頻域寬帶陣列波束形成技術優化設計

馬越洋，郭肅麗

(中國電子科技集團公司 第54研究所，石家莊 050081)

0 引言

隨著現代通信技術的發展與通信需求的提高，窄帶相控陣系統已經不能滿足信息的傳輸速率、精度、可靠性、距離等要求，寬帶相控陣系統在更多的領域中也有了實際的應用需求。目前所需要的寬帶相控陣是一種收發信息，帶寬達GHz，由幾千甚至上萬的天線單元組成，并且天線的掃描角不小于50°的復雜天線陣列。如果直接將窄帶波束合成的方法應用到寬帶相控陣系統中，會對合成波束的性能產生巨大影響，甚至可能會直接影響系統的成敗，因此需要研究適用于寬帶相控陣的信號接收方法。如何對寬帶陣列實現性能更優的波束形成，具有重要的研究意義[1-2]。

針對如何在寬帶相控陣系統中實現波束形成問題，各國的專家學者提出了多種方法。目前主流的方法有兩大類：頻域方法和時域方法[3-4]。

在時域方面是以真時延為基礎，有延遲線[5]、光延遲網絡[6-7]和分數延時濾波器三種主流方法，分數延時濾波器實現方法主要有窗函數法[8]、拉格朗日插值法[9-10]、Hennite 插值法[11-12]和Farrow結構[13-14]與泰勒結構[15]的可變分數延時濾波器等。在頻域方面首先是將寬帶信號劃分為多個窄帶信號，之后對每個窄帶信號分別進行延時補償，最終再將處理后的窄帶信號合成為寬帶信號。在進行子帶劃分的時候主要有兩種方法，一種是采用子帶分析濾波器[16]，另一種是采用傅里葉變換對寬帶信號進行劃分[17-20]。因為濾波器的方法對濾波器的性能要求較高且實現起來比較復雜，所以現在多采用快速傅里葉變換(FFT，fast fourier transform)的方法將寬帶信號劃分為多個窄帶信號。之后對窄帶信號進行處理后再合成寬帶信號、形成波束。

在理論上這兩大類方法均可以解決寬帶波束形成的延時補償問題。其中頻域方法對系統前端的要求更低，更適用于工程實現。但因為現在的寬帶相控陣規模大，所以對資源的利用與算法的復雜度提出了更高的要求，直接應用現有的方法在寬帶相控陣系統中并不適用，需要進一步的研究對頻域寬帶陣列波束形成器進行優化，得出更適用于工程的參數優化設計是十分有必要的。

本文在對寬帶相控陣系統中的關鍵問題進行分析后，對基于交疊FFT的頻域方法進行了優化設計，分析了子陣規模、FFT點數、交疊率、位寬等參數對波束形成性能的影響，提高了時域信號的保真度和寬帶波束合成的性能，為實際工程中交疊FFT參數的選取提供了依據。

1 寬帶陣列中的關鍵問題

傳統的相控陣系統是一個窄帶系統，陣列規模較小，傳輸信號的帶寬窄(僅有幾十MHz)且陣列的掃描角較小(一般不超過50°)。

為了分析的簡潔性，以均勻線陣為例。數字相控陣波束形成如圖1所示，設陣元數量為M，陣元間的間距為d，以線陣最左側的天線陣元為參考陣元，遠場信號的入射方向與線陣法線的夾角為θ。

圖1 傳統數字波束成形原理框圖

因為各個陣元天線之間的位置不同，所以接收到信號的時間也就存在誤差，第m個陣元天線接收到信號的時間與第一個天線陣元接收到信號的時間之間的時間差為：

(1)

在進行窄帶系統數字波束形成時，信號可以簡化為一個單頻信號，因此可通過移相的方式代替補齊陣元時間差，則在期望方向上的合成信號為：

(2)

Wm=ej2πf0τm，m=1，2，…，M

(3)

其中：xmb為每個陣元接收到的信號，Wm為每個陣元的權值。

假設每個天線陣元的方向圖是全方向性的，在天線波束的掃描范圍內，可以忽略單個陣元天線方向圖的影響。θB為天線波束最大指向，也是信號的期望方向和移相器設計的參考方向。

天線陣列中相鄰天線單元之間相位差ΔφS為：

(4)

這個相位差可以由移相器來補償，當信號方向為θB時，移相器提供的第M個單元與參考單元之間的相位差φB為：

(5)

令(M-1)d=L，則L表示天線線陣兩端兩個單元之間的間距，即線陣孔徑。

均勻線陣的方向圖函數F(θ)則可以表示為：

(6)

信號頻率由f變為f+Δf后，對位于θB方向目標，則其回波信號在第M個單元與參考單元之間產生的真實相位差將變為：

(7)

