大型礦用齒輪傳動系統宏觀參數動力學優化

楊孝新, 肖 鹿, 楊曉東, 李奇奇, 高曉鑫, 金鵬程

(1.中國礦業大學 礦業學院 江蘇 徐州 221116;2.新疆天池能源有限責任公司,新疆 昌吉 831100; 3.新疆維吾爾自治區科技發展戰略研究院,烏魯木齊 830000;4.新疆大學 機械工程學院,烏魯木齊 830017)

現代工業生產中,機械設備向著大型、復雜、自動化方面發展。大型礦用齒輪傳動系統由于系統復雜,工作環境惡劣,故障發生率很高,且一旦發生故障直接影響企業的經濟效益,因此,為避免傳動系統發生故障,提高系統可靠性,需要在動力學特性上對系統進行更完備的設計。傳統的設計方法過程復雜,且常依賴經驗,為提高設計的效率、系統性與完備性,在大型礦用齒輪組設計的初始階段,有必要對礦用齒輪傳動系統進行多目標宏觀參數的優化。

針對大型礦用傳動系統的宏觀參數的動力學優化,國內外學者分別從動力學模型的建立與優化模型的設計中進行了大量研究。王勇等[1]利用集中質量法對單對直齒輪進行動力學建模,借助遺傳算法優化了齒輪對的隨機振動與質量,張慶偉等[2]建立了大型礦用齒輪系統的集中參數模型,利用混合離散變量組合型法同時優化了振動加速度與系統質量,減少了制造成本,提高了可靠性。綜上,在以往對齒輪系統優化的研究中,大多建立集中質量法模型,將軸、軸承,齒輪視作含有阻尼的彈性質量塊,無法預測齒輪在軸上不同位置的動態響應,導致無法對平行軸齒輪系統進行考慮布局參數的動力學優化。為此,Neriya等[3]首先將軸的質量與剛度離散化,并針對齒輪轉子系統進行了動力學的響應分析;Kuber等[4]建立了多級軸系與多嚙合齒輪系統的耦合動力學模型,對級間相位角對軸承動載荷的影響進行了分析;常樂浩等[5]借助廣義有限元方法,建立了定軸齒輪系統與箱體的通用建模方法,并證明了該方法的有效性與求解響應時的精確性。

為降低齒輪系統的振動與噪聲,以往的齒輪系統宏觀參數的優化模型建立時,其目標函數大多為增大齒輪重合度或直接以噪聲經驗公式為目標函數,付學中等[6]針對斜齒輪振動噪聲問題,以斜齒輪嚙合剛度波動幅值為目標函數,采用輪齒承載接觸分析(loaded contact analysis tooth,LTCA)與遺傳算法對斜齒輪進行了修形優化。蔡文奇等[7-8]以某電動汽車兩檔變速箱傳動系統為對象,以漸開線斜齒輪總重合度最大為優化目標,對變速器齒輪副進行了宏觀參數優化,并進一步進行了修形研究。蔣春明[9]為提高變速器可靠性以重合度與傳動系統體積為目標函數對三軸四檔汽車變速器進行了多目標優化;邵正宇等[10]以噪聲經驗公式與齒輪體積為優化目標函數對準雙曲面齒輪的設計參數進行了優化。此類目標函數雖然可以減少齒輪系統的剛度激勵,但未考慮復雜系統與轉速的頻率關系,因此可能減弱優化效果。對于考慮頻率關系的齒輪系統的動態優化,目標函數表達式常由各項參數與動力學微分方程組求得的動態響應擬合而成,過程相對復雜,其研究成果相對較少。如秦大同等[11]采用諧波平衡法求解大型礦用傳動系統的動態響應,以振動加速度為目標函數進行優化;聶慧陽[12]針對兩路分流齒輪傳動系統建立集中參數模型,在求解動態響應的基礎上分析了均載系數并予以優化。

