離軸超構(gòu)透鏡設(shè)計與特性分析

胡金高娃，趙尚男 ，王靈杰，葉昊坤，張建萍，張 新

（1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所,吉林 長春 130033；2.中國科學院大學,北京 100049）

1 引言

超構(gòu)透鏡是由二維超材料構(gòu)成的平面光學器件，是在成像領(lǐng)域中具有較大應(yīng)用潛力的超表面平面光學器件。其可以靈活操控光的相位、偏振、振幅等[1]，而且平面化的結(jié)構(gòu)特點使其制造簡單、插入損耗低。此外，超構(gòu)透鏡還能夠以緊湊的形式實現(xiàn)對反射和透射光場空間分布的控制，已經(jīng)成為當前的研究熱點。

為了有效調(diào)控電磁波波前，傳統(tǒng)透鏡一般通過調(diào)控界面的幾何形狀或折射率來實現(xiàn)相位分布調(diào)控。但由于天然材料的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率受限，現(xiàn)有的傳統(tǒng)光學透鏡通常尺寸較大、不易集成[2]。超構(gòu)透鏡通過調(diào)整單元結(jié)構(gòu)的分布就可以得到所需相位分布，大大縮小了元件尺寸和體積。根據(jù)應(yīng)用場合的不同，研究人員設(shè)計出了不同類型的超構(gòu)透鏡，如消色差超透鏡[3-7]、基于超透鏡的帶通濾波器[8]、亞分辨率超構(gòu)透鏡[9-10]、彩色全息[11-13]、多功能超構(gòu)透鏡[14-17]和可重構(gòu)超構(gòu)透鏡[18-20]等。

超構(gòu)透鏡分為共軸超構(gòu)透鏡和離軸超構(gòu)透鏡。其中，共軸超構(gòu)透鏡使光束聚集在軸上，離軸超構(gòu)透鏡是在共軸超構(gòu)透鏡上偏離中心截取一部分。它可使不同波長光束的軸線分開，相互分離地聚焦在原光軸上不同的點。其可以通過控制納米單元的相位分布實現(xiàn)指定位置聚焦。相比于共軸超構(gòu)透鏡具有色散特性，可被應(yīng)用于光譜儀中，為實現(xiàn)緊湊型光譜儀提供了新的思路。

2016 年，Khorasaninejad 等人基于離軸超構(gòu)透鏡研究了近紅外波段的緊湊型光譜儀，光束的離軸角度最大在80°，大角度聚焦使超構(gòu)透鏡具有超色散特性，能夠分辨小至200 pm 的波長差異，聚焦效率在30%左右。此外，通過拼接多個超構(gòu)透鏡可在寬波段內(nèi)實現(xiàn)高分辨率[21]。2017年，Capasso 課題組同樣基于離軸超構(gòu)透鏡研制了可見光波段的緊湊型光譜儀，光譜分辨率小至0.3 nm，總工作波長范圍超過170 nm，并在一個基板上集成了多個具有不同數(shù)值孔徑的超構(gòu)透鏡，使得其具備多種不同的光譜分辨率和靈活的工作波長范圍[22]。同年，浙江大學馬云貴課題組利用離軸超構(gòu)透鏡設(shè)計了波分解復(fù)用器[23]。該解復(fù)用器的光纖能量耦合效率可達89%以上，通道帶寬約為9 nm。他們還對焦距和離軸角度產(chǎn)生的影響進行了研究。該研究對研制小型、緊湊的光通信解復(fù)用器件具有重要的指導(dǎo)意義。2018 年，該課題組使用波動光學和幾何光學方法研究了基于離軸超構(gòu)透鏡的光譜儀的結(jié)構(gòu)參數(shù)對有效光譜范圍和光譜分辨率的影響。針對不同的用途，數(shù)值上提出了兩種基于離軸超構(gòu)透鏡光譜儀[24]。2019年，Capasso 研究團隊利用離軸超構(gòu)透鏡實現(xiàn)了一個具有納米光譜分辨率的微型像差校正光譜儀，透鏡到探測器的工作距離僅為幾厘米，且基本上不因任何方式受到限制[25]。

