低載波比牽引系統(tǒng)的感應(yīng)電機(jī)特征根離散化模型研究

張欽培 李 健 盧 陽(yáng) 吳凌豪 楊 凱 孫佳偉

低載波比牽引系統(tǒng)的感應(yīng)電機(jī)特征根離散化模型研究

張欽培1李 健1盧 陽(yáng)1吳凌豪2楊 凱1孫佳偉3

（1. 強(qiáng)電磁工程與新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（華中科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院） 武漢 430074 2. 華中科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院新型電機(jī)與特種電磁裝備教育部工程研究中心 武漢 430074 3. 中車大連電力牽引研發(fā)中心有限公司 大連 116052）

在大功率和高速電機(jī)驅(qū)動(dòng)領(lǐng)域，電機(jī)控制系統(tǒng)將運(yùn)行于低載波比工況。傳統(tǒng)的一階歐拉、二階雙線性等降階離散化模型在低載波比下由于離散化誤差過(guò)大，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)觀測(cè)將出現(xiàn)幅值和相位的穩(wěn)態(tài)誤差，嚴(yán)重時(shí)甚至出現(xiàn)發(fā)散不收斂現(xiàn)象。針對(duì)上述問(wèn)題，該文提出了感應(yīng)電機(jī)特征根離散化模型。通過(guò)構(gòu)建感應(yīng)電機(jī)的復(fù)矢量模型狀態(tài)空間方程，將滿秩的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行對(duì)角化，得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的精確離散化結(jié)果，該模型在低載波比時(shí)仍具有較高的離散化精度。同時(shí)，提出了一種基于伯德圖的離散化誤差定量分析方法，通過(guò)定量對(duì)比不同離散化模型和連續(xù)域模型之間觀測(cè)變量的幅值和相位誤差，從理論上證明了提出方法的優(yōu)越性。最后，通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了上述感應(yīng)電機(jī)特征根離散化模型在低載波比下均具有良好的穩(wěn)態(tài)精度與暫態(tài)跟隨性能。

感應(yīng)電機(jī) 離散化模型 傳遞函數(shù) 伯德圖 低載波比

0 引言

在電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，電機(jī)離散模型的精度在狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)、無(wú)位置/無(wú)速度傳感器算法、電流控制器設(shè)計(jì)等方面均具有重要意義。離散模型的準(zhǔn)確度依賴于電磁關(guān)系的建模、參數(shù)的準(zhǔn)確度、離散化誤差的大小等幾個(gè)重要方面。其中，參數(shù)的離線測(cè)量和在線辨識(shí)已有國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了大量的研究工作，且目前仍在繼續(xù)深入[1-5]。而在離散化方面，隨著高速電機(jī)、大功率牽引電機(jī)的研究持續(xù)深入，離散化誤差對(duì)控制系統(tǒng)的影響被越來(lái)越多學(xué)者所關(guān)注[6-8]。

