基于高斯展開法的碟形聲學黑洞寬頻調諧減振機理研究

丁 媛, 施凱耀, 鄭 玲

(重慶大學 機械與運載工程學院 機械傳動國家重點實驗室,重慶 400044)

聲學黑洞[1]是利用薄壁結構幾何參數或者材料特性參數的梯度變化,使波在結構中的傳播速度逐漸減小,理想情況下波速減小至零從而不發生反射的現象。由于其在減振降噪[2-3]、能量回收[4-7]以及聲波調控[8-10]方面的應用潛力,在過去的十幾年中一直倍受關注。

Zeng等[11]研究了不同截面形狀一維聲學黑洞梁的能量聚集效應,分析了激勵位置對聲學黑洞不同頻率段能量聚集的強化作用,提出了聲學黑洞梁寬頻振動控制的影響因素。黃薇等[12]對嵌入二維聲學黑洞的薄板進行了能量聚集效應研究,試驗證明了聲學黑洞結構對聚集波動能量的科學性與有效性。Ji等[13]針對具有尖端截斷的非完美一維聲學黑洞梁,試驗測試了聲學黑洞梁的反射系數,通過在聲學黑洞能量聚集區域引入阻尼層,彌補了尖端截斷帶來的聚能效應衰減問題。但以上嵌入式聲學黑洞,存在局部結構強度弱化問題,影響其工程實用性。

Deng等[14-15]研究了帶加強肋的聲學黑洞(acoustic black holes,ABH)環型結構,研究表明,多個環形ABH可以有效降低中心激勵源的振動傳遞,加強肋不僅改善了環形ABH的結構弱化,對降低振動傳遞也有顯著效果。Zhou等[16]將兩個ABH梁在ABH中心位置進行正向或反向重合,構建了復合ABH梁,有限元分析表明,復合ABH梁相比傳統的單個嵌入式ABH梁,其振動抑制作用明顯增強,且局部結構弱化問題得到有效改善。Gao等[17]在上述復合ABH梁基礎上,在聲學黑洞的兩端嵌入了乙烯-醋酸乙烯酯(ethylene-vingl acetate,EVA)材料,改善了其低頻振動控制的效果。

為了克服嵌入式聲學黑洞存在的局部結構強度弱化問題,Ji等[18]設計了一種二維圓形ABH,將其附加在主體結構上以抑制主體結構的振動。Comsol有限元分析和試驗表明,由于ABH和主體結構的耦合作用,其主體結構的振動得以有效抑制。本文設計一種新的二維碟形聲學黑洞結構(dish-shaped acoustic black hole,DABH),將其附加在主體結構上,以實現對主體結構的減振。基于高斯展開法,建立其半解析分析模型,分析碟形聲學黑洞與主體結構的耦合作用,揭示其寬頻調諧減振機理,為拓展聲學黑洞在寬頻結構振動控制上的應用提供新的設計思路。

1 二維碟形聲學黑洞耦合系統建模

圖1 DABH附加結構與耦合系統結構圖Fig.1 DABH and its coupling system structure

實際情況中,DABH是通過螺栓或焊接安裝到主結構板上,因此兩個部件在連接點處具有相同的位移和旋轉角度。一般處理邊界條件的方法有人工彈簧法[19-20]和零空間法[21-22]。本文連接部分使用人工彈簧來模擬,平移彈簧剛度為k,旋轉彈簧剛度為p,如圖1(c)所示。

本文基于Rayleigh-Ritz法框架,選擇高斯函數作為基函數,根據碟形聲學黑洞板的形狀確定高斯基函數的分布,建立碟形聲學黑洞與主結構板耦合系統的半解析分析模型。采用Comsol軟件,建立其有限元模型,驗證其正確性。

1.1 二維基函數的選取

DABH和主板結構三個方向的位移可由一系列二維形函數線性疊加來表示

(1)

式中:w,u,v分別為z方向的面外位移以及x和y方向的面內位移;φi,ξi,χi為形函數向量;Wi,Ui,Vi為權重向量;i=1為主結構板;i=2為DABH。耦合系統的形函數向量ξ和權重系數向量q分別為

(2)

以面外位移w的形函數φi為例,描述其具體形式,面內位移u,v與之類似。φi可由克羅內克積表示

φi=φix(x)?φiy(y),i=1,2

(3)

式中:φix(x)為x方向的形函數;φiy(y)為y方向的形函數,即

(4)