上述研究大多使用集中質量法建立動力學模型,無法預測齒輪在軸上不同安裝位置的動態響應且對不同目標函數對系統動態特性的影響分析較少,齒輪副的動態嚙合力幅值作為引起齒輪系統嘯叫問題的主要激勵源,傳動系統的體積作為系統經濟性的體現,兩者在設計中常常是相悖的,為針對此類不足,有必要建立綜合動力學模型并進行多目標尋優。本文以大型礦用齒輪箱中的定軸傳動系統部分為研究對象,利用廣義有限元法建立宏觀參數化的動力學模型,基于NSGA-Ⅱ優化算法建立包含不同目標函數的優化模型并對其所求動態響應進行對比分析。

1 二級齒輪傳動參數化動力學模型建立

如圖1所示,二級大型礦用齒輪傳動系統由輸入軸、中間軸、輸出軸、兩級齒輪與三對軸承組成。以大型礦用齒輪箱中的二級定軸傳動系統為研究對象,將其離散化,建立各單元參數化動力學模型,再將各單元動力學按照不同安裝方式實現參數化組裝,以實現傳動系統參數與動態響應的一一映射,其映射關系可為優化的目標函數擬合提供數據集。

圖1 二級齒輪傳動系統結構圖Fig.1 Structure diagram of secondary gear transmission system

1.1 軸的參數化建模

如圖2所示,建立8自由度鐵木辛柯梁動力學模型,其質量與剛度子矩陣可參考文獻[13]。將子矩陣按節點疊加形成軸的總體剛度矩陣。因此,由式(1)所示,在確定材料屬性前提下,其總體剛度矩陣可利用軸的軸徑參數與軸長參數表示

圖2 軸段單元定義Fig.2 Shaft segment unit definition

Ks=f(ri,n)

(1)

式中:ri為軸半徑,i=1,2,3;n為軸長參數,代表將軸離散單元數量,為計算結果的精確性,將軸段單元設為0.05 m。

1.2 斜齒輪的參數化建模

如圖3所示,建立八自由度斜齒輪嚙合模型,根據達朗貝爾原理建立微分方程組即公式,整理得到8×8嚙合單元剛度矩陣

圖3 斜齒輪嚙合單元Fig.3 Helical gear meshing unit

(2)

式中:mp/g為主、從動齒輪質量;Izp/zg為主、從動輪繞z軸的轉動慣量;cm為嚙合阻尼;km為綜合嚙合剛度;βb為齒輪螺旋角;φ為齒輪壓力角

其時變嚙合剛度km采用勢能法求解

(3)

各參數詳見參考文獻[14],利用上述4種勢能分別計算赫茲剛度kh,彎曲剛度kb,剪切剛度ks與徑向壓縮剛度ka,同時考慮齒輪基圓的柔性變形,計算所對應剛度

(4)

式中參數要取決于齒數,次要取決于刀刃半徑、壓力角與齒頂高,具體計算為在實際范圍內對式中系數進行多項式擬合計算得出,具體方法可參考文獻[15]。因此剛度為

(5)

將剛度矩陣形成函數程序,輸出的嚙合剛度矩陣可利用函數表示為

kv=f(zi,mi,Li,α,βb)

(6)

式中:zi為兩級齒輪齒數;mi為兩級齒輪模數;Li為兩級齒輪齒寬;α為壓力角;βb為兩級齒輪螺旋角

1.3 軸承的動力學模型

對軸承而言,在軸的轉動過程中其剛度由于滾子數目奇偶的變化而往復變化。對奇壓而言,其剛度為軸承所受徑向載荷與徑向位移間的比值,同時借由滾子方位角計算出偶壓剛度,本文中利用正弦曲線近似軸承徑向時變剛度,對軸向進行全約束,如圖4所示。

圖4 軸承動力學模型Fig.4 Dynamic model of bearing

(7)