其中：φ0是頻率沒有改變的原始相位差，ΔφS是因為頻率改變引起的相位差的變化值，在傳統相控陣系統中ΔφS可以忽略。

寬帶相控陣系統是一個有幾十上千陣元組成的大規模系統，并且傳輸信號高達幾百上千MHz，同時掃描角一般不小于50°。

(8)

最終可以得到：

(9)

(10)

公式(10)計算出了信號頻率由f變為f+Δf后所引起的天線波束指向的偏移Δθf，解釋了天線波束指向隨信號頻率的改變而在空間擺動的原因。這種波束指向的擺動就是相控陣天線波束在空間的色散現象，也可以稱為“孔徑效應”[21]。

(11)

基于以上的問題，目前在寬帶相控陣系統中通常使用更加精細的延時方法代替移相器。但由于硬件的限制，大規模的天線陣元使用更加精準的延時補償方法在制造成本上和系統實現上存在一定的難度，因此可以采用子陣劃分的方式來降低陣列天線的制造成本。

如圖2所示，將M個陣元劃分為M1個子陣，每個子陣內有M2個天線陣元。在子陣內采用模擬域的方法，每個天線陣元后加移相器進行相位補償；對子陣合成的信號進行下變頻和采樣后，在各個子陣之間采用數字域的方法，對每個子陣加延時器進行更加精準的延時補償。

圖2 寬帶相控陣系統波束形成流程

那么，如何在子陣劃分的基礎上進行合理的延時補償，成為了寬帶相控陣波束形成需要解決的關鍵問題。

2 基于交疊FFT的波束形成方法

在寬帶相控陣系統中使用頻域的方法進行時間延遲補償，可以在子陣劃分的基礎上采用FFT方法進行波束形成。

對信號進行FFT的分段處理，這個過程相當于在頻域加上一個矩形窗濾波，相當于原信號進行了帶通濾波。頻域上加窗表現為在時域上做卷積運算，由于濾波器建立時間的原因，時域信號中的點出現誤差，這使得在IFFT之后獲得的該波束輸出時間序列與理想輸出間存在誤差。這就造成了分段進行FFT波束形成器之間輸出的時間信號在各段之間出現不連續現象，這就是分段FFT波束形成器的缺點之一[22]。這個缺點可以用交疊FFT的方法進行改進，也就是在對時間信號進行分段處理時，存在一部分的重疊。

交疊FFT只取每段的輸出數據僅取中間誤差較小的部分，對前后段誤差較大的部分不進行處理，克服了濾波器建立時間帶來的影響，因此可以減輕分段信號銜接處的信號時域波形失真帶來的影響。

在子陣內天線接收的信號使用移相器進行相位補償，合成信號之后，再將各個子陣輸出的信號分成多個時間段，進行交疊處理。

用交疊FFT的方法對時域信號進行處理，實現流程如圖3所示，實驗原理如下：

圖3 FFT處理流程圖

首先將各個子陣接收的信號采樣得到數據分別進行分段，共分為N段，每一段的段長度為L，這里采用的交疊率為r，也就是在每次進行處理的時域數據都包含前一段數據的r。在最后一段時域數據中，如果信號的點數小于FFT的點數，則用0將信號補足到L點。

接著對于每一段劃分后的時域信號，對各陣元數據分別進行L點 FFT 變換，如公式(12)所示，得到頻域窄帶數據X。

l=0，1，2，…，L-1；m=1，2，…，M1

(12)

其中：角標n代表第n段的信號，角標m代表第m個子陣接收到的數據。

做L點FFT也就是將采樣頻率范圍內的信號劃分為了L個子帶信號。第l個子帶信號對應的中心頻率fl為：

(13)

然后提取出各子陣各窄帶數據矩陣，由于工作頻帶一般是有限的，有用信號僅占所有子帶信號中的部分，所以我們進行處理的時候只需提取出位于工作頻帶內的窄帶數據，其余不涉及的子帶信號置零即可。

對每個子帶信號使用對應的移相器進行時移，移相器對應的表達式為：

l=0，1，2，…，L-1；m=1，2，…，M1

(14)

其中：m為第m個子陣，n為第n段數據，l為第l個子帶，θ為信號的期望方向。

之后對各窄帶數據進行加權求和，得到各子帶波束數據。

l=0，1，2，…，L-1；m=1，2，…，M1

(15)

對各自帶波束輸出進行 IFFT 變換得到寬帶信號的時域輸出序列。

l=0，1，2，…，L-1；m=1，2，…，M1

(16)

最后將若干段的時域輸出信號重構成波束輸出最終的時域信號。

使用交疊的方法僅僅可以改善截斷效應帶來的誤差問題，但是因為交疊FFT方法的本質仍然是將劃分出的子帶信號當作一個單頻信號進行相位補償來達到延時的效果，所以這種方法仍有一定的局限性，存在一定的誤差。延時誤差可以通過下式計算：

m=1，2，…，M1

(17)

