懸浮隧道支撐錨索在管體運動狀態下的動頻率與濕模態

朱 燦, 劉 炎, 易壯鵬

(長沙理工大學 土木工程學院, 長沙 410114)

懸浮隧道是具有顯著優勢的跨越深、長水道的水下交通結構,近年來受到許多學者的關注[1-2],其中流體環境中的流固耦合機理,交通荷載、地震[3]、爆炸[4]荷載下的結構響應,以及構件、結構力學模型等,是研究的焦點。

張力腿形式是懸浮隧道最常見也是公眾最易接受的固定方式,頂底分別與管體、河床連接的錨索是重要支撐構件,對結構穩定和安全起至關重要的作用,因而錨索本身及與隧道管體相互作用的動力行為受到廣泛關注。一方面,研究者進行了大量的錨索單獨建模研究,如:尾流振子模型[5]、參振模型[6]和Euler梁模型[7],等。研究者還對水流環境中一般懸索進行了多模態[8]和參激振動[9]的非線性建模,克服了不能考慮錨索分布參數、幾何非線性和多模態振動的不足。海洋立管[10]、錨鏈等海洋索的建模技術,以及非流體環境中索的研究成果[11],可為懸浮隧道錨索建模提供借鑒。另一方面,管體運動可導致錨索大幅振動,錨索的參數振動反過來可激發整體振動,錨索單獨建模已不能全面反映這種構件之間的動力耦合。于是,研究錨索與管體之間耦合振動的模型應運而生,如:管體等效為阻尼-彈簧-質量塊的錨索參振模型[12]、錨索-管體模型[13]。隨著研究的深入,錨索及懸浮隧道系統的力學模型越來越精確。

錨索頻率、模態的精確獲取對識別懸浮隧道振動性能至關重要,而水下錨索的頻率與管體運動息息相關。管體運動使得錨索張力不斷變化,對應的頻率將是一個變值,進而對錨索動力性能產生顯著影響,當結構參數組合位于某些特定區間時管體過大的位移會使錨索由張緊進入松弛狀態[14]。已有懸浮隧道錨索渦激振動、參激振動及空氣中運動邊界索[15]的研究大多將錨索頻率視為定值,這與實際的吻合程度值得進一步深入探討。實際上,發生渦激振動時錨索頻率的變化極可能導致鎖定區間擴大,極限環解將更加復雜;當管體運動頻率與錨索固有頻率滿足一定關系時,將發生參激振動,錨索頻率的變化可能激發錨索的大幅振動。然而已有研究對水下索結構頻率變化及引起的非線性行為較少涉及,懸浮隧道錨索在管體運動下的頻率分布規律值得進一步探討。此外,錨索濕重沿展向分布存在變化,某些參數分布區間內錨索模態不能假定為諧波函數,進行精確分析需考慮流體環境中錨索的濕模態。已有關于彈性約束充液管道[16]和海洋立管的模態分析表明流體會影響結構的固有頻率和模態分布,濕模態分析對處于流體環境的結構振動研究不可缺少。

錨索支撐式懸浮隧道中,管體運動將通過張力變化影響錨索頻率,隨著管體的運動錨索會出現動頻率。基于此,本文將錨索自振特性與結構參數直接關聯,提出一種管體運動狀態下求解錨索動頻率和濕模態的新穎方法。將錨索等效為梁或弦,建立四類力學模型分別探討管體運動時錨索抗彎剛度、濕重等因素對自振特性的影響。所提動頻率概念可為進一步研究構件渦振頻率鎖定,以及參激、參強聯合作用下的復雜非線性行為提供新的處理思路。

1 懸浮隧道管體運動狀態下支撐錨索的動力模型與自振特性

1.1 管體運動狀態下的錨索動力模型

如圖1(a)所示錨索支撐的懸浮隧道,為研究管體運動狀態下錨索自振特性,以典型節段管體下方錨索如圖1(b)所示為對象建立力學模型。圖1中:L為錨索長度;O-xy為以頂端為中心的坐標系;x為軸向;y為橫向;θ為水平傾角;f(x,t)為流體作用力,t為時間。為獲取管體運動時錨索振動方程,引入假定:①錨索截面材料、幾何特性沿長度不變;②錨索頂部與管體的連接等效為具有一定剛度的彈簧;③只考慮x-y平面內的橫向振動;④管體、錨索均處于運動狀態且錨索張力隨時間變化,為獲取錨索動頻率將整體結構進行擬靜態處理且只考慮管體豎向周期振動,錨索即時軸力N(x,t)為[17-18]

