基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的無模型自適應控制

徐通福，李秀英

（上海應用技術大學電氣與電子工程學院，上海 201418）

0 前言

隨著計算機在工業控制領域的廣泛應用，數據驅動控制方法特別是離散時間非仿射非線性系統的數據驅動自適應控制具有重要意義。該方法僅利用被控裝置的實測閉環輸入輸出數據進行設計，可以避免傳統基于模型的自適應控制系統中無法解決的精確建模和模型約簡、未建模的動力學、魯棒性、持續激勵條件和閉環控制等問題［1］。由于輸入輸出測量數據包含了所有的被控對象動力學信息，從而導致傳統基于模型意義上的系統建模、未建模動力學、模型約簡和魯棒性等概念消失。

無模型自適應控制（Model Free Adaptive Control，MFAC）作為一種典型的數據驅動控制方法，利用偽偏導數（Pseudo Partial Derivative，PPD）或偽梯度（Pseudo Gradient，PG）矢量的新概念在每個工作點通過所謂的動態線性化數據模型設計控制器，控制器參數的整定方法基于使用閉環測量數據的確定性估計算法［2］。MFAC 由于具有計算簡單、無需建模等優點，已被應用于車輛、儲能電池、磁懸浮和數控機床等許多領域［3-6］。到目前為止，MFAC 的魯棒性仍然是一個懸而未決的問題。在基于模型的控制理論中，魯棒性是指處理未知的不確定性或未建模動態的能力。然而，無模型控制方案只利用被控裝置的輸入輸出數據進行控制器設計，不涉及系統的任何模型信息，因此不存在未建模的動力學。從這個角度來看，傳統的控制系統的魯棒性已經不存在了。對于任何實際控制問題，輸入輸出數據都可能受到外部干擾，或由于傳感器、執行器或網絡故障而導致數據丟失。因此，研究未知干擾或數據丟失對無模型自適應控制算法性能的影響很有必要［7］。在工業環境中，測量從來不是完美的。它們可能會被各種噪聲所扭曲。因此，對有測量干擾的MFAC 算法進行研究，無論在理論方面還是在實際應用中都具有重要意義。

近年來，許多學者對具有測量干擾的MFAC 算法進行了研究。一種改進的帶濾波器的MFAC 算法有效抑制了測量擾動的影響［8］，該方法通過設計低通去除高頻噪聲信號，但實際中噪聲信號頻率多樣。針對測量擾動信號，提出了一種跟蹤微分器對擾動進行抑制，但該方法會使系統相位發生改變［9-10］。一種小波閾值去噪的方法被提出，該方法能夠對噪聲進行實時自適應過濾，但存在閾值難以設定的問題［11］。針對電液伺服系統存在不確定性干擾和不確定性因素的情況，徑向基神經網絡干擾觀測器被提出去估計擾動，并將其補償到控制器的設計中，從而有效減小了擾動對系統的影響，但這種方法增加了系統的復雜性［12］。一種改進的卡爾曼濾波MFAC 算法被用來抑制測量擾動，該方法假設系統噪聲和測量噪聲相互獨立，但是大多數情況下系統噪聲和測量噪聲之間是相關的，而且該方法只考慮了單個傳感器的測量結果［13］。基于此，本文作者提出一種基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 方法，該方法將多個傳感器的測量結果進行最優集中式卡爾曼濾波融合，并且考慮系統噪聲和測量噪聲以及各個傳感器之間的測量噪聲都是相關的情況。相比只使用單個傳感器的卡爾曼濾波MFAC 算法來說，基于多傳感器的集中式卡爾曼濾波干擾觀測器MFAC 算法具有更好的跟蹤性能和更大的信噪比。