(5)

式中:px,py分別為x方向和y方向的尺度因子,其決定了半解析模型的計算精度;qxj和qyk分別為x方向和y方向的平移因子;m為φix(x)中元素的個數;n為φiy(y)中元素的個數。結合式(3)和式(4),可以得到

(6)

由式(6)可知,形函數向量φi的維度為mn。其中,尺度因子和平移因子的選取需滿足[23]

(7)

qxj=[-4+floor(-2px·a),ceil(2px·a)+4]

(8)

qyk=[-4+floor(-2py·b),ceil(2py·b)+4]

(9)

(10)

1.2 二維碟形聲學黑洞耦合系統半解析模型

在Rayleigh-Ritz框架下,可建立耦合系統的拉格朗日方程,導出耦合系統的運動方程。主結構板和DABH的動能為

式中:ρi(i=1,2)為兩者的密度;hi(x,y)(i=1,2)為兩者的厚度。系統總動能為

(12)

式中,M為耦合系統的質量矩陣。

系統的勢能由三部分組成,主結構板和DABH的勢能以及連接處的彈性勢能。主結構板和DABH的勢能為

(13)

(14)

最終耦合系統的總勢能為

(15)

式中,K為耦合系統的剛度矩陣。

對主結構板施加外力,系統的外力功可表示為

(16)

W=qTf

(17)

式中,f為外力在以高斯基函數為廣義坐標下的力向量。

利用式(12)、式(15)和式(17),可建立拉格朗日函數

(18)

歐拉-拉格朗日方程為

(19)

由此得到耦合系統的運動方程

(20)

將q=Qexp(iωt)和f=Fexp(iωt)代入上式,可得運動方程的頻域表達式

(21)

進一步,令F=0,式(21) 成為一個廣義特征值問題,可求解出耦合系統的特征頻率ωn和特征向量Qn。

1.3 模型驗證

為了驗證所建立的半解析模型的準確性,基于Comsol有限元分析軟件,建立DABH與主結構板耦合系統的有限元分析模型,將半解析模型與有限元模型的計算結果進行對比。二維碟形聲學黑洞耦合系統如圖1所示,主結構板邊界條件為自由邊界,附加DABH與主結構板在中心處連接,相關的材料和幾何參數如表1所示。主結構板和DABH采用同種材料,表中:ρ,E,μ及η分別為該材料密度、彈性模量、泊松比和阻尼系數;ρv,Ev,μv及ηv分別為鋪設的阻尼材料的密度、彈性模量、泊松比和阻尼系數。彎曲波和縱波的平移彈簧系數設置為kw=1×1011N/m、ku=1×1014N/m,旋轉彈簧系數為p=1×109N·m/rad。

表1 耦合系統的材料參數和幾何參數Tab.1 Material parameters and geometric parameters of the coupling system

1.3.1 模態收斂性驗證

圖2為半解析模型與有限元模型的模態頻率對比結果及其相對誤差。半解析模型計算過程中,選取尺度因子為px=py=6。由圖2可知,本文建立的半解析模型,其計算結果準確,與有限元模型結果的相對誤差均在2%以內。

圖2 聲學黑洞板的模態分析結果Fig.2 The diagram of modal frequency error of the system

圖3是耦合系統的模態振型圖。其中:第一行為DABH高斯展開法計算結果;第二行為DABH有限元計算結果;第三行為主結構板高斯展開法計算結果;第四行為主結構板有限元計算結果。可以看出,半解析模型的第 2、第19、第31、第41 階模態振型與有限元模態振型完全一致,驗證了半解析建模方法的正確性。

圖3 DABH與主結構板耦合系統的模態振型圖Fig.3 Modal mode shape diagram of the coupling system of DABH and the host plate

1.3.2 強迫響應驗證

對DABH與主結構板耦合系統施加正弦載荷,其作用點的坐標為(0.35,0.35),幅值為1 N(見圖1(b))。計算主結構板的平均均方速度MSV

(22)

主結構板的平均均方速度,如圖4所示。由圖4可知,在 2 000 Hz 以內,半解析模型計算的平均均方速度(mean square velocity,MSV)與有限元模型的MSV基本吻合。