在大功率牽引電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，當(dāng)電機(jī)進(jìn)入中高速區(qū)域時(shí)控制系統(tǒng)的開關(guān)頻率與電頻率的比值（“載波比”）將逐漸下降，隨著高性能同步調(diào)制策略的應(yīng)用，載波比將低至3，最后甚至進(jìn)入方波工況。在低載波比工況下，傳統(tǒng)降階的離散化模型由于離散化誤差過(guò)大，無(wú)法適用于低載波工況的控制系統(tǒng)[9]。文獻(xiàn)[10]從狀態(tài)矩陣的角度分析了一階歐拉、二階雙線性變換的離散化誤差，但未在低載波比工況下進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[11]提出變坐標(biāo)系的離散化方法，將定子方程在靜止坐標(biāo)系下離散化，轉(zhuǎn)子方程在轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下離散化，大大降低了離散化誤差，然而在極低載波比下仍然無(wú)法滿足高性能要求。文獻(xiàn)[12]對(duì)比了一階歐拉、二階龍格庫(kù)塔法、雙線性變換離散化方法對(duì)無(wú)速度傳感器算法的影響，分析了弱磁區(qū)域的無(wú)速度觀測(cè)器穩(wěn)態(tài)精度及動(dòng)態(tài)性能。文獻(xiàn)[13]研究了一種基于電流源的永磁同步電機(jī)預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)矩控制，但僅采用一階歐拉離散化方法，沒(méi)有在低載波比情況下研究其離散化誤差。文獻(xiàn)[14-15]提出在連續(xù)域下采用復(fù)數(shù)域模型進(jìn)行電流控制器設(shè)計(jì)，該方法未考慮離散化誤差的影響，在載波比較低時(shí)性能較差。因此，文獻(xiàn)[16]提出直接在離散域下進(jìn)行建模，提升了高速下的解耦性能，然而受限于模型精度的影響，極低載波比下的性能提升依舊困難。文獻(xiàn)[17-18]研究了低載波比下永磁同步電機(jī)離散模型的近似誤差，文獻(xiàn)[8, 19]在此基礎(chǔ)上研究了考慮轉(zhuǎn)子位置補(bǔ)償?shù)碾x散模型，該模型對(duì)預(yù)測(cè)電流控制器性能有顯著改善。文獻(xiàn)[20]分析了感應(yīng)電機(jī)混合型磁鏈觀測(cè)器在離散域內(nèi)的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題，通過(guò)考慮轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角，提出了改進(jìn)的數(shù)字實(shí)現(xiàn)方案。文獻(xiàn)[21]提出了一種基于狀態(tài)空間拆分重組的離散化方法，將狀態(tài)矩陣拆分成動(dòng)態(tài)系數(shù)矩陣和常量系數(shù)矩陣，僅對(duì)動(dòng)態(tài)系數(shù)矩陣進(jìn)行離散化，該方法在2 kHz的離散化頻率下具有較高的精度，但并沒(méi)有在更低的離散化頻率下驗(yàn)證其離散化精度。文獻(xiàn)[22]以定子電流和轉(zhuǎn)子磁鏈作為狀態(tài)變量構(gòu)建感應(yīng)電機(jī)的狀態(tài)空間方程，實(shí)現(xiàn)了對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的精確離散化，但是缺少在極低載波比工況下開展定量的離散化誤差分析。

本文以感應(yīng)電機(jī)為例，研究了連續(xù)域下感應(yīng)電機(jī)的傳遞函數(shù)和極點(diǎn)分布軌跡，推導(dǎo)了零階保持離散化數(shù)學(xué)模型，分析了傳統(tǒng)包括二階雙線性變換在內(nèi)的降階離散化模型在低載波比工況下的局限性，提出了特征根離散化模型，該模型在低載波比下仍具有良好的穩(wěn)態(tài)精度和暫態(tài)跟隨性能。同時(shí)，提出了基于伯德圖的離散化誤差定量分析方法，通過(guò)推導(dǎo)不同離散模型的磁鏈觀測(cè)域傳遞函數(shù)，繪制其伯德圖，以連續(xù)模型的伯德圖為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)比了傳統(tǒng)的離散化模型和提出的特征根離散化模型在磁鏈觀測(cè)幅值和相位上的誤差大小。最后，仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

1 感應(yīng)電機(jī)模型分析

其中

式（1）和式（2）分別為描述定子電流和轉(zhuǎn)子磁鏈變化模態(tài)的復(fù)數(shù)微分方程，可將該系統(tǒng)看作一個(gè)單輸入、雙輸出，定轉(zhuǎn)子間具有強(qiáng)耦合特性的二階系統(tǒng)。

其中

繪制由式（3）和式（4）化簡(jiǎn)后的系統(tǒng)頻率響應(yīng)在空載和滿載時(shí)的伯德圖，能更直觀地分析輸入輸出變量的穩(wěn)態(tài)特性。感應(yīng)電機(jī)連續(xù)域傳遞函數(shù)的伯德圖如圖1所示，電機(jī)系統(tǒng)是一個(gè)幅值衰減劇烈，相位滯后嚴(yán)重的系統(tǒng)。以連續(xù)系統(tǒng)的伯德圖為基準(zhǔn)能精確地定量對(duì)比不同離散化模型對(duì)系統(tǒng)描述精度的影響，后文將以此為手段進(jìn)行離散化誤差的相關(guān)分析。

