對一道磁場綜合題的深入分析與點評

摘" 要：本文通過對一道浙江模擬考試磁場綜合題的深入分析，總結了磁場問題的一些常見考法和解題技巧，以求提升學生對磁場問題的理解能力、模型建構能力、應用物理方法技巧能力和綜合分析能力。

關鍵詞：磁場綜合題；簡諧運動；正則動量法；擺線；周期運動

浙江高考物理卷中，磁場綜合題是必考題。磁場綜合類問題可以很好地考查學生對物理問題的分析能力與對物理方法、技巧、思想的綜合應用能力。下面是一道浙江模擬考試磁場綜合題，該題突出綜合性、技巧性、創新性，是一道考查學生思維與能力的好題。

1" 原題與解析

例題" 如圖（a）所示，在豎直平面內建立直角坐標系xOy，在－l＜x＜l的Ⅰ區內存在垂直紙面的磁場B1＝αx（α＞0），垂直紙面向外為正，在l≤x＜2l的Ⅱ區內存在方向垂直紙面向外、大小為B2的勻強磁場。有一長為3l的水平桿MN放在x軸上，桿上套有質量均為m的光滑滑塊1和粗糙滑塊2，滑塊1帶電荷量為＋q，靜止在坐標原點O，滑塊2帶電荷量為－q，靜止在x＝l處?，F使桿沿y軸負方向以速率v0做勻速運動，同時給滑塊1一沿x軸正方向的瞬時沖量I，滑塊2恰好不沿桿運動?；瑝K1、2會發生彈性碰撞，不計庫侖力且碰撞前后滑塊的電荷量不變。

圖（a）

（1）求滑塊2與桿間的動摩擦因數μ；（2）為保證滑塊1、2相碰，求瞬時沖量所需滿足的條件；（3）求碰后瞬間滑塊2沿桿速度v2及碰后滑塊1的運動情況；（4）已知桿對滑塊2的支持力始終沿y軸正方向，為了能使滑塊2在x＞2l的Ⅲ區做周期性運動，可在Ⅲ區加一垂直紙面向外、大小為B3B3＞mgq·

q2B22v0lm2g

＋v2且邊界與x軸平行的勻強磁場，求該勻強磁場沿y軸方向的最小寬度h。

解析：（1）滑塊2恰好不沿桿運動，則水平方向受力平衡，可得

qv0B2＝μmg［1］，μ＝qv0B2mg。

（2）設滑塊1恰好與滑塊2相碰時，水平方向上滑塊1獲得的初速度為v1，在Ⅰ區受力為F＝－qv0αx＝－kx，滑塊1沿桿做簡諧運動［2］，與滑塊2相碰時，由動能定理可知其滿足

∫l0－qv0αxdx＝0－12mv21，qv0α·12l2＝12mv21，由題意可知I≥mv1，解得

I≥mqv0αl2。

（3）設水平方向上滑塊1與滑塊2碰前速度為v10、碰后速度為v11，由能量守恒定律可得

12·I2m＝12qv0αl2＋12mv210，滑塊1、2發生彈性碰撞，則有

12mv210＋0＝12mv211＋12mv22，mv10＝mv11＋mv2，解得

v2＝I2m2－qv0αl2m，v11＝0，碰后滑塊1在桿上做沿桿的簡諧運動并隨桿一起向下做垂直于桿的勻速直線運動。

（4）設滑塊2經過N端時的水平速度為v3?；瑝K2在桿上運動時，對其受力分析可得

qv0B2－μ（mg－qvxB2）＝mΔvxΔt，μqB2vxΔt＝mΔvx，等式兩側同時積分，得

μqB2l＝mΔv，q2B22v0lmg＝m

（v3－v2），

解得v3＝q2B22v0lm2g＋v2，滑塊2會在Ⅲ區做“擺線＋斜拋”運動，如圖（b）所示。

圖（b）" 周期運動

如圖（c）所示，用配速法可知，勻速直線運動的速度為

vxc＝mgqB3＜v3，圓周運動的半徑為

R＝mqB3v20＋v3－mqqB32［3］，圖（c）" 圓周運動

故可得

h＝R－Rv3－mgqB3v20＋v3－mgqB32，其中v2、v3已求出。

本題第（1）問考查了洛倫茲力與摩擦力的相關知識，考查學生基礎能力；第（2）問考查了簡諧運動，要求學生會判別簡諧運動，會用動能定理求解變力做功、用動量定理求初速度，本問具有創新性和綜合性；第（3）問考查了碰撞問題，對滑塊1運動的討論具有迷惑性，綜合考查了學生應用物理知識的能力；第（4）問綜合考查學生運動學知識和應用正則動量的技巧，要求學生打破常規，考查了學生靈活應用物理知識的能力。下面對本題進行更深入地分析。