可以得知當設計移相器參考的頻率與信號實際頻率相差越大，時延補償的誤差越大。所以子帶信號的帶寬越窄，每個子帶的時延的誤差也就越小，合成信號的保真度也就越高，合成波束方向圖也就更加接近理論值。同時也可以推測出在頻率最低的子帶中，延時誤差最大。

3 參數優化設計

因為基于交疊FFT的寬帶波束形成的方法存在的局限性，所以子陣規模、交疊率、采樣率、FFT點數、位寬等參數的影響選取對時延性能、時域輸出波形的保真度以及波束合成的性能都會產生影響，以下就對各個參數進行選取及分析，對此方法進行優化。應用中要求合成損失在0.5 dB以內，波束指向的偏移不超過0.1°，最終合成信號的歸一化誤差小于0.1，延時補償的相對誤差不超過0.1倍符號速率的10%。

為了分析的簡潔性和代表性，研究時采用的仿真模型是的均勻線陣，其中陣元間距d=25 mm，陣元的個數為M。為了實現的簡便性，子陣劃分采用均勻劃分。

接收信號的頻率范圍為[5.4 GHz，6 GHz]，采樣率為2.4 GHz，對信號進行下變頻等處理之后，最后進行延時的信號頻率范圍為[0，600 MHz]。

仿真采用線性調頻信號：

(18)

其中：f0為初始載頻，τ為脈沖寬度，K為線性調頻信號的調頻斜率，B為信號帶寬。

在此模型上研究了子陣規模、FFT點數、交疊率、位寬和采樣率等幾個參數的選取。

3.1 子陣規模

以來波方向相對于陣面法線方向60°為例進行分析，采用以寬帶信號的中心頻率5.7 GHz進行設計的移相器進行相位補償。

若合成增益損失不超過0.5 dB，接收信號的帶寬為600 MHz，則根據計算公式，可以計算出理論的天線口徑：

(19)

(20)

其中：Δf為接收信號頻率變化范圍與設計移相器時使用的頻率之間的誤差，也就是300 MHz，c表示光速，θ為波束偏離天線陣列法向方向的最大角度，L表示天線口徑。

若最大角度θ不超過60°，則可以計算出天線口徑L應該小于0.288 m，因為陣元天線的間距為0.025 m，所以可以計算出，子陣內的陣元數量不超過9。

圖4表示了子陣內采用移相器進行延時補償時，接收信號頻率范圍內合成增益的變化情況。通過改變仿真的子陣內天線陣元的數量，可以得到子陣內的陣元數量與合成增益變化之間的關系如表1所示，可以看到隨著陣元個數的增多，在中心頻點±300 MHz增益損失的增大，在陣元個數為8時，增益損失為0.43個dB，和理論的分析值一致，且可以滿足0.5 dB以內的增益損失要求，所以在劃分子陣的時候，可以采用子陣內的陣元個數為8個這種方案。

表1 線陣規模與線陣增益之間的關系(中心頻點5.7 GHz、±300 MHz帶寬、掃描角60°、按中心頻點移相)

圖4 來波方向為60°時接收信號頻率范圍內合成增益變化

3.2 FFT點數

3.2.1 延時效果

假設FFT點數L=512，將信號延時0.1倍的符號速率，因為采樣率選擇的是2.4 GHz，可以得出延時0.1倍符號速率需要延時0.4倍采樣間隔，延時效果如圖5所示，虛線表示延時前的信號，實現表示延時后的信號。從圖中結果可以看出，信號經過交疊FFT的方法延時之后，信號從第144.2個采樣間隔延時到了144.626個采樣間隔，與設置的0.4倍的采樣間隔存在一定的誤差，相對誤差達到了6%，可以滿足需求。FFT點數與延時精度之間的變化關系如表2所示，可以看到隨著FFT點數的增加，延時的精度越來越高，延時后的誤差變小，相對誤差減小。當FFT點數大于等于512時，相對誤差小于10%，可以達到工程中的延時要求。

表2 FFT點數與延時誤差的關系

圖5 延時0.1倍的符號速率的結果

相對誤差計算公式：

3.2.2 時域信號保真度

當陣元數為64，FFT的點數L=32時，陣列合成信號波形圖與原始信號的波形圖以及兩者歸一化之后的誤差如圖6所示，歸一化誤差最大可以達到0.63，遠不能達到實際工程的指標要求。改變FFT的點數，FFT點數與歸一化誤差的關系如表3所示。