（a）s/s伯德圖

（b）r/s伯德圖

圖1 感應(yīng)電機(jī)連續(xù)域傳遞函數(shù)的伯德圖

Fig.1 The Bode plot of induction machine in continous domain

2 傳統(tǒng)離散化模型與局限性分析

傳統(tǒng)的離散化方法可以分為基于數(shù)值積分的降階離散化方法（也叫近似法）和輸入響應(yīng)不變的離散化方法兩類。基于數(shù)值積分的降階離散化是將與的無(wú)理關(guān)系近似地化為有理關(guān)系，即

式中，s為離散化頻率。常用的近似法包括一階前向歐拉、后向歐拉、雙線性變換法、二階龍格庫(kù)塔法等。其中，一階前向歐拉模型具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)，而雙線性變換在以上降階的離散化方法中具有最小的離散化誤差，本文以此兩種典型離散化模型為參考，在后文分析其在低載波比下的局限性。基于數(shù)值積分的離散化方法等效于對(duì)狀態(tài)量在一拍范圍內(nèi)的變化進(jìn)行線性近似，變化的斜率示意圖如圖2所示。狀態(tài)變量在t-1～t之間的變化斜率在一階前向歐拉模型中為1，該斜率只與t-1時(shí)刻的狀態(tài)量和輸入電壓有關(guān)。對(duì)后向歐拉和雙線性變化，斜率則分別為2和(1+2)/2。具體而言，一階前向歐拉離散模型fir()和雙線性變換離散模型secd()分別為

式中，()為連續(xù)域下定子電壓到轉(zhuǎn)子磁鏈的傳遞函數(shù)r/s，如式（4）所示。當(dāng)控制系統(tǒng)處于低載波比工況時(shí)，由于忽略了高階項(xiàng)的影響，基于數(shù)值積分的降階離散化方法會(huì)出現(xiàn)明顯的離散化誤差，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)觀測(cè)將出現(xiàn)幅值和相位的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖2 降階離散模型狀態(tài)變量變化斜率示意圖

輸入響應(yīng)不變的離散化方法具有離散化前后連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)不變這一特性，通常可分為變換（沖擊響應(yīng)不變離散化）、零階保持離散化（階躍響應(yīng)不變離散化）和一階保持離散化（脈沖響應(yīng)不變離散化）三種。考慮到實(shí)際的電壓指令由電壓型逆變器基于一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)的伏秒平衡等效作用于電機(jī)系統(tǒng)；而零階保持離散化方法假定輸入量在一拍內(nèi)維持恒定，和實(shí)際電壓的作用方式一致，能保證在采樣處連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的狀態(tài)變量盡可能一致。因此，本文也將零階保持離散化方法作為參考，感應(yīng)電機(jī)的零階保持離散化模型zoh()為

式中，[ ]為變換。

3 感應(yīng)電機(jī)的特征根離散化模型

感應(yīng)電機(jī)通過(guò)氣隙磁場(chǎng)切割轉(zhuǎn)子，在轉(zhuǎn)子內(nèi)感應(yīng)出電流，從而產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩。轉(zhuǎn)差頻率在暫態(tài)時(shí)為時(shí)變量，因此嚴(yán)格意義上傳遞函數(shù)無(wú)法準(zhǔn)確描述這一時(shí)變系統(tǒng)。

為更準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的暫態(tài)特性，采取狀態(tài)空間描述的方式對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模[11]，有

其中

假定電氣時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)小于機(jī)械時(shí)間常數(shù)，r為定值，則狀態(tài)方程式（9）為線性定常系統(tǒng)。在靜止坐標(biāo)系下，由線性控制理論，狀態(tài)變量()的精確解為

其中，在兩相靜止ab參考坐標(biāo)系下有

其中

圖3 感應(yīng)電機(jī)在靜止坐標(biāo)系和轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)參考系下的極點(diǎn)分布軌跡

其中

為了獲得完全離散化的感應(yīng)電機(jī)數(shù)學(xué)模型，需對(duì)離散狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣精確求解，有

該方程本質(zhì)是對(duì)系統(tǒng)矩陣的精確求解。系統(tǒng)矩陣的定義如式（11）所示，是關(guān)于轉(zhuǎn)子速度的非線性矩陣函數(shù)，傳統(tǒng)降階近似計(jì)算不可避免引入近似誤差，且隨著轉(zhuǎn)速升高而不斷增加，而通過(guò)定義式完全求解該系統(tǒng)矩陣十分困難。