圖1 懸浮隧道整體布置及錨索模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the global layout and cable model of the SFT

N(x,t)=Nt-Waxsinθ+Kacos(Ωt)sinθ

(1)

式中:Nt為錨索頂端張力,Wa=(ρc-ρw)Acg為錨索單位長度濕重;ρc和ρw分別為錨索、流體的密度;Ac為錨索截面積;g為重力加速度;K為管體與錨索之間的連接剛度;α和Ω分別為管體運動幅值和頻率。⑤Nt(即式(1)中x,a同時為零的N(x,t)值)由管體振幅為零時錨索索力與該索支撐范圍內凈浮力相等的原則確定

(2)

式中:At為管體橫截面積;d為錨索縱向間距;nc為所截取管體節段錨索的肢數;λ1為管體浮重比。

此外,錨索的截面面積Ac按式(3)取值

(3)

式中:λ2為錨索安全系數;[σ]為錨索容許應力值。管體與錨索之間的連接剛度K取為

(4)

為研究錨索抗彎剛度、濕重等參數對結構自振特性的影響規律,建立如圖2所示的M1～M4四類模型。圖2中:M1模型同時考慮錨索抗彎剛度和濕重;M2模型忽略濕重;M3模型忽略抗彎剛度;M4模型同時忽略錨索抗彎剛度和濕重。

圖2 管體運動狀態下的錨索模型Fig.2 Cable models under tube motion

在上述四類模型中錨索的頂端靜張力、截面積和連接剛度等參數根據懸浮隧道結構的受力特點按照假定⑤依據式(2)～式(4)取值。

1.2 M1模型—考慮錨索抗彎剛度和考慮濕重

在管體運動狀態下,根據引入的基本假定,同時考慮抗彎剛度和濕重時錨索的振動方程可寫為

(5)

(6)

將位移寫為u(x,t)=φ(x)exp(iωt)以分離軸向坐標x和時間t兩類變量,其中:ω為振動頻率;φ(x)為與ω對應的模態。將其代入與式(5)對應的無阻尼自由振動方程,可以得到

(7)

式(7)的解可以表示為

φ(x)=

A1sinη1x+A2cosη1x+A3sinhη2x+A4coshη2x

(8)

式中,A1～A4為模態系數,且有

(9)

根據兩端x=0,x=L的邊界條件u(x,t)=0, ?2u(x,t)/?t2=0可求得系數A2～A4等于0,且有

η1(x,t)=nπ/L,(n=1,2,3,…)

(10)

式中,頻率ω不能寫為其他參數的顯式,同時與x的分布有關,采用與張杰等研究中類似的處理方法將式(10)在[0,L]內對x積分,可以得到關于ω的超越方程

6η1(L,t)N(L,t)=3nπWa

(11)

式(11)可求解M1模型的錨索固有頻率ω,它與錨索的張力分布、自質量、剛度及管體運動狀態等相關。由式(8)可知錨索振動模態為φ(x)=A1sinη1x,由于此時η1(x,t)為x函數,錨索濕重使得軸力沿高度分布不一致,將幅值進行修正后的振動模態寫為

(12)

1.3 M2模型—忽略錨索濕重

當不考慮錨索濕重時,Wa=0,此時錨索張力沿高度方向為恒定值。振動模態φ(x)可以用式(8)表示。同樣, 根據兩端邊界條件u(x,t)=0, ?2u(x,t)/?t2=0可知模態系數A2～A4為0,且振動頻率的求解方程可以表示為

η1(0,t)=nπ/L,(n=1,2,3,…)

(13)

此時,錨索的第n階固有頻率ωn可以直接寫為

(14)

