美國蒙特克萊爾州立大學(xué)圖論教學(xué)特點(diǎn)研究及啟示

張國珍 王大進(jìn)

摘? 要：圖論是理工科專業(yè)學(xué)生開設(shè)的一門重要基礎(chǔ)課程。該文研究美國蒙特克萊爾州立大學(xué)圖論課程的教學(xué)方法，發(fā)現(xiàn)其在教學(xué)過程中融入大量應(yīng)用實(shí)例，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，完美達(dá)到理論聯(lián)系實(shí)際的教學(xué)目標(biāo)。分析其應(yīng)用型教學(xué)特點(diǎn)，可以在國內(nèi)圖論課程的教學(xué)中，注重引入相關(guān)應(yīng)用及研究理念，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，明確圖論課程的實(shí)際應(yīng)用價值，對于圖論課程的教學(xué)改革和課程建設(shè)具有一定的參考意義。

關(guān)鍵詞：圖論；蒙特克萊爾州立大學(xué)；教學(xué)研究；教學(xué)方法；課程建設(shè)

中圖分類號：G649? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2024）03-0121-04

Abstract： Graph Theory is an important basic course for students majoring in science and engineering. This paper studies the teaching methods of Graph Theory in Montclair State University， and finds that a large number of application examples are integrated into the teaching process to enhance students' learning initiative and perfectly achieve the teaching goal of integrating theory with practice. Analyzing the application-oriented teaching characteristics， we can introduce relevant applications and research ideas into the domestic teaching of Graph Theory， so as to stimulate students' interest in learning and clarify the practical application value of Graph Theory， which has a certain reference significance for the teaching reform and curriculum construction of Graph Theory.

Keywords： Graph Theory; Montclair State University; teaching research; teaching methods; curriculum construction

圖論是數(shù)學(xué)的一個分支，以圖為研究對象。圖論中的圖是由一個點(diǎn)集以及這個點(diǎn)集中的某些點(diǎn)對的連線構(gòu)成的圖形，這種圖形通常用于描述一些事物之間的特定關(guān)系，其中用點(diǎn)表示事物，用連接兩點(diǎn)的線表示對應(yīng)的兩個事物之間有這樣的關(guān)系。

圖論起源于哥尼斯堡七橋這個經(jīng)典的問題。18世紀(jì)，在哥尼斯堡的普萊格爾河上建有七座橋，連接河中間的兩個島和河岸。人們閑暇時經(jīng)常在這上面散步，于是有人提出：能不能每座橋通過且只通過一次，最后回到原來的位置。這個簡單而有趣的問題受到人們的關(guān)注，很多人嘗試了各種走法，但并沒有做到。后來，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉解決了哥尼斯堡七橋問題，由此成為圖論的創(chuàng)始人。

在圖論的發(fā)展歷史中，有一個著名的問題是四色猜想：一個平面或球面上的地圖只需四種顏色就可以著色，使得兩個相鄰的國家著不同的顏色。這個問題于1852年提出，但是百余年后四色問題還沒有解決。1976年，阿佩爾和哈肯給出了一個借助計(jì)算機(jī)的證明，按照某些性質(zhì)，該方法將所有的地圖分為1 936類，利用計(jì)算機(jī)運(yùn)行了1 200個小時，驗(yàn)證了可以用四種顏色著色。因?yàn)椴捎玫姆椒ú荒苋斯ぶ苯域?yàn)證，這個證明不能被所有數(shù)學(xué)家接受。四色猜想推動了圖的著色理論、平面圖理論、代數(shù)拓?fù)鋱D論等分支的發(fā)展。

圖論在物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、信息論、社會科學(xué)和經(jīng)濟(jì)管理等眾多領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用。圖論的研究也促進(jìn)了擬陣?yán)碚摗⒊瑘D理論、極圖理論、代數(shù)圖論和拓?fù)鋱D論等快速的發(fā)展。

一? 蒙特克萊爾州立大學(xué)圖論教學(xué)

