加權(quán)分?jǐn)?shù)傅里葉變換信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法

馬鵬輝，李艷斌

(1.中國電子科技集團(tuán)公司 第54研究所，石家莊 050081；2.河北省電磁頻譜認(rèn)知與管控重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050011)

0 引言

自Shih提出經(jīng)典WFRFT理論[1]以來，WFRFT的內(nèi)涵得到了廣泛而深入的研究。文獻(xiàn)[2]首先將WFRFT應(yīng)用到通信系統(tǒng)，提出了基于WFRFT的數(shù)字通信系統(tǒng)框架，該系統(tǒng)可以看作是多載波和單載波系統(tǒng)的融合，屬于一種混合載波體制，可以兼容當(dāng)前的通信系統(tǒng)[2-3]，且在抗干擾性能[4-9]和抗攔截能力[8-12]方面優(yōu)于多載波或單載波系統(tǒng)。

作為一種新型調(diào)制信號(hào)，WFRFT信號(hào)的研究主要集中在正向通信系統(tǒng)的應(yīng)用及其性能分析上。在通信信道狀態(tài)相同的情況下，通過選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)α，混合載波通信系統(tǒng)可以提高系統(tǒng)性能[13-15]，而且在具有嚴(yán)重碼間干擾和載波間干擾的通信信道中，混合載波通信系統(tǒng)仍然具有較好的性能[16]。由于其時(shí)頻分布和星座的分集特性，混合載波通信系統(tǒng)被應(yīng)用于許多通信場(chǎng)景，如水聲通信、物理層保密通信和雙極化衛(wèi)星通信、加密通信等。文獻(xiàn)[17]在水聲通信領(lǐng)域提出了一種基于WFRFT的混合載波調(diào)制方案，由于WFRFT的時(shí)頻分布能更好地匹配水聲信道的雙色散特性，證明了該調(diào)制方案在水聲信道中的誤碼率優(yōu)于多載波和單載波調(diào)制。文獻(xiàn)[18]提出了一種基于WFRFT的物理層安全用戶協(xié)作策略，WFRFT信號(hào)的類高斯分量可以作為竊聽者的人工噪聲，而不會(huì)對(duì)目標(biāo)用戶造成影響。由于星座的模糊特性，文獻(xiàn)[19-20]在基于偏振調(diào)制的雙極化衛(wèi)星系統(tǒng)中采用了WFRFT處理技術(shù)，證明了可以獲得滿意的安全性能。

針對(duì)當(dāng)前多參數(shù)(MP，multiple parameters)WFRFT對(duì)于星座的變化缺乏理論研究的問題，文獻(xiàn)[21-22]從參數(shù)對(duì)星座帶來的影響出發(fā)，分析了MP-WFRFT 星座的變化規(guī)律，提出了一種基于 MP-WFRFT 的星座預(yù)編碼優(yōu)化模型。為解決衛(wèi)星通信信號(hào)隱蔽性不足的問題，文獻(xiàn)[23]提出一種基于MP-WFRFT 的通信方法，該方法可將通信信號(hào)調(diào)制特征改變?yōu)槠渌愋停蕴岣咝l(wèi)星通信信號(hào)的安全性能。

考慮到混合載波體制在通信系統(tǒng)中的種種優(yōu)勢(shì)，對(duì)于非協(xié)作通信場(chǎng)景，在未知WFRFT信號(hào)參數(shù)的情況下，只有對(duì)其進(jìn)行精確的估計(jì)，才能進(jìn)行后續(xù)的調(diào)制識(shí)別和解調(diào)，因此，對(duì)WFRFT信號(hào)的參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行研究對(duì)現(xiàn)代通信對(duì)抗有至關(guān)重要的意義。目前針對(duì)WFRFT信號(hào)的參數(shù)估計(jì)問題研究較少，文獻(xiàn)[24]提出了一種基于高階累積量的WFRFT信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法。首先，通過理論推導(dǎo)，得出最小化四階累積量C42可得到最優(yōu)的WFRFT接收階，然后，設(shè)計(jì)了一種組合搜索算法來對(duì)C42最小值進(jìn)行搜索，從而實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)。

本文通過理論推導(dǎo)建立Shintaro_K特征量[25]與WFRFT信號(hào)調(diào)制階數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，繪制出關(guān)系曲線，根據(jù)曲線特點(diǎn)對(duì)拋物線算法進(jìn)行改進(jìn)，利用改進(jìn)算法對(duì)曲線進(jìn)行搜索，獲得最優(yōu)的WFRFT信號(hào)接收階，從而實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)。與文獻(xiàn)[24]所提的參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行對(duì)比，證明了本文所提方法具有相同的參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)確度，但具有更小的計(jì)算復(fù)雜度和更少的最優(yōu)值搜索次數(shù)。