且振動模態可以寫為φ(x)=A1sinη1x,由于此時η1與x無關,模態為標準正弦函數,其中系數A1可由模態規范化條件獲取。在忽略濕重的情況下,模態選用正弦函數可簡化渦激、參激及參強聯合振動等更復雜非線性動力行為的分析,然而忽略濕重將導致頻率、模態與實際情況存在誤差,后文將討論這種假設在懸浮隧道支撐錨索中的影響。

1.4 M3模型—忽略錨索抗彎剛度

當支撐錨索忽略抗彎剛度而考慮自身濕重時,對應式(5)和式(7)中與EcIc相關的項消失,此時求解頻率和阻尼的常微分方程可以寫為

(15)

式(15)為弦的一般求解方程,其解可以表位為

φ(x)=A1sinη3x+A2cosη3x

(16)

式中,A1和A2為模態系數,且

(17)

根據兩端x=0,x=L的弦邊界條件可求得系數A2等于0,且有

η3(x,t)=nπ/L,(n=1,2,3,…)

(18)

由于考慮了濕重沿錨索長度方向的分布,式(18)中ω與x的分布有關,同樣將式(18)在[0,L]內對x積分,可以得到第n階固有頻率ωn的表達式

(19)

為考慮濕重的索導致的軸力沿高度方向分布不一致,將錨索振動模態的幅值進行修正并寫為

(20)

式中,系數A1由模態規范化獲取。

1.5 M4模型—同時忽略錨索抗彎剛度和濕重

當支撐錨索忽略抗彎剛度且不考慮自身濕重時,由式(11)～式(14)并取Wa=0可將頻率寫為

(21)

且振動模態可以寫為φ(x)=A1sin[η3(0,t)x],同樣η3(0,t)與x無關,模態為標準正弦函數。

2 算例分析

作為一種新型的水下交通結構,通過參數分析獲取管體運動狀態下錨索與各種懸浮隧道結構參數的對應關系從研究角度來說是可行的。本文參閱已有懸浮隧道的研究,選取基本參數如下:管體橫截面積At=165.13 m2,流體與錨索的密度分別為ρw=1 000 kg·m-3和ρc=7 850 kg·m-3,附加質量系數Cm=1.0,錨索彈性模量Ec=210 GPa,錨索容許應力[σ]=1 350 MPa,錨索安全系數λ2=4,肢數nc=2, 縱向間距d=100 m, 管體運動頻率Ω=2 rad·s-1。管體的浮重比λ1、運動幅值為a以及錨索的水平傾角θ、豎向高度h為重要的影響參數,研究其在一定范圍內變化時各錨索模型所得動頻率與濕模態的分布規律。此外,錨索軸向力Nt、截面積Ac、慣性矩Ic、長度L及與管體的連接剛度K可由式(2)～(6)根據相應的關系確定。

2.1 管體運動狀態下錨索的動頻率與濕模態

圖3給出了懸浮隧道支撐錨索在管體運動狀態下基于M1～M4模型的頻率圖,其中λ1=1.35,a=0.05 m,θ=60,h=100 m。對于懸浮隧道結構體系而言,管體在豎向周期運動acos(Ωt)的狀態下錨索與管體之間通過作用力N(x,t)和連接剛度K相互作用,基于M1～M4模型得到的錨索頻率隨時間的推移呈現周期性變化。為與已有固有頻率概念不隨時間變化相區別,本文稱隨管體運動而發生變化的錨索頻率為“動頻率”,典型的錨索各階動頻率如圖3(a)所示。更進一步,將基于靜力平衡時錨索索力與支撐范圍內凈浮力相等原則得到的幾何、材料參數分別代入可寫為顯式的M2～M4模型的頻率公式(即式(14)、式(19)、式(21)),可得

圖3 管體運動狀態下的錨索動頻率Fig.3 Dynamic frequencies of cable under tube motion

(22)

(23)

(24)

由式(22)～式(24)可知,錨索動頻率的變化周期為2π/Ω,且極大值、極小值與cos(Ωt)=±1對應。此外,由圖3(a)和式(22)～式(24)可知,動頻率極大值與極小值之間的變化幅度隨著頻率階次的升高而變大。通過基于M1～M4四種模型所得典型頻率(見圖3(b)中的第1階和圖3(c)中的第5階)的比較,M1模型所得頻率明顯大于其他三種模型所得頻率,基于M3模型與M4模型所得頻率非常接近。這些說明錨索的抗彎剛度、濕重及其他結構參數對不同階次的頻率有著不同程度的影響,后文將分析M1～M4模型所得頻率與浮重比、錨索傾角、豎向高度、管體運動幅值之間的變化規律和參數敏感程度。