蒙特克萊爾州立大學(xué)位于美國新澤西州，是一所公立研究型大學(xué)，蒙特克萊爾州立大學(xué)始建于1908年，是新澤西州第二大的學(xué)校，而且是該州成長最快的大學(xué)之一。作為美國USNEWS TOP 100公立大學(xué)之一的本科、研究生教育學(xué)府和學(xué)術(shù)研究機(jī)構(gòu)，蒙特克萊爾州立大學(xué)的應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)等多門學(xué)科在全美享有較高的知名度，在圖論方向的研究國際知名，學(xué)校匯集和培養(yǎng)了一批圖論及其應(yīng)用領(lǐng)域的專家學(xué)者。作者曾于2019年在蒙特克萊爾州立大學(xué)訪學(xué)交流，全程參與了該校圖論課程的教學(xué)并有一些自己的感悟。本文研究蒙特克萊爾州立大學(xué)圖論課程的教學(xué)特點(diǎn)，希望可以對國內(nèi)圖論課程的教學(xué)改革和課程建設(shè)提供一點(diǎn)啟示和值得借鑒的地方。

蒙特克萊爾州立大學(xué)的圖論教學(xué)，采用的教材是Rosen的《Discrete Mathematics and Its Applications》[1]中關(guān)于圖論部分的內(nèi)容，該教材十分經(jīng)典，知識點(diǎn)完備，應(yīng)用實(shí)例非常豐富。教學(xué)過程以課堂講授為主，課件為輔，教學(xué)講義可以從授課教師的個人主頁上下載。授課過程中注重啟發(fā)學(xué)生的自主性，循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)，為加深學(xué)生對理論的深刻掌握，采用大量應(yīng)用實(shí)例激發(fā)學(xué)生的求知欲，并穿插一些研究型理念，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步獨(dú)立思考。課后作業(yè)限期提交，完成提交后可以在授課教師的主頁上查看相應(yīng)的習(xí)題解答。要求學(xué)生在課前預(yù)習(xí)，課上按照自己的理解做好筆記，課后完成相應(yīng)練習(xí)。任課教師每周都會約定答疑時間，學(xué)生可以在此時間段與教師交流學(xué)習(xí)中的一些問題。參與蒙特克萊爾州立大學(xué)圖論的整個教學(xué)過程，發(fā)現(xiàn)其最重要的特點(diǎn)是注重理論聯(lián)系實(shí)際，知識點(diǎn)結(jié)合應(yīng)用，使學(xué)生既能扎實(shí)掌握理論，也能將理論應(yīng)用到實(shí)踐或研究中去。下面逐章簡單介紹蒙特克萊爾州立大學(xué)圖論課程的內(nèi)容，重點(diǎn)介紹其應(yīng)用實(shí)例，從而說明其授課過程注重理論聯(lián)系應(yīng)用的特點(diǎn)。

第一章介紹了圖和有向圖的相關(guān)定義，講授了現(xiàn)實(shí)生活中圖的各種重要應(yīng)用。例如社會網(wǎng)絡(luò)，圖被廣泛地用于模擬基于不同的人與人或群體之間各種關(guān)系的社會結(jié)構(gòu)。這些社會結(jié)構(gòu)及表示它們的圖被稱為社會網(wǎng)絡(luò)。在這些圖模型中，個體或組織由頂點(diǎn)表示；個體或組織之間的關(guān)系由邊表示。社會網(wǎng)絡(luò)的研究是一個非常活躍的多學(xué)科領(lǐng)域，人們已經(jīng)用其研究了許多不同類型的人與人之間的關(guān)系。常見的社會網(wǎng)絡(luò)有相識和友誼圖，影響圖、合作圖、電話呼叫圖、引用圖、模塊依賴關(guān)系圖，優(yōu)先圖與并行處理、航線圖、道路網(wǎng)、生態(tài)學(xué)中的生態(tài)位重疊圖和蛋白質(zhì)相互作用圖等。這些都是圖在實(shí)際生活中的一些應(yīng)用。