圖4 耦合系統的平均均方速度Fig.4 Average mean squared velocity of the coupled system

1.3.3 計算效率驗證

為了比較兩種方法的計算效率,分別測試了有限元模型和半解析模型固有頻率和強迫響應的計算時間。有限元模型前200階固有頻率的計算時間為1 599 s,0～2 kHz強迫響應計算時間為179 549 s,半解析模型前200階固有頻率的計算時間為427 s, 0～2 kHz強迫響應計算時間為3 463 s。結果表明,本文建立的半解析模型具有更高的計算效率,這為進一步參數優化和耦合機理分析,提供了計算手段。

2 寬頻調諧減振機理

在DABH外緣粘貼阻尼層,有無DABH附加結構的主結構板強迫響應對比,如圖5所示。由圖5可知,DABH附加結構觸發了主結構的寬頻振動抑制。DABH作為一個動態吸振器,在268 Hz和580 Hz引起了峰值分裂,共振峰數量增加,單個峰幅值下降,表現出更顯著的減振效果。對于其他共振峰,雖未出現峰值分裂,但出現了峰值偏移及幅值的明顯降低,如370 Hz和425 Hz。上述現象產生的原因:一是由于附加結構的ABH能量聚集效應;二是DABH的動態吸振器(dynamic vibration absorber,DVA)效應。前者表現為某些共振峰值降低但未出現峰值分裂,后者表現為部分頻率發生峰值分裂。此外,聲學黑洞結構存在截止頻率[25]

圖5 有無DABH附加結構的主結構板的MSVFig.5 MSV of the host plate with or without DABH

(23)

聲學黑洞效應不能被頻率低于frABH的波觸發。DABH的截止頻率在200 Hz附近,從圖5可以看到在200 Hz以下,DABH的減振效果并不明顯,附加DABH的主結構板在高頻表現出更顯著的減振效果。

2.1 DABH結構的能量損耗及影響因素

2.1.1 DABH結構的減振作用

為了驗證DABH的能量聚集效應,在DABH結構的中心施加振幅為1 N的簡諧力。采用振動均方根速度(root mean square velocity,RMS velocity)對響應進行表征,RMS定義為

(24)

選取兩個測試點,Rm1=0.17 m,位于冪律裁剪外圍的均勻平臺處,Rm2=0.025 m位于DABH中心的均勻平臺處,如圖6所示。此外,定義能量比為Γ=20lg(|vm1/vm2|),來表征聲學黑洞的聚能效應。

圖6 點Rm1和Rm2位置示意圖Fig.6 Schematic diagram of the location of points Rm1 and Rm2

為了驗證ABH效應,將具有與DABH尺寸相同的圓形均勻板(uniform circular plate,UCP)的結果作為參考。由于板結構豐富的模態頻率,我們僅分析0～2 kHz的振動響應。圖7(a)和圖7(b)分別為Rm1和Rm2處的結果對比。從中可知,與UCP相比,DABH在Rm1處的響應速度較大,毫無疑問這是由于ABH厚度冪律裁剪導致的波傳播特性。理論上,Rm2處的速度響應相比UCP,其速度響應應該較小,但圖7(b)表明,這種差異并不顯著。表明Rm2與Rm1距離不遠,僅靠彎曲波在ABH中的傳遞,并不能顯著降低Rm2的振動響應,尚需通過某種耗散機制來進一步減少彎曲波在邊界的反射。圖7(c)為兩點的能量比,可以看出,DABH相較于UCP的能量集中效應是十分明顯的。

圖7 DABH和UCP的振動均方根速度及能量比Fig.7 Vibration RMS velocity and energy ratio of DABH and UCP

為了耗散ABH在尖端部分的振動能量聚集,本文在尖端部分粘貼阻尼材料,以降低彎曲波在邊界的反射,UCP也做同樣處理。阻尼材料粘貼在DABH的r4區域,(見圖1(c))。阻尼材料的幾何和材料參數見表1。在DABH和UCP的中心施加振幅1 N的簡諧力,比較兩者的強迫響應MSV,圖8(a)為強迫響應結果?？梢钥闯?粘貼阻尼材料以后,DABH邊緣的振動能量被有效耗散,共振頻率處的幅值低于相同處理的UCP。圖8(b)為0～1 500 Hz的模態頻率和模態阻尼比,可見粘貼阻尼材料后,DABH的模態損耗因子遠遠超過UCP,這是由于DABH優越的能量聚集效應帶來的高阻尼特性。此外,UCP僅有68個模態,而DABH則有132個模態,由于DABH模態密度增加,大大促進了DABH與主結構板耦合的幾率。