圖4 錨索的規范化模態示意圖Fig.4 Diagram of normalized modes for cables

2.2 錨索隨浮重比變化的振動頻率

錨索頻率在管體運動狀態下隨著時間變化在極大值與極小值之間變化,為了描述其幅度與各類結構參數之間的變化規律引入“頻率帶”的概念,即某一組特定參數下頻率帶的上、下限值分別取動頻率的極大、極小值。圖5給出了基于四種模型所得錨索頻率隨浮重比λ1變化的規律圖(a=0.05 m,θ=60,h=50 m),其中四個子圖對應陰影部分所標識的區域分別為基于M1～M4所得第2階動頻率的頻率帶,其余階次的頻率帶只標注了上、下限,中間部分為頻率帶范圍。此外,每階頻率帶的范圍與頻率階次密切相關,由式(23)和式(24)及圖5(c)、圖5(d)的計算結果可知M3、M4模型所得各階動頻率帶寬與頻率階次n成正比,例如M4模型中構成頻率帶寬的上限ωnt、下限ωnb可寫為

圖5 錨索“頻率帶”隨浮重比變化的分布圖Fig.5 Diagram of “frequency band” for cable versus buoyancy weight ratio

(25)

而由式(11)、式(14)(或式(22))及圖5(a)、圖5(b)的計算結果可知由于錨索抗彎剛度的存在M1、M2模型所得各階頻率帶寬度與頻率階次n接近于成正比。

由圖5可知,在浮重比λ1由1.01增至1.50的過程中,基于M1、M2模型所得低階次頻率變化不明顯而高階次頻率增加明顯;基于M3、M4模型所得各階頻率均不隨λ1的變化而變化,其原因在于兩種模型的頻率表達式(23)和式(24)中與λ1相關的項已經消去。更進一步,圖6給出了基于不同模型所得的各階次頻率:對比M1模型和M2模型所得各階頻率可知,在考慮抗彎剛度的情況下濕重對頻率的影響很大,不可忽略;對比M3模型和M4模型發現,在不考慮抗彎剛度的情況下濕重對頻率的影響很小,幾乎可忽略。此外,對比M1模型和M3模型所得各階頻率可看出,在考慮濕重的情況下抗彎剛度對頻率的影響很大,在λ1變化范圍內均不可忽略;對比M2模型和M4模型可得,在不考慮濕重的情況下抗彎剛度對頻率的影響較小,在λ1取小值時可忽略而λ1取大值時不可忽略。

圖6 錨索各階動頻率隨浮重比變化的對比圖Fig.6 Comparison diagram of each-order dynamic frequency for cable versus buoyancy weight ratio

2.3 錨索隨傾角變化的振動頻率

圖7給出了基于四種錨索模型所得頻率帶隨水平傾角θ變化的分布規律(λ1=1.35,a=0.05 m,h=50 m),同樣陰影部分區域標識第2階動頻率的頻率帶,其余階次的頻率帶只標注上、下限。由圖7可知,各階頻率帶的帶寬均隨著θ的增大而變寬,當錨索豎直(θ=90)時頻率帶的帶寬達到極值。在θ增大的過程中,基于M1模型得到的頻率帶下限單調遞減,對應的上限則先減后增;基于M2～M4模型得到的頻率帶上限和下限均單調遞增,最終穩定于某一值附近。基于M1模型所得頻率帶與其余三種模型的最大差異區間位于θ取較小值時,此時由同時考慮錨索抗彎剛度和濕重影響得到的頻率值顯著大于忽略其中一種或兩種因素得到的頻率值。

圖7 錨索“頻率帶”隨水平傾角變化的分布圖Fig.7 Diagram of “frequency band” for cable versus horizontal inclined angle