第二章介紹了圖論中的一些特殊類型的圖類，如完全圖、圈、輪、超立方、偶圖和完全偶圖等，隨之介紹了這些圖類在局域網(wǎng)中的應(yīng)用。例如，一個辦公場所中的各種計(jì)算機(jī)，如小型計(jì)算機(jī)和個人計(jì)算機(jī)，以及外圍設(shè)備，如打印機(jī)和繪圖儀，可以使用局域網(wǎng)連接。其中一些局域網(wǎng)絡(luò)是基于星形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的，即所有設(shè)備都連接到一個中央控制設(shè)備。這樣的局域網(wǎng)可以用一個完全二部圖來表示，消息通過中央控制設(shè)備從一個設(shè)備發(fā)送到另一個設(shè)備。有一些局域網(wǎng)是基于環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的，即每個設(shè)備正好連接到另外兩個設(shè)備。具有環(huán)形拓?fù)涞木钟蚓W(wǎng)使用圈來建立，消息在一個圈內(nèi)從一個設(shè)備發(fā)送到另一個設(shè)備，直至到達(dá)消息的預(yù)期接收者為止。一些局域網(wǎng)使用上述兩種拓?fù)涞幕旌稀Ｏ⒖梢試@環(huán)發(fā)送，也可以通過中央設(shè)備發(fā)送。這種結(jié)構(gòu)使網(wǎng)絡(luò)更加可靠，具有這種結(jié)構(gòu)的局域網(wǎng)可以用輪來建立。

第三章是圖的表示及圖同構(gòu)。圖同構(gòu)出現(xiàn)在化學(xué)、電子電路設(shè)計(jì)以及生物信息學(xué)和計(jì)算機(jī)視覺等領(lǐng)域的應(yīng)用中。化學(xué)家使用多重圖，即分子圖來模擬化合物。在這些圖中，頂點(diǎn)代表原子，邊代表這些原子之間的化學(xué)鍵。兩種結(jié)構(gòu)異構(gòu)體，分子式相同但原子鍵合不同，具有非同構(gòu)的分子圖。當(dāng)合成一種可能的新化合物時，要檢查分子圖數(shù)據(jù)庫，看該化合物的分子圖是否與已知的分子圖相同。電子電路是用圖形建模的，其中頂點(diǎn)表示元件，邊表示元件之間的連接。現(xiàn)代集成電路，稱為芯片，是小型化的電子電路，通常有數(shù)百萬個晶體管及其之間的連接。由于現(xiàn)代芯片的復(fù)雜性，人們使用自動化工具設(shè)計(jì)。圖形同構(gòu)是驗(yàn)證由自動化工具生成的電路的特定布局是否與設(shè)計(jì)的原始示意圖相對應(yīng)的基礎(chǔ)。圖形同構(gòu)也可以用來確定一個供應(yīng)商的芯片是否包含來自不同供應(yīng)商的知識產(chǎn)權(quán)。這可以通過在為這些芯片建模的圖中尋找大型同構(gòu)子圖來實(shí)現(xiàn)。

第四章是樹。介紹了樹的定義及相關(guān)性質(zhì)，然后討論了幾個可以用樹研究的問題。搜索列表中的項(xiàng)目是計(jì)算機(jī)科學(xué)中最重要的任務(wù)之一。主要目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)一個搜索算法，在項(xiàng)目完全有序的情況下有效地找到項(xiàng)目。這可以通過使用二叉搜索樹來實(shí)現(xiàn)，二叉搜索樹是一個二叉樹，其中頂點(diǎn)的每個子節(jié)點(diǎn)都被指定為右或左子節(jié)點(diǎn)，沒有任何頂點(diǎn)有多個右子節(jié)點(diǎn)或左子節(jié)點(diǎn)。此外，還介紹了樹的其他應(yīng)用，諸如決策樹、前綴碼、游戲樹等。