然而，目前國內(nèi)外對于離軸超構(gòu)透鏡的研究都存在著應(yīng)用場景單一、特性分析不完備的局限性，需要進行更詳細的參數(shù)分析來充分理解離軸超構(gòu)透鏡的特性。這些信息對基于離軸超構(gòu)透鏡的微小型器件設(shè)計至關(guān)重要。為了進一步提升離軸超構(gòu)透鏡設(shè)計參數(shù)對其分光聚焦能力的影響，本文提出了一種離軸超構(gòu)透鏡設(shè)計方法，并進行了不同參數(shù)的仿真，分析了離軸角度對光譜分辨率和聚焦效率的影響，分析了數(shù)值孔徑對超構(gòu)透鏡的聚焦位置理論計算結(jié)果與仿真結(jié)果產(chǎn)生偏差的影響。本文研究為后續(xù)開展離軸超構(gòu)透鏡的設(shè)計和拓展應(yīng)用提供參考。

2 離軸超構(gòu)透鏡工作原理

用于實現(xiàn)0～2π 范圍內(nèi)相位調(diào)制的超構(gòu)透鏡可分為三種類型：傳輸相位型、電路相位型和幾何相位型[26]。本論文采用傳輸相位型離軸超構(gòu)透鏡。通過選定不同半徑的納米柱實現(xiàn)對0～2π 的相位覆蓋。

如圖1 所示，離軸超構(gòu)透鏡所在平面原點處相位為Φ(0)，離軸超構(gòu)透鏡上任意位置的相位為Φ(x,y)，選定聚焦位置F，若要光束聚焦在點F上，則相位需滿足

圖1 離軸超構(gòu)透鏡聚焦示意圖Fig.1 Diagram of focusing an off-axis meta-lens

其中，xf、yf和zf為聚焦位置F點的坐標，f是離軸超構(gòu)透鏡的焦距，f=sqrt(xf2+yf2+zf2)。

根據(jù)式（1）得到聚焦位置為(xf,yf,zf)的離軸超構(gòu)透鏡相位分布函數(shù)[22]：

離軸超構(gòu)透鏡可實現(xiàn)任意位置的聚焦，并且對于不同波長的光，聚焦位置不同，具有一定的色散能力。選定聚焦位置后，通過式（2）可得到離軸超構(gòu)透鏡上離散的相位分布，以實現(xiàn)對入射光波的相位調(diào)制。

3 離軸超構(gòu)透鏡設(shè)計與特性分析

3.1 離軸超構(gòu)透鏡設(shè)計方法

本文所提的離軸超構(gòu)透鏡的設(shè)計方法中，為了避免偏振產(chǎn)生的影響，選用圓柱型單元結(jié)構(gòu)。通過改變單元結(jié)構(gòu)的半徑，可獲得0～2π 的相位覆蓋，據(jù)此建立離軸超構(gòu)透鏡相位庫。在選定設(shè)計參數(shù)后，根據(jù)公式（2）得到所需的相位分布。接著，在相位庫中挑選與所需相位相近的單元結(jié)構(gòu)，得到離軸超構(gòu)透鏡每個單元結(jié)構(gòu)的半徑分布，并根據(jù)獲得的半徑分布數(shù)據(jù)建立仿真模型，得到光場分布。當仿真結(jié)果與理論計算不符時，檢查仿真結(jié)構(gòu)的相位分布與理論計算的相位分布是否一致，若不一致，則建模出現(xiàn)問題，重新建模后再次仿真；若一致則建模正確，此時需考慮離軸超構(gòu)透鏡其他參數(shù)對仿真與理論計算結(jié)果產(chǎn)生的影響，設(shè)計流程圖如圖2 所示。

圖2 離軸超構(gòu)透鏡設(shè)計流程圖Fig.2 Design flowchart of off-axis mate-lens

根據(jù)表1 所示參數(shù)搭建單元仿真結(jié)構(gòu)，選用高度為1 μm，單元周期T為500 nm 的離軸超構(gòu)透鏡單元結(jié)構(gòu)，納米柱材料為Si，基底材料為SiO2[27]。掃描不同半徑的單元結(jié)構(gòu)對應(yīng)的相位，選取相位覆蓋0～2π 的單元結(jié)構(gòu)，建立在此參數(shù)下的相位庫。不同半徑單元結(jié)構(gòu)對應(yīng)的相位分布如圖3 所示。

表1 離軸超構(gòu)透鏡設(shè)計參數(shù)Tab.1 Designed parameters of off-axis meta-lens

圖3 不同半徑單元結(jié)構(gòu)對應(yīng)的相位分布Fig.3 Phase distribution corresponding to unit structure with different radii

