基于“教材留白”的延展式課堂教學思考

摘" 要：課堂教學應該具有延展性，教材的“留白”往往可以作為課堂教學的“延展點”。教師可以結合物理學科特點和教學條件，豐富物理情境，讓學生“見物推理”；結合學生思維水平和發展預期，完善建模和推理過程，讓知識“有理可循”；結合整個單元的知識目標要求，重組和增補教學內容，讓體系“完整合理”。

關鍵詞：教材；教材留白；延展式課堂；延展點

基金項目：

本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃課題“物理文化視閾下‘延展式課堂’實踐研究”（課題編號：D/2021/02/249）的階段性研究成果。

教學應注重教材，“忌”照本宣科。“交變電流的描述”是人教版（2019版）《普通高中教科書" 物理" 選擇性必修" 第二冊》（以下簡稱教材《物理選修二》）第三章第2節的內容，正文由一幅沒有標注任何參數的i-t圖像以及“如何描述這種電流的變化特征”問題引入，分成“周期和頻率”“峰值和有效值”和“正弦式交變電流的公式和圖像”三個模塊，內含3幅圖和2個“思考與討論”。從教材出發組織本節內容的教學時，不難發現教材有諸多“留白”。筆者認為，這些“留白”恰恰就是課堂教學的延展點。

1" “疑”教材之“情境留白”，延展中“見物”

教材是重要的教學資源。教師要細致研讀教材，帶著“質疑意識”去發現教材中的“情境留白”，借此思考如何讓問題情境的設置更具“真實性”和更加“可視化”，從而引導學生見物思理。這可以作為教學的延展點，從中培養學生的觀察能力、聯想能力和建模能力。

情境留白1" 教材《物理選修二》第54頁“思考與討論”中的圖像如圖1所示。為什么教材中特別給出一個T＝0.02s的正弦式交變電流的圖像？為什么圖像中標了P和P′，但是整節內容卻沒有對應的問題呈現？為什么圖像中的Um未標注為數值？

筆者認為，如果僅僅將教材《物理選修二》第54頁“思考與討論”中的兩個問題拋給學生，學生能夠很快得到T＝0.02s、f＝50Hz的結論，但這樣的教學方式會使學生的認知浮于淺層，不利于學生高階思維的發展。教師在教學中可以適當地換一種更有效的方式，讓問題的呈現更為真實、深入。

教學片段1" 教師給每組同學提供一個電壓傳感器和一個學生電源（貼上白紙來遮住電壓擋的數值）；學生可以得到如教材《物理選修二》中所示的圖像（見圖1），只是不同的小組得到的Um數值不一樣，有2.8V、5.5V、8.3V等。學生由自主得到的圖像出發，不僅可以得出T＝0.02s、f＝50Hz的結論，還能深化對“市電”周期、頻率的理解；同時，這種方式還能為下面“峰值和有效值”的教學埋下伏筆。

情境留白2" 教材《物理選修二》第55頁有一句話：“交變電流的峰值Im或Um可以用來表示電流的強弱或電壓的高低。”這句話是以“結論”的形式呈現的，那么教師是應該直接將其拋給學生，還是應該引導學生自主建構呢？學生的認知聯結點又在哪里？

教學片段2" 緊接著教學片段1，教師展示學生得到的圖像，讓學生自己比較Um為2.8V、5.5V時的交變電流圖像和2個交變電流的電壓高低，并讓學生說明依據。這樣，基于具體的數據，從圖1中的P和P′出發，學生結合前面“波的描述”的認知基礎，很快就能從“振幅”“波峰”類比建立“峰值”的概念，進而理解電容器的額定電壓實際上對應的是瞬時電壓，因此，學生便可得出電容器的耐壓值必須高于所加交流電壓的峰值這一結論。

2" “現”教材之“思維留白”，延展中“推理”

除了“情境留白”外，教材中還存在一些物理思想方法上若隱若現的“思維留白”。筆者認為，要想有效發展學生的高階思維，這些教材中的“思維留白”就是很好的延展點。教師可以適當地鋪墊，引導學生自主找到推理的方向。

思維留白" "“交變電流的描述”這節內容最大的“思維留白”就是第55頁中的幾行文字：“理論計算表明，正弦式交變電流的有效值I、U與峰值Im、Um之間有如下關系：I＝Im2＝0.707Im，U＝Um2＝0.707Um。”