其中

將上述中間參數(shù)代入式（21），可得狀態(tài)矩陣指數(shù)和輸入矩陣的精確解分別為

其中

因此，結(jié)合式（15）～式（18）、式（22）和式（23）最終獲得感應(yīng)電機(jī)特征根離散化數(shù)學(xué)模型為

4 基于伯德圖的離散化精度分析方法

以Frobenius范數(shù)來(lái)表征矩陣數(shù)字特征，通過(guò)狀態(tài)矩陣指數(shù)的近似程度進(jìn)行定量分析[21]，傳統(tǒng)的離散化誤差分析方法為

以圖1為參考標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)傳統(tǒng)離散模型的域傳遞函數(shù)式（6）和式（7），零階保持離散模型的傳遞函數(shù)式（8）和特征根離散模型的域傳遞函數(shù)式（25）。在滿載和空載時(shí)，分別繪出離散化頻率為1 kHz時(shí)的伯德圖，如圖4和圖5所示。

圖4 1 kHz離散化頻率下滿載時(shí)不同離散化模型的伯德圖對(duì)比

在圖4和圖5中，隨著電頻率的上升，不同離散化模型的誤差在滿載與空載的情況下，表現(xiàn)出相同的變化規(guī)律。隨著轉(zhuǎn)速的上升，傳統(tǒng)一階離散化模型與二階離散化模型在幅值和相位曲線和連續(xù)系統(tǒng)相比均出現(xiàn)較大的偏差，且隨著頻率增加逐漸惡化，同樣無(wú)法適用于低載波比的場(chǎng)合，而提出的特征根離散化模型仍然和連續(xù)系統(tǒng)模型高度吻合，離散化誤差較小。

5 仿真結(jié)果

基于Matlab/Simulink對(duì)本文的研究?jī)?nèi)容進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，仿真和實(shí)驗(yàn)所用感應(yīng)電機(jī)參數(shù)見(jiàn)表1，逆變器允許的最大開關(guān)頻率為500 Hz，采用非對(duì)稱采樣模式，故采樣頻率為1 kHz，所有觀測(cè)器及控制算法均在PWM中斷中進(jìn)行。

圖5 1 kHz離散化頻率下空載時(shí)不同離散化模型的伯德圖對(duì)比

表1 2.2 kW感應(yīng)電機(jī)參數(shù)

Tab.1 The parameters of 2.2 kW induction machine

圖6為電機(jī)升速過(guò)程中一階歐拉離散化模型的觀測(cè)波形。圖中，a為a相電流，Dqe為轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)角度誤差，e為電頻率，在所有仿真結(jié)果中均表示此含義。在中高速時(shí)電流觀測(cè)出現(xiàn)發(fā)散不收斂趨勢(shì)。隨著轉(zhuǎn)速的上升，觀測(cè)的轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)角度和真實(shí)角度的偏差越來(lái)越大。

圖7為不同離散模型觀測(cè)的轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)角度和真實(shí)轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)角度的誤差對(duì)比波形，在載波比為5時(shí)，二階雙線性離散化模型轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)角度和真實(shí)值偏差高達(dá)20°，而零階保持離散化和特征根離散化模型觀測(cè)得到的轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)角度穩(wěn)態(tài)誤差較小，磁場(chǎng)角度誤差均在1°左右。

圖8為在高速3 000 r/min，載波比低至5時(shí)的穩(wěn)態(tài)觀測(cè)電流對(duì)比。傳統(tǒng)的二階雙線性離散化模型觀測(cè)電流幅值和相位均出現(xiàn)了較大的穩(wěn)態(tài)誤差，而零階保持離散化模型和特征根離散化模型的觀測(cè)電流和真實(shí)電流基本一致。