圖8 粘貼阻尼材料的DABH和UCP的MSV和模態阻尼比Fig.8 MSV and modal damping ratio of DABH and UCP with damping material

將粘貼阻尼材料的DABH及UCP安裝到相同的均勻方板上,連接位置與施加的激勵與前述一致。圖9為附加DABH及UCP的主結構板表面的MSV?？梢钥闯? DABH觸發了主結構板的寬帶振動抑制。盡管附加UCP的主結構板,其部分共振峰也有所降低,但其作用與DABH相比是很小的。說明DABH作為附加結構,通過與主結構的耦合作用,利用其ABH效應以及DVA效應,實現了振動能量從主結構板到DABH的轉移以及在DABH邊緣尖端的振動能量耗散,達到了更好的減振效果。

圖9 附加DABH和UCP的主結構板的MSVFig.9 MSV of the host plate with DABH and UCP

2.1.2 DABH結構參數影響

從圖1可知,影響DABH性能的主要參數有截斷厚度he、衰減指數m、ABH半徑rABH以及外延寬度r3-r2,不同參數的影響效果如圖10所示。

圖10 DABH結構參數對主結構板振動響應的影響Fig.10 Influence of DABH structural parameters on vibration response of the host plate

在一維ABH梁的研究中,已證明截斷厚度對于ABH效應有較大的影響。非理想情況下,因為截斷厚度的存在導致彎曲波從尖端反射,從而影響ABH效應。從圖10(a),也可以看到DABH具有類似的效果,即隨著截斷厚度的減小,MSV的峰值也在不斷降低,DABH的減振效果增強。

眾所周知,ABH效應在剖面變化冪指數m≥2時成立。圖10(b)是不同m值下DABH在5 kHz內的振動響應?？梢钥吹?增加冪指數m對最終減振效果影響不大。

外延寬度是DABH邊緣外伸的一段均勻厚度部分的寬度,即r3-r2。在圖10(c)中,保持r2=0.15 m不變,通過改變r3,來獲取不同的外延寬度。一維ABH的研究表明,一定的外延部分對于ABH效應的提升是有幫助的[26]。本文中DABH二維結構,也有類似的現象,即隨著外延平臺尺寸的增加,主結構板MSV的峰值顯著降低,但降低的效果會隨外延寬度的增加逐漸減弱。

假設外延寬度為零,通過改變ABH半徑,來分析ABH半徑的影響規律。從圖10(d)中可以看到,隨著ABH半徑的增加,ABH減振效果增強。相比于最小的半徑尺寸rABH=0.13 m,最大的半徑尺寸rABH=0.17 m的主結構板MSV峰值降低了8 dB。此外,隨著半徑的增加,ABH效應也會向低頻拓展。

除了DABH本身的參數以外,DABH的安裝位置對主結構的減振性能也有影響。圖11 是DABH不同安裝位置的模態振型。圖11(a)表明,當DABH位置處于主結構板節點位置時,其主結構板的MSV較高;圖11(b)表明,當DABH處于主結構板的非節點位置時,其可以通過耦合,更多地從主結構板中吸收振動能量,并由阻尼材料進行耗散。因此,DABH安裝在主結構板幅值越大的地方,對主結構板的有更好的減振效果。圖12是不同安裝位置的主結構板MSV,也可以觀察到同樣的現象。除了安裝位置外,DABH的對稱性也會影響減振效果[27]。

圖11 DABH不同安裝位置的系統模態振型(751 Hz)Fig.11 Modal shapes with different mounting positions (751 Hz)

圖12 不同安裝位置的主結構板的振動響應Fig.12 Vibration response of the host plate in different mounting positions

2.2 模態振型對動態耦合效應的影響

圖13是阻尼材料的阻尼系數設為0時,有無DABH的強迫響應結果?？梢杂^察到,如果沒有阻尼材料的耗散作用,其結構板峰值分裂現象更為明顯,共振峰數量更多。相比圖5,在1 040 Hz附近出現了新的峰值分裂。分析峰值分裂對應頻率的DABH模態振型發現, DABH具有同心圓振型,如圖14所示。這與Ji等的發現規律一致,即附加結構與主結構的強耦合僅在特定DVA模態發生。

圖13 有無DABH附加結構(ηv=0)的主結構板的強迫響應MSVFig.13 Forced response MSV of the host plate with or without DABH (ηv=0)