1 問題描述

考慮一類SISO 離散時間非線性系統：

其中：u（k）和y（k）分別表示k時刻系統的輸入和輸出；ny、nu是兩個未知的正整數；f（…）代表未知的非線性函數。

假設1：除有限時刻點外，f（…）對u（k）的偏導數連續。

假設2：除有限時刻點外，系統公式（1）滿足廣義的利普席茲條件。

定理1：對滿足假設1 和假設2 的非線性系統公式（1），當時，一定存在一個被稱為PPD 的時變參數φc（k），使得系統公式（1）轉化為如下線性模型［14］：

若系統存在測量擾動，則系統的輸出測量值為

其中：d（k）代表測量擾動，且，d是正常數。

系統存在測量擾動時，MFAC 控制方案為

其中：λ＞0，μ＞0，ρ∈（0，1］，η∈（0，1］；ε是一個充分小的正數；（1）是（k）的初值；y*（k＋1）代表系統的期望輸出。

由式（6）可知，控制器的設計依賴于系統期望輸出與測量輸出的誤差值。當系統不存在測量擾動時，在MFAC 控制方法的作用下，系統的輸出誤差可以收斂至0［14］。而當系統受到測量擾動的影響時，在MFAC 控制方法的作用下，系統的輸出誤差收斂到一個大于0 的常數［8］。可見，當系統存在測量擾動時，MFAC 控制方法的控制性能會顯著降低。

2 基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC方法

2.1 集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的設計

考慮如下方程所描述的非線性離散系統：

其中：狀態y（k）代表系統在時刻k時的系統輸出；ω（k-1）表示系統噪聲，假設其為零均值的高斯白噪聲，方差為，且系統噪聲誤差協方差矩陣為Q（k-1）；ymi（k）代表傳感器i在時刻k時的測量輸出；Ci（k）代表系統的觀測陣；vi（k）表示傳感器i的測量噪聲，與系統噪聲ω（k-1）相關，其相關的強度與βi的取值有關；N代表傳感器的個數；γi（k）是零均值高斯白噪聲，方差為，并且與系統噪聲ω（k-1）相互獨立。當i≠j時，對k，l＝1，2，…，有：

其中：δkl表示克羅尼克δ函數。從上面的描述可以看出，在同一時刻不同傳感器的測量噪聲是相關的，并且每個時刻的測量噪聲都和上一時刻的系統噪聲相關。式（7）將非線性系統等價轉換為線性系統，并且上述對于實際環境噪聲的假設是合理的，這與相關噪聲環境下多傳感器數據融合的假設一致。

集中式卡爾曼濾波干擾觀測器是通過將所有的觀測方程集中為一個觀測方程，然后在每一時刻利用該時刻的集中觀測方程與上一時刻最優輸出的估計值得到當前時刻的輸出預測值，并且利用傳感器當前時刻的輸出測量值對卡爾曼增益進行校正。集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的結構如圖1 所示。

圖1 集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的結構Fig.1 Structure of centralized Kalman filter disturbanceobserver

假設k-1 時刻y（k-1）的一個最優狀態估計為，則k時刻y（k）的最優集中式估計算法［15］為

其中：當噪聲不相關時，R（k）是對角矩陣，即非對角線部分的值全為0 且S（k）＝0，此時，所提出的最優集中式估計算法退化為噪聲無關情況下的算法。因此，文中討論的噪聲相關下的最優集中式估計算法更具一般性。

從上式中可以看出，集中式卡爾曼濾波增益與Q（k-1）和R（k）的值息息相關，而當前時刻集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的估計值等于上一時刻卡爾曼濾波干擾觀測器的估計值和傳感器測量值ym（k）的加權和，因此與Q（k-1）和R（k）的值也息息相關。

2.2 基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC算法

將傳感器的測量值和數據模型的預測值經過集中式卡爾曼濾波干擾觀測器濾波輸出，然后將該輸出與系統的期望輸出值的偏差信號送入MFAC 控制器的設計中，從而得到基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 控制方案。算法結構如圖2 所示。

圖2 基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 算法結構Fig.2 MFAC algorithm structure based on centralized Kalman filter disturbance observer

結合圖 2，公式（10）—（14）和公式（19）—（21）構成了完整的基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 控制方案：