圖6 一階歐拉離散化模型在升速時(shí)的觀測(cè)波形

圖7 不同離散化模型觀測(cè)磁鏈角度的誤差大小對(duì)比

圖8 不同離散模型穩(wěn)態(tài)電流波形對(duì)比（3 000 r/min）

圖9 不同離散化模型在轉(zhuǎn)矩階躍時(shí)的電流波形對(duì)比（2 160 r/min）

圖10 零階保持和特征根離散模型在降速時(shí)的電流波形對(duì)比

6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文的分析結(jié)果，采用dSPACE公司MicroLabBox控制器對(duì)文中的離散化數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，小功率異步電機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖11所示，包括被試電機(jī)及其驅(qū)動(dòng)器和控制器、陪試電機(jī)、高壓電源、低壓電源、調(diào)試計(jì)算機(jī)、示波器、變頻器等。電機(jī)運(yùn)行在基于特征根離散化模型設(shè)計(jì)的無(wú)差拍預(yù)測(cè)控制策略下，開關(guān)頻率為500 Hz，采用非對(duì)稱采樣方式，計(jì)算和采樣頻率為1 kHz。離散化模型計(jì)算均由PWM中斷同步觸發(fā)運(yùn)行，觀測(cè)器輸出的電流、轉(zhuǎn)子磁鏈、磁場(chǎng)角度、電頻率等變量通過(guò)D-A轉(zhuǎn)換輸出，實(shí)際電流通過(guò)錄波儀實(shí)時(shí)記錄。

圖11 小功率異步電機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

圖12為升速實(shí)驗(yàn)中一階歐拉離散化模型在中高速下的觀測(cè)波形。在頻率為20 Hz左右，一階離散化模型觀測(cè)的電流fir出現(xiàn)明顯觀測(cè)誤差，且隨著轉(zhuǎn)速的上升，觀測(cè)的電流開始出現(xiàn)發(fā)散趨勢(shì)，和仿真（見(jiàn)圖6）基本一致，而特征根離散化模型的觀測(cè)電流eigen觀測(cè)誤差較小。

圖12 一階歐拉離散化模型在中高速下的觀測(cè)波形

圖13為高速下，載波比為7時(shí)，不同觀測(cè)器的觀測(cè)電流穩(wěn)態(tài)對(duì)比波形。圖中，a為電流探頭采樣的電流信號(hào)，同步采樣電流a_syn為A-D在PWM中斷中采樣的真實(shí)A相電流信號(hào)，再通過(guò)D-A從3個(gè)通道輸出作為其他觀測(cè)器的參考波形。其中，二階雙線性模型觀測(cè)電流secd在低載波比下能維持穩(wěn)定，但觀測(cè)的電流幅值和相位出現(xiàn)了較大誤差，提出的零階保持觀測(cè)電流zoh和特征根離散化模型觀測(cè)電流eigen均能很好地跟蹤實(shí)際同步采樣電流。

圖13 不同離散化模型的穩(wěn)態(tài)電流波形（2 160 r/min）

圖14為2 160 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)矩從1 N·m升至3 N·m再降至1 N·m時(shí)的暫態(tài)電流波形對(duì)比，轉(zhuǎn)矩階躍時(shí)，二階雙線性離散化模型的觀測(cè)電流出現(xiàn)了明顯的相位誤差，而零階保持模型和特征根離散化模型的觀測(cè)電流也出現(xiàn)了一定的觀測(cè)誤差，與仿真結(jié)果圖9一致，但相比于二階雙線性離散化模型具有更好的動(dòng)態(tài)跟隨性能。

（a）轉(zhuǎn)矩突增 （b）轉(zhuǎn)矩突減

圖14 轉(zhuǎn)矩階躍時(shí)的觀測(cè)波形對(duì)比（2 160 r/min）

Fig.14 Comparison of observed waveforms during torque step at 2 160 r/min

圖15為三種離散模型的轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)角度在穩(wěn)態(tài)下的對(duì)比波形，由于真實(shí)的磁場(chǎng)角度未知，各個(gè)模型的磁場(chǎng)角度通過(guò)互相印證進(jìn)行說(shuō)明。在2 400 r/min時(shí)，特征根離散化模型和零階保持器模型所對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)角度具有較好的一致性，而二階雙線性模型和其他模型相比存在較大的偏差，約為10°，和仿真圖7在80 Hz時(shí)二階雙線性模型對(duì)應(yīng)的角度誤差結(jié)果基本一致。

圖15 2 400 r/min時(shí)的轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)角度對(duì)比

7 結(jié)論

本文對(duì)低載波比下的感應(yīng)電機(jī)離散模型和離散化誤差分析方法展開了研究，主要取得了以下成果：

1）提出了感應(yīng)電機(jī)特征根離散化模型，該模型在全速度范圍內(nèi)均能實(shí)現(xiàn)高精度的轉(zhuǎn)子磁鏈和定子電流觀測(cè)，在載波比低至5時(shí)，磁鏈角度觀測(cè)誤差小于1°，相比于傳統(tǒng)二階雙線性模型高達(dá)20°的角度偏差，大大提升了模型的穩(wěn)態(tài)精度，同時(shí)仿真和實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了該模型具有良好的穩(wěn)態(tài)精度和暫態(tài)跟隨性能。