1 WFRFT基本原理

1.1 WFRFT定義及通信機(jī)理

對(duì)于任意復(fù)數(shù)序列X0，定義X0的WFRFT為：

WαX0=w0(α)X0+w1(α)X1+w2(α)X2+w3(α)X3

(1)

其中：{X0，X1，X2，X3}分別是X0的0～3倍DFT。DFT和IDFT的定義為：

(2)

其中：wl(α)(l=0，1，2，3)為加權(quán)系數(shù)且定義為：

(3)

根據(jù)公式(3)，可以看出，wl(α)(l=0，1，2，3)隨α呈周期性變化，且周期為4，因此，α通常在[-2，2]或[0，4]區(qū)間內(nèi)取值。在區(qū)間[0，4]內(nèi)，wl(α)(l=0，1，2，3)的模長(zhǎng)隨參數(shù)α的變化規(guī)律如圖1所示。

圖1 加權(quán)系數(shù)的模長(zhǎng)隨參數(shù)α的變化曲線

在[0，1]區(qū)間內(nèi)，加權(quán)系數(shù)wl(α)(l=0，1，2，3)各自隨α在復(fù)平面上的變化規(guī)律如圖2所示，從圖中可以看出，隨著參數(shù)α的增大，曲線上的點(diǎn)沿著順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，加權(quán)系數(shù)wl(α)(l=0，1，2，3)的曲線組合在一起形成了一條閉合的光滑曲線，同時(shí)，對(duì)于wl(α)(l=0，1，2，3)中的任意一個(gè)系數(shù)，其在α全周期內(nèi)的運(yùn)行軌跡為此曲線，變化的具體順序?yàn)椋骸鷚0→w3→w2→w1→w0→。

圖2 加權(quán)系數(shù)隨α在區(qū)間[0，1]的變化規(guī)律

根據(jù)公式(1)，WFRFT在通信中的物理意義[2]可理解為：信息數(shù)據(jù)X0經(jīng)過串并轉(zhuǎn)換后分別進(jìn)入4個(gè)支路進(jìn)行處理，其中0支路和2支路的數(shù)據(jù)在加權(quán)處理之前沒有經(jīng)過離散傅里葉變換(DFT)模塊，輸出為原始時(shí)域信號(hào)，對(duì)應(yīng)于單載波的通信模型；1支路和3支路的數(shù)據(jù)在加權(quán)處理之前都經(jīng)過了DFT模塊，則對(duì)應(yīng)于以正交頻分多路復(fù)用為代表的多載波通信模型。在4個(gè)支路的共同作用下，WFRFT 是一種同時(shí)具有單載波和多載波的混合載波通信模型，如圖3所示。

圖3 WFRFT通信模型

由公式(3)可見，4個(gè)支路的加權(quán)系數(shù)wl(α)(l=0，1，2，3)滿足：

|w0|2+|w1|2+|w2|2+|w3|2=1

(4)

由此可見，WFRFT通信信號(hào)中單、多載波占比由參數(shù)α決定，當(dāng)α為0時(shí)，w0=1，w1=w2=w3=0，WFRFT的通信模型等價(jià)于傳統(tǒng)單載波通信模型；當(dāng)α為1時(shí)，w1=1，w0=w2=w3=0，WFRFT的通信模型等價(jià)于以正交頻分多路復(fù)用為代表的多載波通信模型。

1.2 WFRFT信號(hào)特性

參數(shù)α決定了每個(gè)加權(quán)系數(shù)wl(α)(l=0，1，2，3)的數(shù)值，即決定了4個(gè)支路分量對(duì)最終信號(hào)特征的貢獻(xiàn)程度。隨著參數(shù)α的增減，被加權(quán)信號(hào)的星座在復(fù)平面上將呈現(xiàn)旋轉(zhuǎn)、擴(kuò)散或壓縮的變化。每個(gè)加權(quán)系數(shù)wl(α)(l=0，1，2，3)的旋轉(zhuǎn)角度為：

(5)

這一角度決定了信號(hào)的每個(gè)分量在復(fù)平面上圖形的旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)，這4個(gè)分量共同決定了被加權(quán)信號(hào)在復(fù)平面上最終呈現(xiàn)出的樣式。

