基于自適應滑模的欠驅動無人艇軌跡跟蹤控制算法

姜 濤，陳 宇，周興閣

(同濟大學 機械與能源工程學院，上海 201804)

0 引言

水面無人艇是一種能夠自主航行并完成一系列任務的智能化水面平臺，因其具有安全性高、可靠性強、工作效率高、體積小且造價低廉等優點，被廣泛運用于科學研究、海水檢測和海上偵察搜索等領域，具有廣闊的應用前景[1-3]。

近年來，隨著計算機及控制技術的進一步發展，水面無人艇的工程應用及理論研究取得了突破性進展。然而，隨著海洋工程的不斷進步，在水面無人艇的運動控制領域內仍然面臨著巨大挑戰。首先，復雜的海況使無人艇在建模時不僅需要考慮海水的推力，還要考慮涌流對系統的影響，同時海面上巨大的風浪對水面無人艇的運動控制也會產生不利影響；其次，無人艇的動力輸出結構決定了水面無人艇的控制輸入維度小于無人艇運動自由度數，是一種典型的欠驅動系統，目前常見的一些控制方法無法直接運用于水面無人艇；此外，無人艇是一個高度耦合的水文系統，受船體參數攝動、質量變化、動力學模型中存在動態不確定項等因素的影響，精確的無人艇模型難以建立，加之執行器飽和、故障等情況，對無人艇系統進行穩定、快速、準確的控制具有高度的挑戰性[4-6]。

無人艇的軌跡跟蹤問題，即為無人艇設計一個合適的控制器，使無人艇對于任意給定的初始狀態，其可以在執行器輸入的作用下沿著所給出的期望軌跡進行跟蹤運動。無人艇的軌跡跟蹤是無人艇控制領域的熱點問題。與路徑跟蹤問題不同，無人艇的軌跡跟蹤控制受到時間的約束，即要求被控對象在指定的時間到達期望軌跡上相應的位置。由于無人艇本身是一個非線性的欠驅動系統，且需要考慮諸多干擾因素和其對于無人艇軌跡跟蹤效果的影響，因而目前的欠驅動無人艇運動控制算法主要采用自適應控制、反演控制、滑模控制、預測模型控制和神經網絡控制等智能控制算法[7-13]。

陳霄等[14]針對三自由度欠驅動無人艇的路徑跟蹤問題，設計了一種基于視線制導律(LOS)的跟蹤控制算法；張昕[15]將滑模控制與反步法結合提出了一種欠驅動無人艇軌跡跟蹤控制算法，并通過MATLAB仿真驗證了算法的有效性。Wanga等[16]針對無人艇的模型不確定性問題，采用了RBF神經網絡對不確定動力參數項進行了逼近，實現了模型參數攝動條件下無人艇的航向控制問題。Li等[17]提出了一種基于LOS的可在有限時間內收斂的路徑跟蹤策略，并設計了有限狀態觀測器和輔助系統實現了欠驅動無人艇在速度未知和執行器飽和等條件下的路徑跟蹤控制。Huang等[18]在LOS路徑跟蹤制導律的基礎上設計了一種新的欠驅動無人艇軌跡跟蹤制導律，并考慮了外界風浪流干擾對系統產生的影響，有效提高了欠驅動無人艇的跟蹤性能。

基于上述文獻的分析，目前對于外界干擾未知、模型存在不確定性和執行器故障等條件下的欠驅動無人艇軌跡跟蹤控制問題的研究相對較少。本文提出了一種基于擾動觀測器與神經網絡技術的軌跡跟蹤控制策略，并采用自適應滑模控制律應對可能出現的執行器衰減故障問題，實現了較為復雜環境條件下欠驅動無人艇的軌跡跟蹤控制問題，具有一定的參考意義和應用價值。

1 問題描述

1.1 欠驅動無人艇的三自由度數學模型

為了完整準確地建立無人艇的運動學和動力學模型，通常需要建立兩個不同的坐標系。如圖1所示，O0-X0Y0Z0為慣性坐標系，O0為坐標原點，O0X0軸指向正北方向，O0Y0軸指向正東方向，O0Z0豎直向上，慣性坐標系主要用于描述無人艇的位姿信息；O-XYZ為船體坐標系，O為坐標原點且通常為無人艇的重心，OX軸指向艇首方向，OY軸指向艇的右舷方向，OZ軸指向艇的頂部方向，船體坐標系適合描述艇的速度和受力信息，因而無人艇的動力學模型方程一般建立在船體坐標系上。