Kx,y(t)=K0+Kasin(2πfbt+β0)

(8)

式中:Kx,y(t)為水平與垂直方向的軸承時變嚙合剛度;K0為軸承靜剛度,K0=(kbe+kb0)/2;Ka為軸承剛度波動幅值;fb為通過頻率;β0為初始相位角。

1.4 齒側間隙

當輪齒存在間隙時,齒輪運轉過程振動較大或小扭矩時會產生脫嚙現象,為探究輪齒脫嚙對優化結果的影響,本文采用分段函數表征齒側間隙與齒輪副沿著嚙合線方向上的相對位移之間的關系。

(9)

1.5 參數化定軸傳動系統動力學模型

根據1.3節動力學模型的分析,可將任意定軸傳動系統按照節點進行剛度矩陣組裝,如圖5所示。因此任一定軸傳動系統總剛度矩陣可以函數表示

圖5 大型礦用傳動系統有限元模型Fig.5 Finite element model of large mine transmission system

K=f(ri,zi,mi,Li,α,βb,n,n1,n2)

(10)

式中:n1為第一級齒輪安裝參數;n2為第二級齒輪安裝參數;定義齒輪安裝參數距中間軸端部節點數目,n1/2=1,2,3,…,(n/2-1)。

如圖6所示。施加邊界條件后,消除剛體位移的影響,得總體剛度矩陣。總裝后含齒輪系統的整體動力學微分方程為

圖6 大型礦用傳動系統整體剛度組裝示意圖Fig.6 Schematic diagram of overall rigidity assembly of large mining transmission system

(11)

式中:X為節點位移列陣為{x1,y1,z1,θ1,x2,y2,z2,θ2,…,x4(n+1),y4(n+1),z4(n+1),θ4(n+1)};M,C,Kf分別為含質量總裝矩陣、阻尼總裝矩陣及剛度總裝矩陣;Po為系統外部激勵;Fe為系統誤差激勵。

由上述分析可知,整體動力學的剛度矩陣為各項宏觀參數的函數,因此經過數值計算求得的系統動態響應為相同參數的函數,本文所用建模方法的正確性已于文獻[16]中進行試驗驗證,因此不再贅述。

2 宏觀參數優化模型

為改善大型礦用傳動系統的噪聲特性與質量,目標函數的設定與優化策略的制定,優化算法的選擇一直未形成系統性的規范,本文以齒輪重合度與數值計算后求解所得齒輪嚙合力均方根值與包含軸系的傳動系統質量為不同的目標函數,綜合設計優化模型與智能算法。

2.1 目標函數

2.1.1 重合度目標函數(F1(x))

重合度作為影響衡量齒輪承載能力與傳動平穩性的重要指標,針對齒輪傳動系統的動態特性,齒輪重合度越大傳動越平穩,振動噪聲越小。對漸開線斜齒輪而言,其總重合度ε為端面重合度與軸向重合度的疊加

ε=εα+εβ

(12)

端面重合度與軸向重合度計算如下

(13)

(14)

(15)

定義總重合度的相反數最小為第一目標函數

f1=min(-ε)

(16)

2.1.2 動態特性最優目標函數(F2(x))

對于礦用齒輪箱而言,軸承加速度連接箱體,對其傳動平穩性與系統結構噪聲具有重要影響,因此,可以將軸承加速度均方根值作為動態性能最優目標函數可以寫為

(17)

式中:nm為嚙合齒輪對個數;Fi為第i級嚙合的動態嚙合力。

2.1.3 質量目標函數(F3(x))

齒輪系統需在滿足強度與動態特性的要求的基礎上盡量減小體積與質量。對于二級大型礦用傳動系統而言其質量為軸,齒輪與殼體質量的疊加,由于本文只考慮傳動系統因此忽略殼體質量,傳動系統質量可表示為

(18)