圖14 DABH的同心圓振型Fig.14 Concentric circle modal shape

分析DABH模態振型可知, 在1 500 Hz范圍內,共有四個同心圓模態,分別對應61.33 Hz,272.85 Hz,594.50 Hz,1 000.07 Hz。除最小的頻率61.33 Hz外,其他三個固有頻率均在圖13中出現了峰值分裂。

圖15是耦合系統以及組成部分的模態頻率和模態阻尼比。將耦合系統的模態分為三類:第一類是DABH主導的模態,即耦合系統與DABH的模態頻率以及模態阻尼比基本一致;第二類是主結構板主導的模態,即耦合系統的模態頻率與主結構板的模態頻率基本一致;第三類是產生明顯耦合作用的模態,即耦合系統的模態頻率與DABH以及主結構均不相同,出現了新的耦合模態,其模態阻尼比比主結構板的模態阻尼比要大。第三類的耦合模態頻率中,包含了268 Hz, 580 Hz以及1 040 Hz附近頻率,即圖15中綠色虛線圈出的模態,它們分別對應了DABH的同心圓振型模態頻率272.85 Hz, 594.50 Hz以及1 000.07 Hz, 實現了完美的DVA效應。盡管DABH有豐富的模態,但其與主結構板發生耦合的模態并不多,第一類和第二類的系統模態并未發生耦合,DABH以及主結構分別各自保持原有的模態特征,僅其中一個產生振動,另一個并不參與振動。

圖15 耦合系統及其組成部分的模態阻尼比Fig.15 Modal damping ratios of coupled systems and different components

通過改變DABH結構參數,調整其模態頻率,可實現對主結構板特定頻率的減振。為了驗證這一推論,改變DABH的固有頻率,使之某階固有頻率與主結構板相近。為避免阻尼材料的干擾,假設阻尼材料損耗因子為0,僅通過改變阻尼的厚度來改變DABH的固有頻率。當阻尼層厚度為3.3 mm, DABH第24階固有頻率為272.85 Hz,其振型為同心圓振型,如圖16(b)所示,與主結構板的第11階模態頻率267.85 Hz相近。當阻尼層厚度為2.1 mm時,由于阻尼厚度的降低引起附加質量下降導致模態頻率向高頻移動,此時DABH的第3階固有頻率為66.67 Hz,其振型為同心圓振型,如圖16(a)所示,與主結構的第2階模態頻率68.02 Hz相近,DABH的第33階固有頻率為371.03 Hz,其振型為非同心圓振型,如圖16(c)所示,與主結構的第12階模態頻率366.04 Hz相近。圖17(a)、圖17(b)和圖17(c)分別是66.67 Hz、272.85 Hz和371.03 Hz的強迫響應結果,可見,兩個同心圓振型對應頻率的峰值都發生了峰值分裂,展示了完美的DVA效應,而非同心圓振型對應的頻率371.03 Hz,其峰值并未發生分裂。表明通過改變DABH結構參數,調整其模態頻率,可實現對主結構板特定頻率的減振。

圖16 DABH的模態振型Fig.16 Modal Shapes of DABH

圖17 主結構板的振動響應MSVFig.17 MSV of the coupled structure

3 結 論

本文針對碟形聲學黑洞與主結構板的耦合系統,在Rayleigh-Ritz法框架下,選擇高斯函數作為基函數,建立了其半解析分析模型。研究了碟形聲學黑洞結構參數以及連接位置對主結構板振動響應的影響規律,揭示了DABH寬頻調諧減振機理。研究結論如下:

(1)利用Kirchhoff-Love薄板理論,考慮面內外位移,通過高斯基函數的選擇、形函數篩選以及人工彈簧法,建立了基于高斯展開法的半解析模型。結果表明,半解析建模方法準確、高效,為機理分析和參數優化提供了計算手段。

(2)DABH具有優異的能量聚集效應。減少截斷厚度、增大聲學黑洞半徑以及擴展延伸平臺長度均能增強其ABH的能量聚集效應;在邊緣尖端處粘貼阻尼材料以及將DABH安裝在主結構板的振幅較大處,均可提升DABH對主結構板的減振作用。

(3)利用DABH豐富的模態,通過調整DABH的固有頻率,可最大限度地實現DABH與主結構的模態耦合,使DABH起到完美的DVA調諧減振作用,有效降低主結構板某些特定頻率的振動響應,達到寬頻調諧減振的目的。