水面無人艇在實際的航行過程中共包含6個自由度，分別為縱蕩、橫蕩、垂蕩、橫搖、縱搖和艏搖。但由于六自由度的無人艇模型較為復雜，不利于軌跡跟蹤控制器的設計和研究，因而在實際的應用中，通常會忽略無人艇的垂蕩、縱搖和橫搖這3個在無人艇軌跡跟蹤控制問題中影響較小的自由度，從而將問題簡化為三自由度的平面運動控制問題。如圖2所示，欠驅動無人艇在前進推力和轉向力矩的作用下航行。我們假設無人艇的質量分布均勻且結構左右對稱，同時忽略地球自轉對無人艇產生的加速度影響，則欠驅動無人艇的三自由度數學模型可以表示為[19]

圖2 無人艇的三自由度模型

圖3 視線制導律的基本原理

(1)

其中：(x，y，r)為慣性坐標系下無人艇的橫坐標、縱坐標和航向角，(u，v，r)為船體坐標系下無人艇的橫向速度、縱向速度和航向角速度，(m11，m22，m33)為無人艇的慣性質量系數，(d11，d22，d33)為無人艇的阻尼系數，(τu，τr)為執行器實際作用在無人艇上的推力和轉向力矩，(wu，wv，wr)為外界風浪作用在無人艇上的橫向干擾力、縱向干擾力和干擾力矩。

無人艇在實際的航行過程中，執行器可能發生故障從而導致控制系統的穩定性和動態性能受到影響。由于執行器卡死情況的發生會使系統不可控，在此不予分析。本文僅討論執行器衰減故障產生的影響，并假設有

(2)

1.2 控制目標

假設給定的期望軌跡變化光滑的前提下，考慮外界風浪流干擾、執行器衰減故障和模型參數不確定性等因素對無人艇產生的影響，設計一個合適的欠驅動無人艇控制器，使其在慣性坐標下的位姿滿足

(3)

2 欠驅動無人艇軌跡跟蹤控制器設計

如圖4所示，本文設計的軌跡跟蹤控制系統主要由視線制導律，自適應滑模控制器，非線性擾動觀測器和RBF神經網絡四部分組成。控制系統首先根據制導律得到無人艇期望的航向角和前進速度，確保無人艇的位置可以收斂到期望軌跡。再通過自適應滑模控制器跟蹤期望的航向角和前進速度，并抑制執行器衰減故障產生的影響。同時，通過非線性擾動觀測器對未知外部海洋環境干擾進行在線估計，以此提高無人艇軌跡跟蹤控制系統的魯棒性。最后，利用RBF 神經網絡的逼近特性，對模型中的不確定動態項進行在線估計，降低因模型中存在的不確定動態項對控制系統性能的影響，從而實現對無人艇的精準控制。

圖4 無人艇軌跡跟蹤控制器系統框圖

本文的控制器設計方法將神經網絡技術與擾動觀測器技術相結合，使設計的無人艇軌跡跟蹤控制器同時繼承了以上兩種技術的優良特性。通過引入神經網絡技術解決了欠驅動無人艇動力學模型中存在不確定動態項的問題，同時結合擾動觀測器技術，使得未知外部擾動能夠被觀測器估計出來進而補償到前饋控制網絡中，從而提高控制系統抵抗外部環境擾動的能力。

2.1 欠驅動無人艇制導律設計

傳統的欠驅動無人艇軌跡跟蹤策略大多基于反步法或 PID控制法進行設計。但由于無人艇模型是一個復雜的非線性欠驅動系統，直接對其控制律進行設計是一個難題，通常會出現較為復雜繁瑣的虛擬控制量，這使得控制器在實際的應用中受到了限制。為了降低控制系統設計的復雜度，確保無人艇可以準確跟蹤期望軌跡，本文在視線制導律的基礎上設計了一種適用于軌跡跟蹤的新的制導策略，使無人艇可以在時間參數的約束下到達相應的位置。

視線制導律的基本思想在于減小無人艇與期望路徑之間的橫向誤差ye，根據橫向誤差的大小計算出相應的目標航向角，以減小無人艇與期望路徑之間的距離，實現路徑跟蹤的目的。該方法因其結構簡單易于理解和設計，且制導律僅與無人艇的實際位置和期望路徑相關，不受限于系統的動力學模型，因而被廣泛應用于欠驅動無人艇的路徑跟蹤控制系統中。