式中,Li為輸入軸、中間軸、輸出軸長度。

2.2 設計變量

據建模過程分析可知,可將影響系統動力學剛度矩陣的各項宏觀參數作為優化設計變量

X=[zjmBr1r2r3nn1n2αβi]T

(19)

2.3 約束條件

2.3.1 齒數約束條件

為避免干涉,二級傳動從動輪與輸出軸的距離需大于一定值

(20)

式中:r1為輸入軸半徑Zp1/2為一級或二級主動輪齒數;Zg1/2為一級或二級從動輪齒數;m為模數;α為相位角;ξ為一個基于安全性考慮的小量,本文取5 mm。

2.3.2 軸徑強度約束

(21)

式中:C為與軸材料有關的系數;vs為傳動軸的轉速;P為軸傳遞的功率;di為第i根軸的直徑。

2.3.3 傳動比約束

二級傳動系統傳動比一般為8～40,考慮到優化后齒數的變化會導致總傳動比的變化,需要對總傳動比進行約束

(22)

式中,i0,i1分別為優化前、后傳動比。

2.3.4 強度約束條件

強度約束包括齒輪副的齒面接觸疲勞強度與齒根彎曲疲勞強度與軸的扭轉強度。

(23)

(24)

(25)

2.4 算法選擇

由于本文優化問題基于Newmark-β實時演算得到的數值解集具有強非線性,因此無法利用與梯度有關的優化算法進行尋優,群優化算法作為一種使用群體的隨機搜索算法為此類問題提供了思路[18]。NSGA-Ⅱ同時考慮了擁擠度與精英策略,利用擁擠度比較算子,降低了計算復雜度,有效避免了優化過程中的局部收斂[19]。

本文采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)對整個二級傳動系統宏觀參數進行尋優,如圖7所示,基于Pareto理論,各項目標函數無須設置貢獻度,如圖7所示,優化結果為一個非劣解集。

圖7 Pareto平面示意圖Fig.7 Pareto plane

首先需對設計變量進行編碼,其方式取決于優化變量的個數與特征。就本文而言,設計變量包含齒數、齒輪組安裝位置等整型變量與軸徑、齒寬等浮點型變量,采用二進制編碼方法會導致搜索空間維度過高對最優解的求解形成困難,因此本文采用整型與浮點型混合編碼的方式對設計變量進行編碼優化,具體參數設置如表1所示。

表1 遺傳算法參數設置Tab.1 Genetic algorithm parameter setting

3 算例優化結果

為驗證本文所提出的優化模型的有效性,以某公司大型礦用齒輪箱為例進行宏觀參數多目標尋優,為方便計算,選用減速器額定轉速為500 r/min,負載扭矩為2 000 N·m,傳動系統與輪齒宏觀參數如表2所示。

表2 傳動系統宏觀參數Tab.2 Macro parameters of transmission system

為分析多目標優化結果的宏觀參數特征與動態特性,以B2優化策略為例,如圖8所示,可見經多目標優化后,軸系布局更緊湊,加工制造也更經濟。

圖8 優化前、后系統布局對比Fig.8 Comparison of system layout before and after optimization

為驗證優化的有效性,將初始參數與優化后的參數代入編寫的MATLAB程序中,首先不考慮傳動系統質量,以重合度與軸承加速度均方根值作為目標函數進行優化,優化結果為表中A1。由優化結果分析得知雖然齒輪動載荷均方根值得到有效減少,但系統質量大幅增加,因此基于重合度或軸承加速度均方根值的優化適用于高扭矩,體積不受限的設計中。二級齒輪系統的體積優化是大型礦用裝備設計中的一項重要環節,因此將加速度均方根值與系統質量作為目標函數同時優化,得到Pareto平面如圖9所示,在優化后得到的Pareto平面內選取三種典型優化策略B1～B3,如表3所示,將三種優化策略優化參數代入本文所建動力學模型中得到軸承加速度均方根,與初始參數所求結果進行對比,如果如表4所示。