設(shè)被加權(quán)序列可以表示成為以下形式：

Xl(n)=cl(n)+idl(n)，l=0，1，2，3

(6)

X0(n)經(jīng)過WFRFT的結(jié)果S0(n)可以表示為：

(7)

則S0(n)的相位為：

(8)

圖4(a)～(d)為在參數(shù)α分別等于0、0.1、0.3和1時(shí)，對(duì)QPSK信號(hào)進(jìn)行WFRFT后在復(fù)平面上的分布。從圖中可以看出，隨著參數(shù)α的增大，原始信號(hào)的星座點(diǎn)逐漸旋轉(zhuǎn)、擴(kuò)散，星座點(diǎn)之間的界限逐漸模糊，最終星座混疊在一起無法區(qū)分，呈現(xiàn)出一種類高斯的分布狀況。WFRFT對(duì)原始信號(hào)在復(fù)平面上帶來的這種變化，將對(duì)變換后信號(hào)的檢測(cè)、調(diào)制方式識(shí)別和解調(diào)造成很大困難，進(jìn)而提供了一種有效抗檢測(cè)抗識(shí)別的信號(hào)加密手段。

圖4 信號(hào)分布

在接收端，只有得到變換參數(shù)α，然后經(jīng)過相應(yīng)的逆變換才能恢復(fù)出正確的星座圖，才能進(jìn)行后續(xù)的調(diào)制識(shí)別和解調(diào)。

2 WFRFT信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法

2.1 WFRFT信號(hào)Shintaro_K值的計(jì)算

Shintaro_K參數(shù)實(shí)際上是信號(hào)包絡(luò)四次方的均值與包絡(luò)平方的均值平方的二倍之差，定義如下：

Shintaro_K=E[u2(t)]-2{E[u(t)]}2

(9)

式中，u(t)為信號(hào)包絡(luò)的平方。

對(duì)于隨機(jī)序列X，X的Shintaro_K值可表示為：

Shintaro_K(X0)=E[(XX*)2]-2[E(XX*)]2

(10)

假設(shè)發(fā)送方對(duì)信息數(shù)據(jù)X0進(jìn)行參數(shù)為αt的WFRFT，在理想無噪環(huán)境下進(jìn)行傳輸，接收方接收到的信號(hào)為WαtX0，對(duì)其進(jìn)行參數(shù)為αr的逆WFRFT，根據(jù)WFRFT的可加性，可得：

Wαr[Wαt(X0)]=Wαt+αr+X0=WΔαX0

(11)

當(dāng)Δα=0時(shí)，WΔαX0=X0，即接收方對(duì)接收到的WFRFT信號(hào)進(jìn)行參數(shù)αr=-αt的逆變換，方可得到原始的信息數(shù)據(jù)。對(duì)上式求其Shintaro_K值，得到：

Shintaro_K(WΔαX0)=Shintaro_K(w0(Δα)X0+

w1(Δα)X1+w2(Δα)X2+w3(Δα)X3)

(12)

當(dāng)序列長(zhǎng)度足夠大時(shí)，Xl(l=0，1，2，3)可看作4個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)序列，因此：

Shintaro_K(WΔαX0)=|w0(Δα)|4Shintaro_K(X0)+

|w1(Δα)|4Shintaro_K(X1)+|w2(Δα)|4

Shintaro_K(X2)+|w3(Δα)|4Shintaro_K(X3)

(13)

由于X1和X3分別是X0和X2的歸一化DFT，當(dāng)序列長(zhǎng)度足夠大時(shí)，X1和X3是漸進(jìn)高斯分布。由于Shintaro_K參數(shù)完全不受加性高斯白噪聲的影響[25]，因此Shintaro_K(X1)和Shintaro_K(X3)趨近于零。將|w0(Δα)|4簡(jiǎn)記為|w0|4，|w2(Δα)|4簡(jiǎn)記為|w2|4，Shintaro_K(X0)記為S。由于X0和X2具有相同的分布性質(zhì)，可以得到Shintaro_K(X0)=Shintaro_K(X2)=S，則上式(13)可以改寫為：

Shintaro_K(WΔαX0)=(|w0|4+|w2|4)·S=

(14)

通過求導(dǎo)法，可以很容易地得到|w0|4+|w2|4在Δα=0處(參數(shù)準(zhǔn)確估計(jì)處)取得最大值，又因?yàn)槌Ｒ?guī)信號(hào)的Shintaro_K值為負(fù)值，如表1所示，因此可以通過最小化接收信號(hào)Shintaro_K(WΔαX0)來得到參數(shù)估計(jì)值αr。