如圖3所示，假設無人艇的期望軌跡曲線的表達式為Pd(xd(t)，yd(t))，則該路徑上在t時刻的切向角ψd為：

(4)

定義無人艇相對于理想位置(xd，yd)的縱向跟蹤誤差xe和橫向跟蹤誤差ye為：

(5)

對式(5)進行求導并將式(1)代入可得：

(6)

傳統的視線制導律大多應用于欠驅動無人艇的路徑跟蹤控制系統，此時的期望路徑表達式為Pd(xd(s)，yd(s))，其只與路徑參數s相關，而與時間t無關。傳統的視線制導律的表達式為

(7)

其中：ψp為期望航向角，Δ為前視距離。

式(7)中的制導律可以使欠驅動無人艇橫向誤差ye收斂，從而使無人艇跟蹤期望路徑，但由于該制導律的前向期望速度由人為設定，因而無法直接應用于軌跡跟蹤控制問題，為了確保縱向誤差xe收斂，設計如下的制導律

(8)

構造Lyapunov函數

(9)

對式(9)求導并將式(6)和式(8)代入可得

(10)

相較于傳統的反步控制法、視線制導律和文獻[18]中的軌跡跟蹤制導律而言，本文提出的制導律有如下幾點優勢：

1)在傳統視線制導律的基礎上增加了期望速度的制導律，使其可以應用于欠驅動無人艇的軌跡跟蹤問題，確保了無人艇與期望軌跡的橫向誤差和縱向誤差均在有限時間內收斂至零。

2)設計的制導律中的期望速度up和期望航向角ψp可以直接通過前進推力和轉向力矩的控制來完成，避免了反步法中將航向角和縱向速度耦合而產生的復雜虛擬控制量，降低了軌跡跟蹤控制器的設計難度和復雜度。

3)增加了有限時間項sigρ(x)，該項可以使無人艇的實際的航向角與跟蹤軌跡更為光滑，且可以有效降低無人艇制導系統的超調量，使無人艇的實際位置可以更快地收斂至期望軌跡。

4)對縱向跟蹤誤差xe進行了歸一化處理，使制導律得到的期望速度更為合理，避免了文獻[18]中縱向誤差xe過大時，Up變為負數從而使制導律得到的期望速度超出無人艇所能達到的速度范圍的問題，確保了無人艇制導系統在距離期望軌跡較遠時的有效性。

2.2 非線性擾動觀測器設計

無人艇在航行過中時會受到海風海浪等外界因素的干擾，這使得無人艇難以進行精確的控制。為了有效抑制外界的干擾，在無人艇的軌跡跟蹤控制系統中通常會設計一個擾動觀測器進行補償。擾動觀測器最基本的思想概念即設計一個能夠估計不可測擾動的子系統，將其應用在前饋控制策略中，便可將外界未知的擾動量估計出來，并用估計量替代實際擾動量實現前饋控制策略，最終實現系統的精確控制。通過擾動觀測器對未知外部海洋環境產生的時變干擾量進行在線估計，可以有效地提高無人艇軌跡跟蹤控制系統抵抗外部環境干擾的能力，消除外界干擾對無人艇控制系統性能的影響。

對于水面無人艇在航向過程中受到的外界風浪流產生的未知時變干擾量wu和wr，可以設計如下形式的非線性擾動觀測器：

(11)

(12)

令觀測誤差為

(13)

可以構造Lyapunov函數

(14)

對式(14)進行求導并將式(11)和式(12)代入，可以得到

(15)

由Young’s不等式，有

(16)

將式(16)代入式(15)中，可得

(17)

(18)

其中：

(19)

故所設計的非線性擾動觀測器的誤差是一致最終有界的，即擾動觀測器是穩定收斂的。

2.3 RBF神經網絡設計

無人艇是一個復雜的非線性系統，其在作業過程中，除去外界環境所產生的干擾外，其自身的動力學模型參數也具有高度的非線性和不確定性，這給無人艇的運動控制帶來了很大的負面影響。為了抑制模型不確定性帶來的擾動，本文采用了RBF神經網絡對動力學模型中的不確定非線性項進行實時擬合，避免了水動力系數難以精確測定帶來的困擾。