圖8給出了由M1～M4得到的隨水平傾角θ變化的各階次頻率,通過不同模型所得頻率之間的對比可知錨索抗彎剛度與濕重對頻率的影響存在與圖6類似的規律。在考慮抗彎剛度的情況下濕重對頻率的影響很大,不可忽略;在不考慮抗彎剛度的情況下濕重對頻率的影響很小,幾乎可忽略。在考慮濕重的情況下抗彎剛度對頻率的影響很大,在θ變化范圍內對應頻率帶分布差異明顯;在不考慮濕重的情況下抗彎剛度對頻率存在一定的影響,在θ取小時可忽略而λ1較大時不可忽略。

圖8 錨索各階動頻率隨水平傾角變化的對比圖Fig.8 Comparison diagram of each-order dynamic frequency for cable versus horizontal inclined angle

2.4 錨索隨豎向高度變化的振動頻率

圖9給出了基于M1～M4模型所得頻率帶隨錨索豎向高度h的變化規律(λ1=1.35,a=0.08 m,θ=60)。由圖9可知,以陰影部分區域(第2階)為代表的典型動頻率帶隨h變化的分布特征呈現與其他參數不同的規律。整體上,基于四類模型所得各階動頻率的帶寬均隨h的增大而變窄。當h增至某一值時,由M3、M4模型所得各階動頻率帶寬與頻率階次n成正比,由M1、M2模型所得各階動頻率帶寬與頻率階次n接近于成正比。在h增大的過程中:M1～M4模型對應的頻率帶上限均單調遞減且在h較小時減幅非常顯著;下限在h大于某特定值時先增后減,在h小于該值時錨索出現松弛且分布特性因模型各異。

圖9 錨索“頻率帶”隨豎向高度變化的分布圖Fig.9 Diagram of “frequency band” for cable versus vertical height

對于M1、M2模型,在h變化過程中下限與水平軸相交于hst,此交點為張緊與松弛兩種狀態的分界點,hst的取值與幾何、材料參數及模態階次有關,其中,M2模型對應的hst可由令式(22)右邊大括號內的項等于零且cos(Ωt)=-1所得關于hst的方程求得。對于M3模型,由式(23)右邊兩個大括號內的項等于零且cos(Ωt)=-1可分別得到兩個交點hst1

圖10給出了基于M1～M4模型的各階次頻率隨h變化的分布圖,通過不同模型之間的對比可知錨索抗彎剛度、濕重對頻率的影響存在與圖6、圖8類似的規律。對比M1模型和M2模型,在考慮抗彎剛度的情況下濕重對頻率的影響很大;對比M3模型和M4模型,在不考慮抗彎剛度的情況下濕重對頻率的影響很小,幾乎可忽略;對比M1模型和M3模型,在考慮濕重時抗彎剛度對頻率的影響很大,二者差異在h變化區間內均不可忽略;對比M2模型和M4模型,在不考慮濕重的情況下抗彎剛度對頻率的影響較小,在h增至一定值時可忽略。

圖10 錨索各階動頻率隨豎向高度變化的對比圖Fig.10 Comparison diagram of each-order dynamic frequency for cable versus vertical height

2.5 錨索隨管體運動幅值變化的振動頻率

圖11給出了由M1～M4模型所得頻率帶隨管體運動幅值a變化的分布規律(λ1=1.35,θ=60,h=50 m),以陰影部分區域(第2階)為代表的典型動頻率帶隨運動幅值變化的分布特征顯示四類模型的動頻率分布特征除了a增至一定程度時的下限值外整體上分布類似。基于四類模型的各階動頻率帶寬均隨a的增大而變寬,由于上、下限與cos(Ωt)=±1對應,通過式(22)～式(24)和圖11可知當a小于某一值時,由M3、M4模型所得各階動頻率帶寬與頻率階次n成正比,由M1、M2模型所得各階動頻率帶寬與頻率階次n接近于成正比。在a增大的過程中,四類模型對應的頻率帶上限均單調遞增。

圖11 錨索“頻率帶”隨管體運動幅度變化的分布圖Fig.11 Diagram of “frequency band” for cable versus amplitude of tube motion