表1 常規(guī)信號(hào)Shintaro_K特征參數(shù)理論值

2.2 最優(yōu)解搜索算法

假設(shè)發(fā)送方參數(shù)αt取值范圍為[0，1]，那么接收方參數(shù)αr的取值范圍為[-1，0]，則參數(shù)估計(jì)誤差Δα范圍為[-1，1]。為了找到獲得最優(yōu)αr的最佳方法，根據(jù)公式(14)繪制圖5，縱軸表示|w0|4+|w2|4的值，橫軸表示Δα的值。從圖5可以看出，|w0|4+|w2|4與Δα之間的函數(shù)為單峰函數(shù)。在一維優(yōu)化理論中，對(duì)于單峰函數(shù)來說，拋物線算法是一個(gè)很好的選擇，其收斂速度較快，但需要一定的前提條件，中間的值要嚴(yán)格小于左右兩端點(diǎn)的值。因此，本文將結(jié)合曲線的特點(diǎn)，對(duì)拋物線算法進(jìn)行改進(jìn)，提出一種計(jì)算更穩(wěn)定、收斂速度更快的搜索算法。

圖5 |w0|4+|w2|4隨Δα的變化曲線

圖6 水平割線法原理圖

圖7 改進(jìn)拋物線算法流程圖

對(duì)初始點(diǎn)進(jìn)行預(yù)處理后，再轉(zhuǎn)入拋物線搜索算法，整個(gè)算法步驟如下。

初始點(diǎn)預(yù)處理算法如下。

Step1：令k=k+1，當(dāng)f(x1)

Step3：若f(x1)>f(x2)且f(x2)>f(x3)，轉(zhuǎn)入拋物線算法；否則，轉(zhuǎn)入Step4。

Step6：若f(x1)>f(x2)且f(x2)>f(x3)，轉(zhuǎn)入拋物線算法；否則，轉(zhuǎn)入Step7。

拋物線算法：

Step8：計(jì)算拋物線的中間值如下：

Step10：將x1，x2，x3，xx按升序排列，定義r1，r2，r3，r4為排序后的元素。如果|r2-r3|≤δ，則輸出xx，算法結(jié)束；否則，轉(zhuǎn)入Step11。

Step11：如果f(r1)≤f(r4)，將x1，x2，x3更新為x1=r2，x2=r3，x3=r4；否則，將x1，x2，x3更新為x1=r1，x2=r2，x3=r3。令k=k+1，轉(zhuǎn)入Step1。

3 實(shí)驗(yàn)

基于以上分析，將發(fā)送方αt約束在[0，1]范圍內(nèi)，則接收方搜索區(qū)間αr設(shè)置為[-1，0]，那么參數(shù)估計(jì)誤差Δα范圍為[-1，1]。下面以QPSK信號(hào)為例，通過仿真實(shí)驗(yàn)，分析本文參數(shù)估計(jì)方法的性能。

生成QPSK信號(hào)，采樣點(diǎn)數(shù)為2 048，仿真次數(shù)為100次，Shintaro_K值隨Δα的變化趨勢(shì)如圖8所示。

圖8 Shintaro_K值隨Δα的變化趨勢(shì)圖

由圖8可以看出，仿真結(jié)果與理論推導(dǎo)結(jié)果一致，可通過最小化接收信號(hào)Shintaro_K(WΔαX0)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

生成QPSK信號(hào)，采樣點(diǎn)數(shù)為2 048，對(duì)其進(jìn)行參數(shù)αt=0.05：0.05：0.95的WFRFT，不添加噪聲，搜索區(qū)間設(shè)置為αr=-1：0.002：0，對(duì)每個(gè)αt值在搜索區(qū)間內(nèi)進(jìn)行掃描，求其Shintaro_K值并進(jìn)行曲線擬合，然后采用本文的最小值搜索算法估計(jì)參數(shù)，從而得到參數(shù)估計(jì)誤差|Δα|，仿真次數(shù)為100次，每個(gè)αt下的估計(jì)誤差|Δα|如圖9所示。

圖9 估計(jì)誤差|Δα|隨αt的變化

由圖9可知，無噪條件下，在αt取不同值時(shí)，均能得到較小的估計(jì)誤差|Δα|，可認(rèn)為本文方法可實(shí)現(xiàn)參數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)。