RBF 神經網絡是一種具有單隱層的3層前饋神經網絡，其能夠以任意精度對任意未知非線性連續函數進行局部逼近，因而其可以對控制系統中的一些未知函數進行估計和補償。該神經網絡在學習過程上與BP神經網絡相似，主要區別為兩者使用的作用函數不同。由于BP神經網絡在隱藏層中使用的是Sigmoid 函數，該函數在其輸入空間無限大的范圍內函數值非零，使得其具有全局逼近的特性；然而RBF神經網絡則采用的是高斯基函數，在其輸入空間有限范圍內的函數值非零，使得該神經網絡具有局部逼近特性。由于BP 網絡是一種全局逼近神經網絡，其在每次樣本學習的過程中均需要對網絡的所有權值進行更新調整，從而導致其收斂速度慢，且易陷入局部極小，因此難以滿足控制系統對實時性的要求。相對于BP網絡來說，RBF只需要對網絡的部分權值進行實時調整，其具有算法復雜度低、所需運行時間短等優點，且能夠規避BP網絡易陷于局部極小的問題，因而在控制領域中得到了廣泛的應用。

多輸入單輸出的RBF網絡結構如圖5所示。

圖5 多輸入單輸出的RBF網絡結構

對于任意的未知連續單值函數可以采用該神經網絡對其進行擬合和逼近，具體形式如下：

(20)

f=W*Th(x)+ε

(21)

其中：W*為理想的權值矩陣，h(x)為徑向基向量，ε為神經網絡的逼近誤差，x為神經網絡網絡的輸入，cj為隱含層神經單元的中心點矢量，bj為徑向基寬度，且滿足bj> 0。

將上述的RBF神經網絡用于估計無人艇模型中不確定性參數，定義函數

(22)

則根據RBF神經網絡可以得到

(23)

其中：神經網絡的輸入為x=[u，v，r]T。

不確定項fu和fr的實際觀測值為

(24)

2.4 自適應滑模控制器設計

滑模控制也叫做變結構控制，是一種特殊類型的非線性控制算法，因其具有魯棒性強、響應迅速等優點，被廣泛應用于干擾因素較多的無人艇運動控制中。滑模控制的基本思想是根據系統的數學模型和期望的動態性能設計一個滑模面，通過滑模控制器使系統狀態可以從任意位置迅速收斂至滑模面附近。而當系統的狀態接近滑模面后再采用切換控制以保證系統沿著滑模面收斂至原點。由于系統的動態特性只取決于設計的滑模面和滑模控制器，而與外界干擾無關，因而滑模控制系統對外部擾動和系統的不確定性有極強的不敏感性。

現將自適應滑模控制算法應用到所設計的欠驅動無人艇軌跡跟蹤控制系統中。首先，定義前進速度和航向角的跟蹤誤差分別為

ue=u-up，ψe=ψ-ψp

(25)

構建如下兩個滑模面：

(26)

其中：λ1，λ2為設計參數，且滿足λ1，λ2> 0。

對式(26)進行求導可得

(27)

注意到上式中存在變量up和ψp的導數，而直接對up和ψp進行求導較為困難，且會出現微分爆炸的問題。為解決該問題，參考文獻[20]中的方法，對變量up設計如下結構的微分觀測器

(28)

其中：zu=[zu，1，zu，2，zu，3]T是微分器的狀態變量，ku=[ku，1，ku，2，ku，3]T為微分器增益，并且滿足式(29)中的矩陣Au為Hurwitz矩陣，βu，i∈(0，1)且βu，i=iβu-(i-1)，βu∈(0，1)，i=1，2，3。

(29)

au=kusu+ηusat(su)+WuThu(x) +

(30)

ar=krsr+ηrsat(sr)+WrThr(x) +

(31)

其中：ku，ηu，kr，ηr為設計參數，且滿足ku，ηu，kr，ηr>0。sat(x)為飽和函數，采用飽和函數替代傳統滑模控制中的符號函數進行切換控制，可以有效地抑制滑模控制中的抖振現象，其表達式為

(32)

選取自適應控制律為

(33)

(34)

構造Lyapunov函數

(35)

將au的表達式代入，可以得到

(36)

構造Lyapunov函數

(37)

同理可得

(38)

2.5 穩定性分析

構造如下的Lyapunov函數

V=V1+V2+V3+V4

(39)

對式(39)進行求導并結合式(10)、式(17)、式(36)和式(38)，可以得到

(40)

根據Young’s不等式，有

(41)

(42)

式(42)可以表示為如下的形式：

(43)

其中：

(44)

(45)

3 仿真結果與分析

為了驗證所設計的欠驅動水面艇軌跡跟蹤控制律的有效性和魯棒性，采用MATLAB對控制系統進行仿真，并將仿真結果與文獻[18]中的LOS-反步法和文獻[21]中的反步滑模控制算法在相同的仿真環境和條件下進行了比較。仿真中采用的無人艇模型參數為m11=215±5，m22=265±5，m33=80±2，d11=170±3.5，d22=300±5，d33=50±1，無人艇的期望軌跡表達式為