值得注意的是,頻率帶下限在a小于某特定值時單調遞減,而a大于該值時錨索出現松弛且分布特性因模型各異。在a變化過程中,M1模型(見圖11(a))和M2模型(見圖11(b))的頻率帶下限與水平軸相交于錨索張緊與松弛狀態的分界點ast,其中,令式(22)右邊大括號內的項等于零且cos(Ωt)=-1可得M2模型對應的ast,它可表述為幾何、材料參數及抗彎剛度、模態階次等的函數。對于M3模型,此時令式(23)右邊兩個大括號內的項等于零且cos(Ωt)=-1可分別得到兩個交點ast1>ast2,實際下限不會達到零,下限值由ast2代入式(23)得到且在a>ast2時不再變化,圖11(c)中頻率帶下限分布與此吻合。對于M4模型,令式(24)中右邊大括號內的項等于零且cos(Ωt)=-1可得下限與水平軸的交點ast=hcos2θ·[σ]/(λ2Ec),可知它為一個與抗彎剛度、模態階次無關的數,因而正如圖11(d)所證實的不同階次頻率對應的ast匯聚在一起。

基于M1～M4模型的各階次頻率隨a變化的分布規律如圖12所示,通過不同模型之間的對比分析抗彎剛度、濕重對頻率帶的影響。與圖6、圖8、圖10中結構參數的影響規律類似,通過相關模型所得頻率帶之間差異的類比可知:在考慮抗彎剛度的情況下濕重對頻率的影響很大;在不考慮抗彎剛度時濕重對頻率的影響很小幾乎不可忽略;考慮濕重時抗彎剛度對頻率的影響很大,二者頻率帶的差異在管體運動時不可忽略;不考慮濕重時抗彎剛度對低階頻率的影響很小而高階頻率中不可忽略。

3 結 論

以懸浮隧道支撐錨索為研究對象,根據考慮構件抗彎剛度、濕重的方式建立了M1～M4四類力學模型,研究了管體運動狀態下錨索的自振特性,及與浮重比、錨索傾角、豎向高度和管體運動幅值之間的關系,主要結論如下:

(1)在懸浮隧道結構擬靜態處理,錨索頂端張力與支撐范圍內凈浮力相等的前提下,錨索在管體運動狀態下出現隨著時間變化的周期性“動頻率”,隨系統參數變化的“頻率帶”與浮重比、傾角、豎向高度和運動幅值均相關。

(2)錨索濕重、豎向高度是影響濕模態的兩個主要因素。h≤500 m時基于四類模型所得濕模態非常接近;h>500 m時存在一定的差異。h較大的情況下,考慮錨索濕重時模態振幅在深度方向逐漸增加,不考慮錨索濕重時振幅在深度方向不變。

(3)考慮抗彎剛度時動頻率隨浮重比的變化而改變,各階頻率帶寬與階次接近于成正比;不考慮抗彎剛度時動頻率上、下限及頻率帶寬均不隨浮重比發生變化,各階頻率帶寬與階次成正比。

(4)在錨索水平傾角增大的過程中,各階動頻率帶的帶寬增大;基于M1模型得到的頻率帶下限單調遞減,對應上限先減后增;基于M2～M4模型得到的頻率帶上、下限均單調遞增。

(5)在錨索豎向高度h增大的過程中,各階動頻率帶的帶寬變窄,上限單調遞減且在h較小時減幅非常顯著;下限在h

(6)各階動頻率帶的帶寬隨著管體運動幅值的增大而增大,考慮抗彎剛度時頻率帶寬與階次接近于成正比,不考慮抗彎剛度時頻率帶寬與階次成正比。頻率帶的上、下限與cos(Ωt)=±1對應,其中下限在a>ast(即張緊與松弛的分界點)時錨索出現松弛且分布特性因模型各異,且ast與幾何、材料參數及抗彎剛度、模態階次存在對應關系。

(7)考慮抗彎剛度時濕重對頻率的影響很大,不可忽略;不考慮抗彎剛度時濕重對頻率的影響很小,幾乎可忽略;考慮濕重時抗彎剛度對頻率的影響很大,在各種參數變化范圍內均不可忽略;不考慮濕重時抗彎剛度對低階頻率的影響很小而高階頻率中不可忽略。