生成QPSK信號(hào)，采樣點(diǎn)數(shù)為2 048，在噪聲條件下，信噪比SNR=0：1：20(dB)，αt=[0.1 0.3 0.6 0.9]，搜索區(qū)間設(shè)置為αr=-1：0.002：0，仿真次數(shù)為100次，估計(jì)誤差|Δα|隨αt的變化如圖10所示。

圖10 不同αt下估計(jì)誤差|Δα|的變化

由圖10可知，在有噪條件下，估計(jì)誤差|Δα|與αt的取值無關(guān)。通過文獻(xiàn)[24]可知，在保證1‰誤比特率的前提下，當(dāng)參數(shù)估計(jì)誤差|Δα|≤0.03時(shí)，參數(shù)估計(jì)誤差對(duì)誤比特率的影響可忽略不計(jì)。因此，只需保證參數(shù)估計(jì)誤差|Δα|≤0.03，將|Δα|≤0.03的估計(jì)記為有效估計(jì)。

在對(duì)αt的掃描步進(jìn)和搜索算法的精度δ進(jìn)行設(shè)置時(shí)，設(shè)置的越小，參數(shù)估計(jì)誤差越小，但計(jì)算復(fù)雜度也會(huì)越大。根據(jù)上面提到的有效估計(jì)的概念，在不影響有效估計(jì)次數(shù)的前提下，為了減少計(jì)算復(fù)雜度，對(duì)αt的掃描步進(jìn)和搜索算法的精度δ進(jìn)行合理的設(shè)置，本文將αt的掃描步進(jìn)設(shè)置為0.01，搜索算法的精度δ設(shè)置為0.02，文獻(xiàn)[24]的方法精度δ的值仍為原文設(shè)置的0.000 1。為了對(duì)比本文和文獻(xiàn)[24]的參數(shù)估計(jì)方法的性能，下面將進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)設(shè)置如表2所示。

表2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

在無噪條件下，生成QPSK信號(hào)，采樣點(diǎn)數(shù)為2 048，αt=[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9]，采用兩種方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，仿真100次，將總的有效估計(jì)次數(shù)與總仿真次數(shù)的比值定義為成功識(shí)別概率，兩種方法的成功識(shí)別概率和平均搜索次數(shù)如圖11所示。

圖11 無噪條件下兩種方法的對(duì)比

由圖11可知，在無噪條件下，兩種方法均能實(shí)現(xiàn)對(duì)參數(shù)的有效估計(jì)，但本文的搜索算法可以達(dá)到更少的搜索次數(shù)。

在噪聲條件下，信噪比SNR=0∶1∶15(dB)，生成QPSK信號(hào)，采樣點(diǎn)數(shù)為2 048，由于估計(jì)誤差|Δα|與αt的取值無關(guān)，令αt=0.87，采用兩種方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，仿真100次，兩種方法的成功識(shí)別概率和平均搜索次數(shù)如圖12所示。

圖12 有噪條件下兩種方法的對(duì)比

由圖12可知，在有噪條件下，兩種方法對(duì)參數(shù)的有效估計(jì)性能相似，均在信噪比SNR≤6 dB時(shí)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)參數(shù)的有效估計(jì)，但本文的搜索算法具有更少的搜索次數(shù)。

通過上述在無噪和有噪條件下兩種參數(shù)估計(jì)方法的性能對(duì)比，可以得到，本文和文獻(xiàn)[24]中的參數(shù)估計(jì)方法性能相近，但本文具有更少的搜索次數(shù)，且計(jì)算復(fù)雜度較低，計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比如表3所示。

表3 復(fù)雜度對(duì)比

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于Shintaro_K特征量的WFRFT參數(shù)估計(jì)方法。經(jīng)過理論推導(dǎo)得到，通過最小化接收信號(hào)的Shintaro_K值，可以得到最優(yōu)的WFRFT接收階。此外，根據(jù)Shintaro_K特征量曲線的特點(diǎn)，對(duì)拋物線搜索算法進(jìn)行改進(jìn)，以達(dá)到更優(yōu)的搜索效率。仿真結(jié)果表明，該參數(shù)估計(jì)方法是正確有效的，同時(shí)，通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)，本文提出的方法相較于文獻(xiàn)[24]中的方法具有相同的參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)確度，但具有更小的計(jì)算復(fù)雜度和更少的最優(yōu)值搜索次數(shù)。

在未來的工作中，計(jì)劃在其他通信信道狀態(tài)下，如平坦瑞利衰落信道和多徑瑞利衰落信道中測(cè)試該理論，并設(shè)計(jì)其他高效算法，以獲得盡可能有效和精確的最優(yōu)解。