(46)

(47)

無人艇受到的外界風浪流干擾為

(48)

仿真中無人艇的執行器在150 s到250 s時發生了衰減故障，此時執行器的實際輸出如式(49)所示，其余時間段內無人艇的執行器將正常運行。

(49)

圖6 期望軌跡與實際軌跡

圖7 前進速度和航向角誤差

從圖6中可以看出，在執行器衰減故障未發生時，文獻[14]中的LOS-反步法和文獻[17]中的反步滑模控制算法均可以在模型存在不確定性和外界存在風浪流干擾的條件下實現欠驅動無人艇的軌跡跟蹤，但本文提出的控制算法的結果更加接近于期望軌跡。圖8中的無人艇位置誤差曲線的結果也佐證了這一點，且從中可以看出本文提出的控制算法相較于LOS-反步法和反步滑模法而言位置跟蹤誤差收斂更快，控制系統可以更早地到達穩定狀態。表1為20～150 s時3種控制算法的平均跟蹤誤差表。此時，3種控制算法都已經進入穩定狀態，且執行器未發生故障。從該表中可以看出，本文的算法的跟蹤精度相較于另外兩種對比算法提高了80%以上。圖11中的干擾估計曲線存在明顯的尖刺和擾動，這是由于模型參數不確定性導致的結果。雖然干擾的估計值存在著一定的誤差，但在RBF神經網絡的動態補償下其估計值仍然與實際值基本保持一致，這說明了本文設計的非線性擾動觀測器可以有效地估計外界的干擾并對系統補償，從而提高了系統的魯棒性。

表1 20～150 s跟蹤誤差平均值

圖8 無人艇的橫向誤差、縱向誤差與位置誤差

圖9 無人艇的實際速度

圖10 無人艇執行器的實際控制量

圖11 外界干擾及其估計

在t=150 s后，無人艇的執行器發生了衰減故障。從圖10中可以看到，在衰減故障的發生節點t=150 s處，系統的實際控制量存在著跳動，但很快就恢復正常，執行器的衰減故障對控制系統的實際影響較小。這說明了在執行器發生衰減故障的條件下，所設計的RBF神經網絡和自適應控制律可以較好地抑制執行器故障所帶來的影響，使無人艇軌跡跟蹤系統具有一定的抗干擾和容錯能力。而與之相比，采用LOS-反步法和反步滑模算法的無人艇則受到了明顯的影響。從圖6～9和表2中可以看到，在執行器發生故障后，采用反步滑模法的無人艇的位置跟蹤誤差明顯增大，且縱向誤差xe一直保持在2.5 m左右，無人艇的位置明顯滯后于期望軌跡；而采用LOS-反步法的無人艇則出現了較為明顯的失控現象，無人艇的運動軌跡與期望軌跡出現了明顯的偏離。由此可見，本文提出的算法可以在外界干擾未知、模型參數存在不確定性和執行器可能出現衰減故障等較為復雜的環境條件下執行欠驅動無人艇的軌跡跟蹤控制任務，且算法的調節時間較短、穩定性能良好，速度和位置誤差的變化較為平滑，不存在較大的抖振和波動，具有良好的綜合性能。

表2 150～250 s跟蹤誤差平均值

4 結束語

本文研究了欠驅動水面無人艇在模型參數不確定、外界存在未知時變干擾和執行器存在衰減故障等情況下的軌跡跟蹤控制問題，提出了一種自適應滑模控制算法，并采用Lyapunov穩定性理論證明了控制系統的穩定性。與傳統的軌跡跟蹤控制策略相比，所提出的方法采用了非線性擾動觀測器和RBF神經網絡分別對無人艇受到的外界干擾和參數不確定項進行實時補償，同時將無人艇的軌跡跟蹤控制問題分解成了制導系統設計和動力學控制器設計兩大部分，并在視線制導律的基礎上提出了一種新的軌跡跟蹤制導律，避免了直接采用反步法設計帶來的困難。通過MATLAB對控制系統進行了仿真并與傳統算法進行了比較；仿真結果表明，所提出的軌跡跟蹤控制算法可以在較為復雜的環境下實現對欠驅動無人艇的精準控制，平均位置跟蹤誤差減小了80%以上，這說明了本文提出算法的有效性、穩定性以及魯棒性。