圖6 FFT點數對時域合成信號影響圖

表3 FFT點數與信號歸一化誤差的關系

可以得出，當FFT點數增大時，歸一化誤差的最大值減小，在L=256時，歸一化誤差小于0.1，基本可以滿足時域信號的保真度的要求。

3.2.3 合成波束方向圖

合成波束指向如圖7(a)(b)所示，圖中縱軸表示陣列的增益，橫軸表示來波方向，“--”線代表信號頻率為5 400 MHz時的波束方向圖，實線代表信號頻率為5 700 MHz時的波束方向圖，“-”線表示信號頻率為6 000 MHz時的波束方向圖。在這三個頻率形成的波束指向均為60°，仿真得到的波束寬度為3.28°左右，與理論值存在一定的誤差。其中圖8中表示的是當信號的頻率變化時，期望方向的陣列增益的變化，可以看出當信號的頻率在通帶范圍內變化時，仿真陣列的增益為35.68 dB與理論計算的增益值誤差在0.44 dB。

圖7 波束方向圖

圖8 期望方向增益變化圖

改變FFT的點數，FFT點數與方向圖的各個參數的關系如表4所示。隨著FFT點數的增加，合成增益、波束指向和波束寬度與理論值之間的誤差逐漸減小，在點數到256時，誤差達到了實際工程應用的需要，所以按照此標準FFT點數應不小于256。

表4 FFT點數與方向圖各個參數的關系

綜合以上幾個方面的考慮，可以得出當FFT 的點數達到512時，就可以滿足指標的要求。

3.3 交疊率

假設FFT點數L=256，改變信號的重疊率，可以得到重疊率與各個指標之間的關系，如表5所示。可以看到，當交疊率很小的時候，最大歸一化誤差較大，隨著交疊率增大，誤差減小，當交疊率達到1/8時，誤差穩定在0.07，所以在工程實現中，可以將交疊FFT 的交疊率設定為1/8。

表5 重疊率與最大歸一化誤差之間的關系(FFT點數L=256)

假設FFT點數L=512，改變信號的重疊率，可以得到重疊率與各個指標之間的關系，如表6所示。可以看到，當交疊率很小的時候，最大歸一化誤差較大，隨著交疊率增大，誤差減小，當交疊率達到1/16時，誤差穩定在0.03，所以在工程實現中，可以將交疊FFT 的交疊率設定為1/16。

表6 重疊率與最大歸一化誤差之間的關系(FFT點數L=512)

3.4 位寬

假設FFT點數L=512，改變每個子帶使用的移相器的位寬，假設權值信息為nbit有符號數，處理時將信息源按比例放大 2n-2倍，然后進行取整運算。這里放大2n-2倍是由于 FPGA中n位有符號數的表示范圍為 -(2n-1-1)～(2n-1-1)，因為原始信號的范圍為(-1，1)，當信號為-1時，FPGA 則將信號判定為0，會造成計算的錯誤，所以在處理時將數據進行2n-2倍擴大。

此時設置延時0.1倍的符號速率，權值的位寬與延時精度之間的關系如表7所示，可以看出當位寬為8 bit時，延時的誤差與設置誤差之間的誤差較大，當位寬達到12 bit時，相對誤差穩定在小于10%，可以達到實際應用中的指標要求，所以位寬應該至少采用12 bit。

表7 位寬與延時精度之間的關系

3.5 采樣速率

處理的信號帶寬為600 MHz，FFT的點數J=512，將信號延時0.1倍的符號速率，此時改變采樣速率，可以得到采樣速率與延時精度之間的關系，如表8所示。可以看到當采樣率滿足采樣定理或者是帶通采樣定理的時候，采樣速率增大并沒有影響交疊FFT的延時效果，延時相對誤差均小于10%，所以可以實際根據需求選擇采樣速率。

表8 采樣速率與延時精度之間的關系

4 結束語

為了提高寬帶相控陣系統的波束合成性能，使頻域寬帶波束合成應用在更多的領域，本文經過多次仿真分析，確定了交疊FFT參數對延時精度、信號保真度和波束性能的影響，其中采樣率和交疊率對波束合成性能的影響不大，在實際應用之中子陣規模、FFT點數以及位寬的選取需要更加仔細地分析及驗證。經本文研究子陣規模不超過9個天線陣元時合成損失在0.5 dB以內；FFT點數不小于512、交疊率不小于1/16、位寬不小于采用12 bit時可以達到合成損失在0.1 dB以內，波束指向的偏移不超過0.1°、最終合成信號的歸一化誤差小于0.1、延時補償的相對誤差不超過0.1倍符號速率的10%的要求，最終實現了頻域寬帶陣列波束合成技術的優化，為交疊FFT方法應用在實際工程中提供了依據與參考。

但本文還未真正地將頻域寬帶陣列波束形成器實現，僅僅是進行了仿真分析，在實際應用的時候還應考慮量化等問題。同時針對寬帶波束合成中的時延補償方面，仍有很多值得討論的問題，比如子陣間的時間延時由于受到信道等因素的影響，實際的延時值與理論計算值存在一定的誤差，因此如何對時間延遲進行精準的估計也是值得研究的。