2" 拓展分析

2.1" 判別簡諧運動及計算簡諧運動的時間、速度

首先，根據定義，質點的位置—時間圖像為正弦函數形式，即x＝Asin（ωt＋φ）形式，可判別質點做簡諧運動。其次，若質點所受力的形式為F＝－kx，也可判別質點做簡諧運動。本題中，滑塊1在Ⅰ區受力為F＝－qv0αx＝－kx，其中k＝qv0α，稱為等效“勁度系數”，故滑塊1相對桿做簡諧運動。最后，運動質點能量若可以寫成E＝12mv2＋12kx2形式且為守恒量，也可以判別質點做簡諧運動。

簡諧運動可以看成圓周運動的分運動。如圖1所示，質點以角速度ω做逆時針勻速圓周運動，半徑為A（A即簡諧運動的振幅）。圓周運動的向心力為Fn＝－mω2A。y軸方向分力為Fny＝－mω2Asinωt，y軸方向的分運動為y＝Asinωt，可得Fny＝－mω2y＝－ky。其中等效“勁度系數”k＝mω2?？汕蟪龊喼C運動的周期為

T＝2πω＝2πmk，簡諧運動的圓頻率ω（即勻速圓周運動的角速度）為

ω＝km，現在計算滑塊1與滑塊2碰前運動的時間t?；瑝K1受到的力為F＝－qv0αx＝－kx，其中k＝qv0α，可得滑塊1做簡諧運動的圓頻率ω＝qv0αm。由于滑塊1相對桿做簡諧運動，能量守恒，可得滑塊1的振幅A滿足12mIm2＝12kA2＝12qv0αA2。解得A＝I2mqv0α?；瑝K1做簡諧運動的距離l，等效圓周運動時轉過的角度θ＝arcsinlA，如圖2所示。故滑塊1與滑塊2碰前運動的時間為

t＝θω＝arcsinlAkm＝arcsinlI2mqv0αqv0αm。

計算簡諧運動在任意位置的速度，有三種方法。

方法 1" 由簡諧運動能量守恒（原題中滑塊 1 水平初速度為v1） 可得 12mv21＝12kx2＋12mv21x，可知簡諧運動在任意位置的速度為 v1x＝v21－kmx2，本題中 v1＝Im，k＝qv0α，x＝l。代入

速度表達式可得v1l＝I2m2－qv0αml2。要使滑塊1、2能相碰， 則v1l＞0， 即I≥mqv0αl2。

方法2" 如圖2所示，簡諧運動為勻速圓周運動在y軸方向的分運動，故任意時刻簡諧運動的速度v諧＝ωAcosωt，代入上文求得的簡諧運動的振幅A和圓頻率ω，即可求出任意時刻簡諧運動的速度。

方法3" 滑塊1做簡諧運動， 可得運動方程為x＝Asinωt，速度方程為v＝Aωcosωt。代入上文求得的簡諧運動的振幅A和圓頻率ω，即可求出任意時刻簡諧運動的速度。

碰后瞬間，滑塊1相對桿靜止，桿以速度v0做勻速直線運動，滑塊1受到x方向的洛倫茲力仍為F＝－qv0αx，則滑塊1在－llt;xlt;l區間相對桿做簡諧運動，振幅為l，周期為T＝2πmqv0α。

運動方程為x＝lcos

qv0αmt，速度方程為v＝－lqv0αmsinqv0αmt。

2.2" 求解與速度成正比的動力作用下的運動

碰后滑塊2沿桿運動，受到的合外力為F2＝μqB2v，v為滑塊2沿桿方向上的速度。滑塊2在與速度成正比的動力作用下運動，使用微元法和動量定理（正則動量法），可以計算出滑塊2離開桿時的水平速度v3。得到滑塊2 在桿上運動時的位置—速度（水平方向） 關系為v＝q2B22v0m2g（x－l）＋v2。根據v＝dxdt可得dxdt＝q2B22v0m2g（x－l）＋v2，分離變量后兩邊積分可得

∫x

l dxq2B22v0（x－l）＋v2m2g＝∫t

0 1m2gdt，可得滑塊2在桿上運動的位置—時間關系為

x＝m2gq2B22v0v2

eq2B22v0tm2g

－m2gq2B22v0v2＋l。

還可以用另一種方法求解滑塊 2 的運動。滑塊 2 在桿上運動時受到的合外力為 F＝μqvB2＝q2B22v0mgv＝γv，其為與速度成正比的動力。其中 γ＝q2B22v0mg，v為滑塊2沿桿方向的速度。 由牛頓第二定律可得md2xdt2＝mdvdt＝γv， 分離變量并積分可得 ∫vv2 dvv＝∫t0 γmdt，解得滑塊2的速度—時間關系為

v＝v2eγmt，由v＝dxdt，再對上式積分，可得滑塊2的位置—時間關系為

x＝mγv2eγmt－mγv2＋l，

消去中間參數t可得位置—速度關系為

v＝γm（x－l）＋v2

所得結果與正則動量法得到的結果一致。

2.3" 受與速度成正比的阻力作用下的運動情況

若質點受到與速度成正比的阻力F＝－γv作用，其中γ為恒定的比例系數，其運動情況又如何？

方法一" 由正則動量法可得 （－γvΔt）＝m（vt－v0），vt為質點t時刻速度，v0為質點初速度，故質點速度—位移關系為 vt＝v0－γmx，質點做減速運動。速度與位移成線性關系的運動，和受到與速度成正比的動力F＝γv作用下質點的運動情況相似，不同之處為一個是減速運動，一個是加速運動。由v＝dxdt，對上式積分可得質點的位移—時間關系為 x＝mγv0－mγv0e－γmt，質點的速度—時間關系為 v＝v0e－γmt，質點的位移、速度隨時間按e指數規律變化。