根據(jù)表1 參數(shù)，通過式（2）可以獲得相位分布。本文采用Lumerical 軟件，選取相位庫中與所需相位相近的單元結(jié)構(gòu)，進行離軸超構(gòu)透鏡建模，如圖4（彩圖見期刊電子版）所示。

圖4 離軸超構(gòu)透鏡的（a）單元結(jié)構(gòu)仿真示意圖 及（b）仿真結(jié)構(gòu)圖Fig.4 (a) Schematic diagram of unit structure simulation and (b) simulated structure diagram of off-axis mate-lens

將監(jiān)視器放在距離結(jié)構(gòu)0.1λ位置處，并通過程序計算x-z平面遠場的光場分布，獲得的仿真結(jié)果如圖5（彩圖見期刊電子版）所示。

圖5 離軸超構(gòu)透鏡的Lumerical 仿真結(jié)果圖Fig.5 Simulation results of off-axis mate-lens by Lumerical

根據(jù)表1 中的離軸角度和焦距可以計算出該離軸超構(gòu)透鏡理論聚焦坐標為（7.420,0,32.141）（單位：μm）。如圖5 所示，經(jīng)Lumerical 仿真后離軸超構(gòu)透鏡將光束聚焦在（7.100,0,31.200）（單位：μm）處，與理論計算偏差在5%以內(nèi)，證明設(shè)計方法正確。

3.2 對不同參數(shù)離軸超構(gòu)透鏡的影響分析

3.2.1 不同數(shù)值孔徑對仿真結(jié)果的影響

圖1 中離軸超構(gòu)透鏡的張角為β，數(shù)值孔徑NA=sin(β/2)。可見，當離軸超構(gòu)透鏡的直徑D與離軸角度α固定時，焦距f越長，則張角β越小，即NA越小。不同的NA會導(dǎo)致計算相位分布范圍不同。圖6（彩圖見期刊電子版）為D=30 μm，α=13°，入射波長λ0=1.550 μm，焦距f=32.986 μm時離軸超構(gòu)透鏡的理論相位分布和Lumerical 仿真結(jié)果，此時NA=0.408。

圖6 D=30 μm，α=13°，λ0=1.550 μm，f=32.986 μm 時的相位分布與仿真結(jié)果圖Fig.6 Phase distributions and simulation results for D=30 μm,α=13°,λ0=1.550 μm,f=32.986 μm

圖7（彩圖見期刊電子版）為D=30 μm，α=13°，入射波長λ0=1.550 μm，焦距f=80 μm 時離軸超構(gòu)透鏡的理論相位分布和Lumerical 仿真結(jié)果，此時NA=0.180。

圖7 D=30 μm，α=13°，λ0=1.550 μm，f=80 μm 時的相位分布與仿真結(jié)果圖Fig.7 Phase distribution and simulation results for D=30 μm,α=13°,λ0=1.550 μm,f=80 μm

根據(jù)圖6（a）和圖7（a）可以看出，對于離軸超構(gòu)透鏡，當NA較小時，相位分布范圍縮小，如圖7（a）中相位右半部分被覆蓋。對比表2 中不同NA的理論計算和仿真聚焦位置偏差，可知，NA越小，理論計算與仿真的偏差越大。偏差大小取決于相位缺失部分的大小。

表2 不同NA（不同焦距f）的離軸超構(gòu)透鏡理論計算與仿真聚焦位置對比Tab.2 Comparison of the focusing positions of off-axis meta-lens with different NA and different focal lengths obtained by theoretical calculation and simulation (Unit: μm)

上述情況為口徑D相同、離軸角度α相同，改變焦距f，從而實現(xiàn)不同NA。當口徑D與焦距f固定時，改變離軸角度α，同樣會使NA發(fā)生變化，離軸角度α越大，NA越小。

選擇D=30 μm，焦距f=32.986 μm，仿真分析離軸角度分別為α=27°（此時NA=0.388），和α=34°（此時NA=0.371）的情況。仿真結(jié)果如表3所示。

表3 不同NA（不同離軸角度d）的離軸超構(gòu)透鏡理論計算與仿真聚焦位置對比Tab.3 Comparison of the focusing positions of off-axis meta-lens with different NA and different offaxis angles obtained by theoretical calculation and simulation (Unit: μm)

