪比的定義為式（21），均方誤差見式（22）：

經(jīng)過計算，降噪前信號的信噪比為-1.268 dB，降噪后信號的信噪比是2.541 8 dB、均方誤差MSE為0.030。由此可知，文中方法可以有效提升實測振動信號的信噪比，減小均方誤差，從而得證文中所提的降噪方法同樣適用于實測滾動軸承振動信號的降噪。

為了比較經(jīng)典重構(gòu)算法與文中所提方法降噪效果的區(qū)別，下面使用子空間追蹤法（Subspace Pursuit，SP）、正交匹配追蹤法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）、分段弱正交匹配追蹤法（Stage wise Weak Orthogonal Matching Pursuit，SWOMP）3 種重構(gòu)算法在相同條件下進行信號降噪。

結(jié)果如表2 所示。降噪后的信號信噪比最大，則認為該方法的降噪效果越好；均方誤差越小，則認為降噪后的信號越接近原始純凈信號。SP、OMP、SWOMP 三種方法降噪信號的信噪比分別為0.330 8、1.664 2、1.990 7 dB，均方誤差MSE 分別為0.074 2、0.055 7、0.045。顯而易見，改進停止閾值準則的正交匹配追蹤法優(yōu)于SP、OMP、SWOMP 三種降噪方法，可以獲得較好的降噪效果。

表2 不同重構(gòu)算法降噪信號的SNR 和MSETab.2 SNR and MSE of noise reduction signal with different reconstruction algorithms

3 結(jié)論

本文作者針對OMP 算法迭代誤差會在迭代循環(huán)中繼續(xù)傳導、終止閾值選取不當導致信號成分和噪聲成分發(fā)生混疊等問題，提出一種改進停止閾值準則的正交匹配追蹤算法，建立基于壓縮感知理論的振動信號降噪模型。

通過對仿真信號的降噪分析，提升了帶噪信號的信噪比，驗證了該方法的有效性；然后對深溝球軸承的實測振動信號進行降噪處理，在強噪聲背景下信號的信噪比提升到2.541 8 dB、均方誤差減小到0.030。并且和其他重構(gòu)算法降噪后重構(gòu)信號的結(jié)果作比較，表明文中所提方法的有效性與優(yōu)越性，并且信號經(jīng)過稀疏表示后，所需要處理的數(shù)據(jù)量遠小于其他降噪方法。