方法二" 上面的結果可通過牛頓第二定律md2xdt2＝mdvdt＝－γv積分得到，這里不再重復。

方法三" 質點只受F＝γv或F＝－γv形式的力的作用下，運動規律相似，只需將2.2中的“γ”替換為“－γ”即可。

2.4" 洛倫茲力對兩滑塊是否做功

滑塊1在洛倫茲力

F＝－qv0αx作用下相對桿做簡諧運動，洛倫茲力對其做功嗎？ 以碰后做簡諧運動的滑塊1為例?；瑝K的運動方程已經在2.1中求出， 即x＝lcosqv0αm t，其在沿桿方向上的速度—時間關系為vx＝－lqv0αmsinqv0αmt?；瑝K在桿上做沿桿的簡諧運動并隨桿一起向下做垂直于桿的勻速運動?；瑝K受到的洛倫茲力可以分解為兩個分力，其一為F1＝－qv0αx，方向水平；其二大小為F2＝q｜vx｜αx，方向豎直?；瑝K在 T4時間內從x＝l運動到x＝0，應用微元法可計算出此過程中水平方向洛倫茲力分力做功為

W1＝0x＝lF1Δx＝xx＝l－qv0αxΔx＝12qv0αl2，豎直方向上洛倫茲力分力做功為

W2＝－v0ty＝0q｜vx｜αx·｜Δy｜

＝－T4t＝0qα·lqv0αmsinqv0αmt·lcosqv0αmt·v0Δt

＝－T4t＝0qαl2v0sinqv0αm t·Δsinqv0αm t

＝－12qαl2v0，T4時間內滑塊從x＝l運動到x＝0，此過程中水平方向上的洛倫茲力分力提供滑塊沿桿方向上做簡諧運動的回復力，對滑塊做正功，豎直方向上的洛倫茲力分力對滑塊做負功，但洛倫茲力做的總功 （W＝W1＋W2）為零。也就是說，在滑塊1的實際運動中，洛倫茲力的一個分力做正功，則另一個分力做負功，洛倫茲力做的總功始終為零。同理，洛倫茲力的兩個分力分別對滑塊2做正功和負功，洛倫茲力做的總功也為零。

2.5" 若題中B3＞0，滑塊2在Ⅲ區將做怎樣的運動

由配速法可知，若滑塊2在豎直方向上的洛倫茲力剛好與重力抵消，則水平臨界速度為vxc＝mgqB3。下面分情況討論滑塊2的運動。

若vxc＝v3，則滑塊2在Ⅲ區的運動為速度為v3（vxc）的勻速直線運動和速率為v0的勻速圓周運動的合運動，如圖3所示?；瑝K2在Ⅲ區運動時的運動方程為

x＝v3t＋mv0qB31－cosqB3mt，0＜t＜πmqB3，

y＝－mv0qB3sinqB3mt。

若vxcgt;v3，滑塊的一個分運動是速度為vxc的勻速直線運動，另一個分運動是速率為v合＝v20＋（vxc－v3）2的勻速圓周運動，兩個分運動的合運動軌跡為擺線，如圖4所示。

若vxc＜v3，滑塊的一個分運動是速度為vxc的勻速直線運動，另一個分運動是速率為v合＝v20＋（v3－vxc）2的勻速圓周運動，兩個分運動的合運動軌跡為擺線，如圖5所示。

3" 總結

簡諧運動是近年高考物理的熱點知識，筆者通過該題介紹簡諧運動的判別方法與分析技巧，用中學知識推導了簡諧運動的周期，展示了計算簡諧運動時間、速度的方法，使學生對簡諧運動有一個全面的了解。同時，筆者對洛倫茲力做功的討論，可加深學生對洛倫茲力的理解，即洛倫茲力永不做功，但洛倫茲力的分力可以做功。筆者認為該題通過直桿和滑塊在磁場中運動的情境，考查了簡諧運動、碰撞、正則動量法、洛倫茲力做功、擺線、斜拋、運動的合成與分解等知識，突出了基礎性、綜合性、應用性、創新型的特點，體現了物理核心素養導向下的新高考命題方向，是一道涵蓋了知識、方法與技巧的磁場綜合題。

參考文獻

［1］［3］人民教育出版社 課程教材研究所 物理課程教材研究開發中心.普通高中教科書 物理 選擇性必修 第二冊［M］.北京：人民教育出版社，2024：10，14.

［2］人民教育出版社 課程教材研究所 物理課程教材研究開發中心.普通高中教科書 物理 選擇性必修 第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2024：44.