第五章是關(guān)于連通性的。在介紹了路的概念以后，在其應(yīng)用部分，先介紹了相識圖中的路徑，在相識圖中，兩個人之間有一條路，即一條鏈，其中相鄰的兩個人互相認(rèn)識。許多社會科學(xué)家推測，世界上幾乎每一對人都是由一小串人聯(lián)系在一起的，也許只有5個人或更少。這意味著在包含世界上所有人的熟人關(guān)系圖中，幾乎每一對頂點(diǎn)都通過一條長度不超過6的路徑相連。約翰·瓜爾的話劇《六度分離》就是基于這個概念。在連通性的應(yīng)用部分，介紹了電話呼叫圖的連通分支。當(dāng)存在從x開始到y(tǒng)結(jié)束的一系列電話呼叫時，兩個頂點(diǎn)x和y位于電話呼叫圖的同一分支中。分析AT&T網(wǎng)絡(luò)中某一天的電話呼叫調(diào)用圖，發(fā)現(xiàn)該圖有53 767 087個頂點(diǎn)、超過1.7億條邊和超過370萬個連接組件。這些分支大多很小，大約四分之三由兩個頂點(diǎn)組成，這兩個頂點(diǎn)表示一對只互相呼叫的電話號碼。這個圖有一個巨大的連通分支，有44 989 297個頂點(diǎn)，占總數(shù)的80%以上。

第六章是最短路問題，該問題本身就是一個實(shí)際應(yīng)用問題。給出一個連接若干個城市的鐵路網(wǎng)，在這個網(wǎng)絡(luò)的兩個指定城市間，找一條最短鐵路線。以各城市為圖的頂點(diǎn)，把兩個城市之間的直達(dá)鐵路作為圖中對應(yīng)的兩個頂點(diǎn)之間的邊構(gòu)造圖。對圖的每一條邊賦以一個實(shí)數(shù)表示直通鐵路的長度，稱為該邊的權(quán)，得到一個賦權(quán)圖。最短路問題就是在賦權(quán)圖指定的兩個頂點(diǎn)之間，尋找具有最小權(quán)的路，使用Dijkstra算法可以求解這一問題。同時，也介紹了最短路問題在其他問題中的應(yīng)用，例如，可將其用在中國郵遞員問題的求解中。

第七章是歐拉圖和哈密爾頓圖。歐拉圖的應(yīng)用是中國郵遞員問題：一名郵遞員從郵局出發(fā)，經(jīng)過他所負(fù)責(zé)投遞的街區(qū)內(nèi)每條街道至少一次，最后返回郵局，如何為他設(shè)計(jì)最短的投遞路線。如果能在圖中找到一條歐拉環(huán)游，那么該環(huán)游正好經(jīng)過每條街道一次。如果不存在歐拉環(huán)游，則某些街道必將經(jīng)過多次。這個問題是中國管梅谷教授最先提出的，在國際上被稱為中國郵遞員問題。哈密爾頓路徑和回路可以用來解決實(shí)際問題。許多應(yīng)用程序要找一條路徑或線路，可以訪問城市中的每個道路交叉口、每個地方僅一次。發(fā)現(xiàn)圖模型中的哈密爾頓路徑或回路可以解決這類問題。例如著名的旅行推銷員問題：一名推銷員從駐地出發(fā)，計(jì)劃去若干城市推銷商品，要求經(jīng)過每個城市恰好一次，最后返回駐地。如何為他設(shè)計(jì)最短的旅行路線？該問題歸結(jié)為在賦權(quán)完全圖中尋找總權(quán)重盡可能小的哈密爾頓回路。

第八章是對集。在其應(yīng)用部分，介紹了人員分派問題。某公司準(zhǔn)備分派n個工人去做n件工作，已知這些工人中的每個人都適合做一件或幾件工作，問是否能分派所有的工人做一件他適合的工作？使用匈牙利方法可解決人員分派問題。此外，還可以考慮工人對各種工作的效率，目的是使工人的總效率達(dá)到最大，該問題稱為最優(yōu)分派問題，使用Kuhn-Munkres算法可以解決這一問題。