那么，教師有沒有必要引導學生進行理論推導和計算？學生是否具有理論推導的思維基礎？教師又應該如何幫助學生實現與原有認知的有效聯結？

教學片段3" 改編教材《物理選修二》第55頁“思考與討論”，重新編排問題串，為理論推導作思維鋪墊。

如圖2所示是通過一個R為1Ω的電阻的電流i隨時間t變化的曲線，思考下面幾個問題。

問題1：能不能畫出通電0～1s內電阻R的電功率隨時間變化的圖像？

問題2：通電1s內電阻R產生的焦耳熱是多少？并思考你有幾種方法求解.

問題3：電阻R中通過多大的恒定電流I時，電阻R在1s內會產生同樣的焦耳熱？

問題4：如果電阻R中通過的是前面大家自己實驗時所使用的正弦式交變電流，你能夠想到的探究焦耳熱的方法有哪些？

筆者在教材《物理選修二》“思考與討論”的情境基礎上添加了問題1和問題4，并拓展了問題2。

學生從（瞬時）電功率的定義出發可以很快得到如圖3所示的圖像。對于問題2的思考，除了能引導學生分段考慮焦耳熱外，還可以使學生很自然地聯想到“面積法”，這能為問題4求正弦式交變電流的焦耳熱做好“思維鋪墊”；問題3則有助于學生自主建構“有效值”的概念。

通過上述問題串，對于問題4的解決途徑，學生會很自然地想到如下兩個理論探究的方向。

方向1" 根據如圖4所示的u-t圖像得到瞬時電壓隨時間變化的關系u＝Umsin2πTt。將一個周期的時間T分割為n份（n取無窮大），每份Δt＝Tn，則瞬時電壓可視為在Δt時間內恒定，可分別設為U1＝Umsin2πn，U2＝Umsin4πn，U3＝Umsin6πn，…，Un＝Umsin2nπn＝Umsin（2π），算出每個Δt時間內的焦耳熱，再求和得

Q＝U21RΔt＋U22RΔt＋U23RΔt＋…＋U2nRΔt＝（U21＋U22＋…＋U2n）TnR。

設2πn＝α，則

Q＝U2m（sin2α＋sin22α＋…＋sin2nα）TnR，

再利用倍角公式sin2α＝1－cos2α2進一步化簡，可得

Q＝U2mTnR1－cos2α2＋1－cos4α2＋…＋1－cos2nα2＝U2mTnRn2－12（cos2α＋cos4α＋…＋cos2nα）。

12（cos2α＋cos4α＋…＋cos2nα）＝12sinα（cos2α·sinα＋cos4α· sinα＋…

＋cos2nα·sinα）

＝14sinα［（sin3α－sinα）＋（sin5α－sin3α）＋…

＋［sin（2n＋1）α－sin（2n－1）·α］＝sin（2n＋1）α－sinα4sinα＝sin（4π＋2πn）－sin2πn4sinα＝0，

可得Q＝U2mTnRn2＝U2m2RT。

當然，教師也可以在學生完成上述較復雜的數學推導過程后，提示學生通過平移橫軸作出如圖5所示的電壓隨時間變化的關系圖像，并提出以下問題：“同樣一個周期內，將圖4、圖5的電壓加在同一個電阻R上，R產生的焦耳熱相同嗎？如果從0時刻開始計時，時間t與電阻R的熱功率有什么關系？”

教師引導學生發現，圖4中電壓與時間的關系為u1＝Umsin2πTt，圖5中電壓與時間的關系為u2＝Umcos2πTt，經過相同的時間有

P1＋P2＝U2msin22πTtR＋U2mcos22πTtR＝U2mR＝2P有效，

P1＋P2為定值，則有

QT＝P有效T＝U2m2RT。

無論怎樣處理，根據有效值的定義都可以得到正弦式交變電流的有效值與峰值的關系為U＝Um2＝0.707Um。［1］

方向2" 根據P＝u2R＝U2msin22πTtR＝U2mR

·

1－cos22πTt2，將圖4的u-t圖像轉化為如圖6所示的P-t圖像（一個周期內），從物理意義上建構利用圖像的面積求焦耳熱的路徑。而求該圖像的面積有兩種辦法。其一，割補為“正方形”來求解。如圖6所示，前T2中的陰影①加陰影⑤的面積等于陰影⑥加陰影②的面積，陰影①的面積和陰影②的面積相等，同理陰影③的面積和陰影④的面積也相等，一個周期內焦耳熱可以表示為8個小矩形面積之和，即QT＝8U2m2R·T8＝U2m2RT。其二，將坐標零點與峰值相連，利用圖形對稱性建構出三角形來求解QT。