對比表3 中不同NA的理論計算和仿真聚焦位置偏差可以得到與表2 相同的結(jié)論，即隨著NA的減小，離軸超構(gòu)透鏡理論與仿真的聚焦位置坐標偏差會增大。該現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是當口徑和離軸角度一定時，數(shù)值孔徑減小會導(dǎo)致相位覆蓋范圍減小。根據(jù)公式（2）可知，口徑一定會使得超表面結(jié)構(gòu)的坐標位置范圍固定，NA越小，則焦距越長，離軸聚焦位置與坐標原點偏離程度越大，其相位分布的偏離趨勢與圖6（a）到圖7（a）的一致。因此，隨著NA的減小，在一定口徑所在的坐標范圍內(nèi)，離軸超構(gòu)透鏡結(jié)構(gòu)能覆蓋到的有效相位范圍有所減小。同理，當口徑和焦距一定時，根據(jù)公式（2）可知，離軸角度越大（NA越小），一定口徑所在坐標范圍內(nèi)的有效相位覆蓋范圍越小，仿真結(jié)果與上述規(guī)律一致。為了更準確地分析不同離軸角度對分辨率和聚焦效率的影響，縮小仿真結(jié)果與理論的偏差，后續(xù)的分析將選擇NA為0.408 的超構(gòu)透鏡參數(shù)。

3.2.2 不同離軸角度對光譜分辨率和聚焦效率的影響

離軸超構(gòu)透鏡有一定的色散能力，當不同波長的光入射時，離軸超構(gòu)透鏡會將光束聚焦在不同位置。根據(jù)式（3）可以算出相應(yīng)參數(shù)下離軸超構(gòu)透鏡的分辨率。

式中，f為離軸超構(gòu)透鏡焦距，為改變?nèi)肷洳ㄩL導(dǎo)致的聚焦位置的位移距離，如 圖8 所示，F(xiàn)為離軸超構(gòu)透鏡的F數(shù)（F=f/D），λ0為設(shè)計波長，dλ為設(shè)計波長與工作波長的偏差，α為離軸超構(gòu)透鏡聚焦角度。

圖8 示意圖Fig.8 Schematic diagram of

當NA=0.408，λ0=1.550 μm，D=30 μm 時,分別仿真α=13°和α=20°時離軸超構(gòu)透鏡的色散特性，如圖9（彩圖見期刊電子版）所示。當NA相同時，不同離軸角度的離軸超構(gòu)透鏡相位覆蓋范圍相近。

圖9 不同α 的離軸超構(gòu)透鏡相位分布圖Fig.9 Phase distributions of off-axis meta-lens with different α

在α=13°，λ0=1.550 μm 時，根據(jù)公式（3）可以計算出該離軸超構(gòu)透鏡的最小分辨率為0.472 μm。在以工作波長λ0入射時，仿真表明x-z（7.100 μm,31.200 μm）處光強最大。在以工作波長λ1入射時，仿真表明x-z（7.161 μm,21.821 μm）處光強最大。為方便測量，將監(jiān)視器放在設(shè)計波長對應(yīng)的仿真光強最大位置處，即x=7.100 μm，觀察λ0和λ1在Z方向的光強分布。如圖10（彩圖見期刊電子版）所示，對比λ0=1.550 μm和λ1=2.022 μm 仿真結(jié)果。

圖10 α=13°,不同λ 入射時離軸超構(gòu)透鏡沿Z 軸的光強分布圖Fig.10 The intensity distributions of the off-axis meta-lens along Z axis with different incident wavelengths when α=13°

在α=20°，λ0=1.550 μm 時，根據(jù)公式（3）可以計算出該離軸超構(gòu)透鏡的最小分辨率為0.306 μm。在以工作波長λ0入射時，仿真表明x-z（11 μm,30.400 μm）處光強最大。在以工作波長λ1入射時，仿真表明x-z（11.080 μm,23.586 μm）處光強最大。為方便測量，將監(jiān)視器放在設(shè)計波長對應(yīng)的仿真光強最大位置處，即x=11 μm，觀察λ0和λ1在Z方向的光強分布。如圖11 所示，對比λ0=1.550 μm 和λ1=1.856 μm 仿真結(jié)果。

圖11 α=20°,不同λ 入射時離軸超構(gòu)透鏡沿Z 軸光強分布圖Fig.11 Intensity distribution of the off-axis meta-lens along Z axis with different incident wavelengths when α=20°