第九章是圖的著色問題。圖著色在涉及調(diào)度和分配的問題上有多種應(yīng)用。例如安排期末考試，如何安排大學(xué)期末考試，以便沒有學(xué)生同時參加兩門考試？這個排考問題可以用一個圖模型來解決，頂點(diǎn)代表課程，如果課程中有一個共同的學(xué)生，則在兩個頂點(diǎn)之間連一條邊。期末考試的每個時間段都用不同的顏色表示。考試時間表對應(yīng)于相關(guān)圖的著色。再例如頻率分配，電視頻道2到13被分配給北美的電視臺，以便150英里（約等于241.40 km）內(nèi)沒有兩個電視臺可以在同一頻道上運(yùn)行。信道分配如何用圖著色來建模？通過給每個站指定一個頂點(diǎn)來構(gòu)造一個圖。如果兩個頂點(diǎn)位于彼此150英里以內(nèi)，則它們通過邊連接。頻道的分配對應(yīng)于圖的著色，其中每種顏色表示不同的頻道。

第十章是平面圖。在其應(yīng)用部分講到，圖的平面性在電子電路設(shè)計(jì)中起著重要的作用。可以用一個圖來模擬電路，用頂點(diǎn)來表示電路的組成部分，用邊來表示電路之間的連接。如果表示電路的圖形是平面的，可以在沒有交叉連接的單板上打印電路。當(dāng)這個圖形不是平面圖時，則必須使用更昂貴的設(shè)計(jì)。例如，可以將表示電路的圖中的頂點(diǎn)劃分為平面子圖，然后用多層構(gòu)造電路。可以在連接交叉時使用絕緣導(dǎo)線構(gòu)建電路。在這種情況下，用最少可能的交叉點(diǎn)繪制圖形是很重要的。

二? 圖論教學(xué)的一些啟示

在美國蒙特克萊爾州立大學(xué)的圖論教學(xué)中，類似的應(yīng)用例子還很多，此處就不再一一列舉了，教學(xué)中理論聯(lián)系實(shí)際隨處可見。研究其教學(xué)特點(diǎn)，可以為圖論教學(xué)改革提供一些思路。當(dāng)然，多年來，國內(nèi)圖論的教學(xué)改革也取得了大量的成果，讀者可以參考文獻(xiàn)[2-11]。教學(xué)改革的核心是要改變原有的單純的接受式學(xué)習(xí)方法，建立充分發(fā)揮調(diào)動學(xué)生主動性的學(xué)習(xí)方式。從多年教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，要想調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，不能一味地單純講授知識點(diǎn)，這樣容易導(dǎo)致學(xué)生只是被動地接收，加入大量應(yīng)用實(shí)例，對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性至關(guān)重要。

國內(nèi)的圖論教學(xué)，基本采用的是邦迪《圖論》[12]的中文翻譯版，但因?yàn)樵摻滩纳婕暗降膽?yīng)用內(nèi)容較少，所以授課時注重的是理論講解，應(yīng)用部分涉及不多。例如在介紹了圖的概念之后，大多不會講解其應(yīng)用。這樣的講授過程，使得學(xué)生不能體會到圖在現(xiàn)實(shí)生活中的重要性，從而對概念的掌握也就沒有那么深刻。而蒙特克萊爾州立大學(xué)在講授完圖的概念后，以大量的社會網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用為例，體現(xiàn)了圖的實(shí)際重要性。我們可以借鑒國外的教學(xué)方法，加入應(yīng)用的部分，激發(fā)學(xué)生對圖論的興趣，使其在課程初始就能體會到圖論的應(yīng)用價值。