2）推導(dǎo)了不同離散模型的域傳遞函數(shù)，提出了基于伯德圖的離散誤差定量分析方法。該方法克服了傳統(tǒng)基于矩陣誤差的方法無(wú)法分析離散誤差對(duì)狀態(tài)量的幅值和相位影響的缺點(diǎn)，通過(guò)對(duì)比不同離散模型和連續(xù)模型的伯德圖，從理論上驗(yàn)證了傳統(tǒng)方法的局限性和提出方法的優(yōu)越性。

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Research on Discretization Model of Induction Motor for Low Switching-to-Fundamental Frequency Ratio Traction System

111213

（1. State Key Laboratory of Advanced Electromagnetic Engineering and Technology School of Electrical and Electronic Engineering Huazhong University of Science and Technology Wuhan 430074 China 2. Engineering Research Center of Novel Electrical Machines and Special Electromagnetic Equipment Ministry of Education School of Electrical and Electronic Engineering Huazhong University of Science and Technology Wuhan 430074 China 3. CRRC Dalian R&D Co. Ltd Dalian 116052 China）

In high-power and high-speed motor drives, the control system will operate in low switching- to-fundamental frequency ratio conditions. Due to the large discretization error, the traditional reduced-order discrete model cannot be applied to the control system. Therefore, this paper proposes an eigenvalue-based discrete induction motor model, which still has good steady-state accuracy and transient tracking performance under a low switching-to-fundamental frequency ratio. At the same time, a quantitative analysis method of discretization error based on the Bode diagram is proposed.

Firstly, the mathematical model of the induction motor is modeled in the continuous domain using state space description. The full-rank state matrix is diagonalized through the transformation matrix. The elements on the diagonal of the diagonal matrix are the characteristic roots of the corresponding stator and rotor voltage equations of the induction motor. Then, the exact solution of the system matrix can be obtained through the transformation matrix and the diagonal matrix, and the eigenvalue-based discrete model of the induction motor is derived. Moreover, by deducing the z-domain transfer function of flux linkage observation of different discrete models, the Bode diagram is drawn. Taking the Bode diagram of the continuous model as the evaluation standard, the traditional and the proposed discrete models’ errors in the magnitude and phase of flux linkage observation is compared.

The simulation and experimental results show that in terms of the steady-state observation accuracy, at the electric frequency of about 20 Hz, the observed current of the first-order discretization model has an obvious observation error. In contrast, the observed current of the eigenvalue-based discrete model has a small observation error. When the switching-to-fundamental frequency ratio is seven, the observed current of the second-order bilinear model can maintain stability. However, the observed current amplitude and phase have large errors, while the observed current of the characteristic root discretization model can track the actual synchronous sampling current. Regarding dynamic observation accuracy, in speed reduction, the zero-order holder discrete model has a specific amplitude and phase deviation in current observation. The maximum amplitude deviation is up to 30%, and the deviation disappears after the speed enters the steady state. The eigenvalue-based discrete model has good performance in both transient and steady speeds.

The following conclusions can be drawn: (1) The proposed discrete model of the characteristic root of the induction motor can achieve high-precision rotor flux and stator current observation in the full-speed range. When the switching-to-fundamental frequency ratio is as low as five, the observation error of the flux angle is less than 1°. (2) Compared with the zero-order holder discretization model, the proposed eigenvalue-based discrete model has higher current observation accuracy in speed reduction.

Induction machine, discretization method, transfer function, Bode plot, low switching-to- fundamental frequency ratio

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.222046

TM301.2

2022-10-28

2023-01-19

張欽培 男，1998年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)楦袘?yīng)電機(jī)數(shù)學(xué)模型與控制策略。E-mail: zqp@hust.edu.cn

李 健 男，1982年生，研究員，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榇蠊β薁恳兞髌骺刂品矫娴睦碚摵图夹g(shù)開發(fā)。E-mail: jianli@hust.edu.cn（通信作者）

（編輯 崔文靜）