上述理論推導過程，本質上利用了“微元求和”和“等效”的思想。這種通過理論推導出來的結果是否正確呢？此時，只要讓學生撕開遮在學生電源的電壓數值上的“白紙”，學生就會得到答案，而且能更深刻地明白學生電源上標的“2V”“4V”“6V”是有效值而非峰值。

3" “補”教材之“概念留白”，延展中“內化”

在教學過程中，教師要有“大單元”教學的意識，要善于發現教材中的“概念留白”，并結合學生的學情適當重組、補充教學內容，促進學生完整“物理觀念”的形成和知識內化。筆者發現教材在“交變電流的描述”的內容呈現上，有兩處較為明顯的“概念留白”。

概念留白1" 教材《物理選修二》第56頁正文還有一部分關于“正弦式交變電流的公式和圖像”的內容。在這一部分，教材只給出了一幅圖（見圖7）和配套的公式，通篇沒有提及“瞬時值”的概念，而在前一節“交變電流”的“練習與應用”第4題中提到了“瞬時電動勢”的概念（第53頁）。

概念留白2nbsp; 不僅是本節課，整個教材《物理選修二》第三章都沒有提及“平均值”這個概念，而在教材《物理選修二》第69頁卻存在一道習題“矩形線圈在勻強磁場中勻速轉過90°”（第69頁第6題，題略，此處說法由題干總結而來），其第一問為“求通過電阻R的電荷量q”。筆者認為在本節課的教學中，如果教師不幫助學生建立“平均值”的概念，學生在解題時，尤其是求解某一段時間通過電阻R的電荷量q時，容易出現“張冠李戴”的現象。

教學片段4" 重組教材，將教材《物理選修二》第53頁“交變電流”一節“練習與應用”的第4題中的情境作為問題背景進行改編。

例題" 如圖8所示，匝數為n、面積為S的矩形線圈KLMN豎直放置在磁感應強度大小為B的水平向右的勻強磁場中，在MN邊與磁場方向的夾角到達30°的時刻（圖示位置），線圈以角速度ω繞某一豎直固定軸逆時針勻速轉動。

（1）若規定電流沿KLMNK方向為正，求線圈轉動時間t時感應電流的瞬時值表達式，并畫出i-t圖像。

（2）從圖示位置轉動到60°的時刻，求通過線圈某一橫截面的電荷量。

該問題情境（1）的設置能夠考查學生求“瞬時值”的能力，并培養學生求解系統初狀態的意識。通過這一問題，學生能夠在建立e＝Emsin（ωt＋φ）、i＝Imsin（ωt＋φ）、u＝Umsin（ωt＋φ）這三個瞬時概念的同時，形成求瞬時值要關注線圈與中性面夾角的意識。該問題情境（2）的設置，可以引導學生從“法拉第電磁感應定律”和“電流的定義式”出發，并關注初、末狀態磁通量，從而求解磁通量變化量，進而完成對電荷量的求解。同時，問題（2）也可以引導學生從繪制的i-t圖像入手，掌握微元求和，將求解電荷量轉化為求圖形面積。再引導學生比較兩種方法的優劣。這種教學方式，能夠在補全交變電流“四值”概念的同時，促進學生課堂知識學習的內化，使學生形成完整、正確的物理觀念。

4" 結語

在課堂教學中，利用教材的“留白”來延展教學，不僅是一種教學策略，更是高中物理核心素養落地課堂的有效實踐方式。通過“情境留白”“思維留白”和“概念留白”三種方式，我們可以實現概念建構由現象到本質的內化，并不斷提升學生的物理素養，從而真正地達成新課程理念倡導的教學目標。

參考文獻

［1］趙堅，馬亞鵬.交變電流的平均功率與有效值［J］.物理教學，2015，37（4）：9-12.