其中：式（10）—（14）是集中式卡爾曼濾波干擾觀測器算法，該算法的目的是為了得到濾波后的預測輸出；式（19）—（21）是基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測器MFAC 算法，與常規MFAC 算法的不同之處在于，該算法利用干擾觀測器的輸出去設計控制器，而不是直接利用傳感器的測量值去設計，這樣有效規避了測量擾動對常規MFAC 算法控制性能的影響。

3 仿真

為驗證基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 算法的有效性，給出由3 個傳感器組成的集中式卡爾曼濾波干擾觀測器（集中式觀測器）的MFAC算法，基于傳感器1 的卡爾曼濾波干擾觀測器（局部觀測器1）的MFAC 算法，基于傳感器2 的卡爾曼濾波干擾觀測器（局部觀測器2）的MFAC 算法和基于傳感器3 的卡爾曼濾波干擾觀測器（局部觀測器3）的MFAC 算法的仿真對比試驗。并且利用均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）和 信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）兩個指標對5 種控制算法的控制性能進行比較：

其中：δRMSE代表各個時刻的實際值與期望值誤差平方和，其值越小，系統控制性能越好；δSNR代表信號與噪聲的方差比，其值越大，系統的去噪能力與控制性能越好。

例1 考慮如下非線性系統［13］：

期望輸出信號為

由圖3—4 可知：當系統存在測量擾動時，MFAC控制算法的跟蹤誤差會顯著增加；采用基于單個傳感器卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 算法后，系統的控制性能優于MFAC 算法；而對于各個局部干擾觀測器來說，在系統噪聲方差和噪聲相關系數相同的情況下，局部干擾觀測器的γi（k）的噪聲方差越小，基于該局部卡爾曼濾波干擾器的MFAC 算法的控制性能越好。當采用基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 算法后，系統的控制性能又優于只使用單個傳感器卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 算法。除此之外，基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 算法的響應速度比MFAC 算法和基于單個傳感器卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 算法的響應速度快。可見，集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 算法能有效提高存在測量擾動的時不變參考信號的跟蹤能力。

圖3 時不變參考信號跟蹤性能比較Fig.3 Comparison of tracking performance of time-invariant reference signal

圖4 時不變參考信號跟蹤誤差絕對值比較Fig.4 Comparison of the absolute value of tracking error of time-invariant reference signal

例2 考慮如下非線性系統［14］：

期望輸出信號：

設置此例中的系統噪聲和測量噪聲的相關參數值、系統的初始參數值、系統的控制器參數值均和例1 中的參數值一致。5 種控制算法的跟蹤性能如圖5和圖6 所示。

圖5 時變參考信號跟蹤性能比較Fig.5 Comparison of tracking performance of time-varying reference signal

圖6 時變參考信號跟蹤誤差絕對值比較Fig.6 Comparison of the absolute value of tracking errors of time-varying reference signal

由圖5—6 可知：MFAC 算法的控制性能最差，基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 算法的控制性能最好，因此，基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 算法對時變的參考信號依然可以很好地抑制測量擾動對MFAC 算法的影響，大大提升系統的跟蹤性能。

綜合上述的兩個例子，使用RMSE 和SNR 指標對5 種控制算法的控制性能進行比較，結果如表1所示。

表1 5 種控制算法的控制性能比較Tab.1 Comparison of control performance of five control algorithms

根據圖3—6 和表1 的數據可知：本文作者提出的基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的算法相比MFAC 算法和基于局部卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 算法，在時不變參考信號和時變參考信號并且在噪聲相關的情況下具有更好的抑制測量擾動的效果，在算法具有適用性的同時具有更小的均方根誤差和更大的數據信噪比，可以顯著提升在測量擾動作用下系統的控制性能。

4 結論

本文作者針對具有測量擾動的非線性系統，提出一種基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 算法。將所提出的算法與MFAC 算法和基于局部卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 算法分別在時不變參考信號和時變參考信號下進行對比，仿真結果表明：在具有適用性的同時，集中式卡爾曼濾波干擾觀測器的MFAC 算法具有更強的抗干擾能力、更小的均方根誤差和更大的數據信噪比等優點，可以顯著提升MFAC算法在測量擾動下的控制性能。