表3 不同目標函數優化方案系統參數Tab.3 System parameters of different objective function optimization schemes

圖9 Pareto平面Fig.9 Pareto plane

表4 不同方案優化目標值Tab.4 Optimization results of different schemes

4 優化參數驗證

選取策略B2的各項參數代入編寫的程序中,得到第一級、第二級齒輪動態嚙合力的時域響應,傅里葉變換后得到其頻域信號,將其與優化前的響應對比分析。優化前的第一級齒輪嚙合頻率為

(26)

二級齒輪嚙合頻率為

(27)

如圖10所示,優化后的一級齒輪嚙合力幅值明顯降低,具體為優化后幅值為2 557 N,優化前的動態嚙合力幅值為2 770 N,降低7.6%。由頻域圖可見,振動響應的主要頻率成分為一級齒輪嚙合頻率及其倍頻,由于優化前后一級齒輪嚙合頻率較為相近,因此在低階頻率成分將近重合,到高倍頻處逐漸拉開差距,大部分頻率成分的能量均有所低。由圖11所示,優化后的二級齒輪嚙合力幅值小幅度降低,具體為優化后幅值為19 537 N,優化前的動態嚙合力幅值為23 107 N,降低15.7%。由頻域圖可見,振動響應的主要頻率成分為二級齒輪嚙合頻率與倍頻,二倍嚙合頻率與三倍嚙合頻率成分有小幅增加,其原因在于該頻率接近系統某一固有頻率,因此,當設計中對某階頻率成分有要求時,可通過改變優化目標函數進行頻域級的精細化設計。

圖10 第一級齒輪動態嚙合力時域與頻域圖Fig.10 Time domain and frequency domain diagram of the dynamic meshing force of the first stage gear

圖11 第二級齒輪動態嚙合力時域與頻域圖Fig.11 Time domain and frequency domain diagram of the dynamic meshing force of the second stage gear

將考慮偏心的優化結果代入動力學程序中,得到優化前、后的齒輪動態嚙合力,如圖12和圖13所示,當考慮偏心時,輪齒會發生脫齒行為,整個嚙合過程經過接觸、分離、再接觸的一個反復過程,由圖可見,優化前齒輪動態嚙合力幅值為2 942.94 N,優化后幅值降為2 589.02 N,降幅為12%,由此可見,本文方法以處理過的實時計算的數據集為目標函數,可適用于考慮多源時變激勵的齒輪傳動系統。另外,優化前齒輪動態嚙合力均值為1196.63N,優化后為965.21 N,其嚙合力均值的變化原因為:經優化,齒輪齒數發生了變化,導致靜平衡力發生了變化。實際應用中,應當根據各級齒輪強度進行配齒設計,以免降低齒輪疲勞壽命。

圖12 考慮偏心的齒輪動態嚙合力(優化前)Fig.12 Dynamic meshing force of gear considering eccentricity(Before optimization)

圖13 考慮偏心的齒輪動態嚙合力(優化后)Fig.13 Dynamic meshing force of gear considering eccentricity(After optimization)

5 結 論

(1)利用有限元法建立了大型礦用齒輪傳動系統參數化動力學模型,通過Newmark時域積分法求解動力學方程得到數值解集,以此反映設計參數與布局參數和動力學響應之間的映射,在此基礎上建立同時考慮設計參數與布局參數的優化模型。

(2)通過優化后模型與原始模型求解的動態數值計算結果對比說明,NSGA-Ⅱ算法對大型礦用齒輪傳動系統的動態性能優化設計十分有效,多目標優化后兩級齒輪動態嚙合力分別降低7.6%與15.7%,體積降低27.0%。

(3)對于大型礦用齒輪傳動系統,由于齒輪箱體積與結構對大型礦用齒輪箱與性能具有顯著影響,因此對于礦用傳動系統的設計,多目標優化的結果更合適。