根據(jù)圖10（b）和圖11（b）可以看出兩個極大值中間的極小值小于最小極大值的81%，滿足瑞利判據(jù)，即可以分辨。

仿真結(jié)果表明，當NA一定時，離軸角度越大，光譜分辨率越小。

此外，對于離軸超構(gòu)透鏡，離軸角度的選擇不僅對光譜分辨率有著重要的影響，還對其聚焦效率有一定的影響。需要說明的是，本論文中聚焦效率是利用焦斑能量與光源能量的比值計算得到的，其中，焦斑能量是在焦平面用焦點中心直徑為3×FWHM 的圓對坡印廷矢量進行積分得到的，光源能量是利用焦平面的能量與透過率之比計算得到的[28-29]。通過控制變量法，設(shè)計波長為1.550 μm，數(shù)值孔徑NA為0.408，仿真分析離軸角度分別為13°、20°、23°、30°、41°的離軸超構(gòu)透鏡。其聚焦效率分別是：59.14%、57.36%、55.46%、53.14%和49.70%，并繪制聚焦效率與離軸角度的曲線圖，如圖12 所示。

圖12 NA=0.408 時，不同離軸角度對應(yīng)的聚焦效率曲線圖Fig.12 Curve of focusing efficiency corresponding to different off axis angles at NA=0.408

通過圖12 可知，當NA和入射波長固定時，隨著離軸角度的逐漸增大，聚焦效率會逐漸減小，根據(jù)之前的分析可知離軸角度增大，分辨能力增強。因此，若想同時保證高聚焦效率和高的光譜分辨率，離軸角度需要折衷選取。

此外，當NA和離軸角度α固定時，若入射波長偏離設(shè)計波長（1.550 μm），會導(dǎo)致聚焦效率大幅度下降，如表4 所示。

表4 離軸角度α=13°時不同工作波長對應(yīng)的聚焦效率Tab.4 Focusing efficiencies at different working wavelength at the off-axis angle α=13°

本節(jié)分析了不同數(shù)值孔徑對仿真結(jié)果的影響和不同離軸角度對光譜分辨率及聚焦效率的影響。隨著數(shù)值孔徑的減小，離軸超構(gòu)透鏡理論與仿真的聚焦位置坐標偏差會增大。這是因為數(shù)值孔徑小會導(dǎo)致相位覆蓋范圍減小。仿真結(jié)果顯示，隨著離軸角度的增大，光譜分辨率會提升，該現(xiàn)象與公式（3）中反映的離軸超構(gòu)透鏡的光譜分辨率和離軸關(guān)系規(guī)律是一致的。此外，隨著離軸角度的增大，聚焦效率會降低，這是因為離軸角度增加會導(dǎo)致離軸聚焦位置更加偏離光軸，從而使接收面的光強變小，聚焦效率則越低。

4 結(jié)論

本文介紹了離軸超構(gòu)透鏡的工作原理，并提出了一種離軸超構(gòu)透鏡設(shè)計方法。在此基礎(chǔ)上，對不同參數(shù)產(chǎn)生的影響進行了分析。結(jié)果表明：數(shù)值孔徑、離軸角度、入射波長的改變會對離軸超構(gòu)透鏡的聚焦位置、光譜分辨率和聚焦效率等產(chǎn)生影響。對于離軸超構(gòu)透鏡，數(shù)值孔徑的減小會導(dǎo)致聚焦位置的理論與仿真結(jié)果偏差變大，以口徑D=30 μm，離軸角度α=13°的超構(gòu)透鏡為例，NA=0.408 的仿真與理論聚焦位置偏差在1 μm 以內(nèi)，而NA=0.180的偏差約為16.5 μm。同時，離軸角度越大，離軸超構(gòu)透鏡的色散特性會越強，則光譜分辨率越高，但聚焦效率會隨之降低，以口徑D=30 μm，NA=0.408 的超構(gòu)透鏡為例，α=20°的光譜分辨率為0.472 μm，聚焦效率是59.14%，α=13°的光譜分辨率為0.306 μm，聚焦效率是57.36%。設(shè)計者需根據(jù)不同的需求合理平衡離軸超構(gòu)透鏡的設(shè)計參數(shù)。本論文提出的離軸超構(gòu)透鏡設(shè)計方法以及特性分析結(jié)果可為后續(xù)基于離軸超構(gòu)透鏡的微小型結(jié)構(gòu)設(shè)計以及應(yīng)用提供一定的參考。