在圖的常見類型部分，國內(nèi)講授完圖類后，一般很少介紹其應(yīng)用部分。受美國蒙特克萊爾州立大學(xué)這種應(yīng)用型教學(xué)的啟發(fā)，我們可以把圖類和研究課題結(jié)合起來，讓學(xué)生初步形成一些研究型的理念。作者本人是研究互連網(wǎng)絡(luò)容錯性的，超立方是最常用的互連網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲唬页⒎骄褪且粋€偶圖，符合此處介紹的圖類。我們可以引入超立方的相關(guān)知識，同時介紹其在并行計(jì)算互連網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用。并行處理是使用由許多獨(dú)立的處理器組成的計(jì)算機(jī)，每個處理器擁有自己的內(nèi)存，有助于克服單處理器計(jì)算機(jī)的局限性。當(dāng)使用并行處理時，這些處理器需要相互連接。我們可以用適當(dāng)?shù)膱D形表示多處理器計(jì)算機(jī)中處理器的互連網(wǎng)絡(luò)。超立方是并行處理器最常用的互連網(wǎng)絡(luò)之一，對于這樣一個網(wǎng)絡(luò)，處理器的數(shù)量是2m，每個處理器都有到其他m個處理器的雙向連接。許多計(jì)算機(jī)是用超立方網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建的，許多并行算法是用超立方網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的。通過應(yīng)用的講解，激發(fā)學(xué)生對超立方的研究興趣，并就一些簡單的研究問題讓學(xué)生開展相應(yīng)的工作。

在圖的連通性部分，國內(nèi)教材大多數(shù)只是涉及到連通度、邊連通度的概念及其在理論上的一些結(jié)論。對連通性應(yīng)用部分講解甚少。但實(shí)際上，連通性在互連網(wǎng)絡(luò)的可靠性及容錯性的度量中有非常重要的應(yīng)用。結(jié)合美國蒙特克萊爾州立大學(xué)這種應(yīng)用型教學(xué)的模式，我們可以結(jié)合網(wǎng)絡(luò)的性能，在此章節(jié)補(bǔ)充連通性的各種概念的發(fā)展與應(yīng)用。多處理器系統(tǒng)的互連網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淇梢杂脠D來表示。此時，圖的頂點(diǎn)表示系統(tǒng)中的元件，圖的邊表示元件之間的物理連線。為系統(tǒng)設(shè)計(jì)或選擇網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋾r，基本的考慮是系統(tǒng)的可靠性與容錯性。連通度和邊連通度是度量網(wǎng)絡(luò)的可靠性與容錯性的兩個經(jīng)典參數(shù)。作為傳統(tǒng)連通性的推廣，學(xué)者們相繼提出了條件連通性、超連通性、好鄰連通性、廣義連通性和結(jié)構(gòu)連通性等概念。這些連通性參數(shù)可以更加精確及更加符合實(shí)際地度量網(wǎng)絡(luò)的可靠性與容錯性。通過補(bǔ)充這些內(nèi)容，可以讓學(xué)生深刻了解連通度的發(fā)展過程，各個連通性參數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別，以及在度量網(wǎng)絡(luò)可靠性與容錯性時不同的應(yīng)用背景。同時可以尋找一些知名的流行網(wǎng)絡(luò)，在這些網(wǎng)絡(luò)上指導(dǎo)學(xué)生計(jì)算所講到的各類連通性參數(shù)。通過這樣的教學(xué)及練習(xí)，使學(xué)生能夠熟練掌握連通性的各種概念，并對其應(yīng)用產(chǎn)生濃厚的興趣，也可以為學(xué)生將來從事相關(guān)的科學(xué)研究打下良好的基礎(chǔ)。

通過研究美國蒙特克萊爾州立大學(xué)圖論教學(xué)的過程，在今后的教學(xué)中，我們可以借鑒其注重應(yīng)用講解的特點(diǎn)，在各個知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)中選取恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用實(shí)例來佐證圖論的實(shí)用價值，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高其學(xué)習(xí)主動性，理論聯(lián)系實(shí)際，更好地掌握圖論課程的精髓。

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