一種基于自適應Kriging集成模型的結構可靠性分析方法

高進 崔海冰 樊濤 李昂 杜尊峰

摘要：基于Kriging模型的復雜結構可靠性分析結果高度依賴于Kriging模型的擬合精度，在構建Kriging模型的過程中，不同相關函數和回歸函數的選擇均會影響模型精度。為解決模型的不確定性對可靠性分析結果的影響，同時兼顧計算效率和精度，基于Kriging模型和蒙特卡羅模擬（MCS）方法，提出了一種結合自適應集成策略和主動學習函數的結構可靠度計算方法。該方法考慮Kriging模型的建模不確定性，將多種Kriging模型組合，構建了一種綜合考慮樣本點貢獻和樣本點距離的主動學習函數，通過主動學習函數迭代更新集成Kriging模型直至滿足收斂條件，最后通過構建的集成Kriging模型和MCS方法進行結構可靠性分析。數值算例和工程算例結果驗證了所提方法的有效性，該方法與其他主要方法相比穩健性更好，在保證計算精度的同時，計算效率更高。

關鍵詞：結構可靠性；自適應集成策略；Kriging模型；主動學習函數

中圖分類號：TH122

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.01.008

A Structural Reliability Calculation Method Based on Adaptive Kriging

Ensemble Model

GAO Jin1，2 CUI Haibing1，2 FAN Tao3 LI Ang3 DU Zunfeng3

1.Weichai Power Company Limited，Weifang，Shandong，261061

2.State Key Laboratory of Engine Reliability，Weifang，Shandong，261061

3.School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin，300354

Abstract： The reliability analysis results of complex structures based on the Kriging model were highly dependent on the fitting accuracy of the Kriging model. In the constructing processes of the Kriging model， the selection of different correlation and regression functions affected the accuracy of the model. In order to solve the impacts of model uncertainty on the reliability analysis results， while considering computational efficiency and accuracy， based on the Kriging model and Monte Carlo simulation（MCS） method， a structural reliability calculation method combining adaptive ensemble strategy and active learning function was proposed. Considering the modeling uncertainty of Kriging models， combined with multiple Kriging models， this methed constructed an active learning function that comprehensively considered sample point contribution and sample point distance. The ensemble Kriging model was iteratively updated through the active learning function until the convergence conditions were satisfied. Finally the structural reliability analysis was carried out by the constructed ensemble Kriging model and MCS method. The validity of the proposed method was verified by numerical and engineering examples， and the results show that the proposed method is more robust than other major methods， and the computational efficiency is higher while ensuring the computational accuracy.

Key words： structural reliability； adaptive ensemble strategy； Kriging model； active learning function

0 引言

綜合考慮多源不確定性的機械結構可靠性分析在實際工程中具有重要意義，但機械結構的功能函數多為隱式函數，且計算往往涉及大量有限元仿真計算，傳統方法如蒙特卡羅模擬（MCS）方法、一階可靠性方法及二階可靠性方法等已無法滿足實際工程需求［1］，因此，利用代理模型來替代結構的實際功能函數進行結構可靠性分析已經成為可靠性研究的重要分支和關鍵技術［2］。其中，Kriging模型具有估計方差小且無偏，適用于高度非線性、高維度的復雜結構系統，在可靠性領域備受關注［3］。近年來，為提高基于Kriging模型的可靠性分析方法的計算精度和計算效率，相關研究主要集中在以下三個方向：

一是通過自適應學習函數更新代理模型。目前，BICHON等［4］提出的預期可行性學習函數（expected feasibility function，EFF）和ECHARD等［5］提出的考慮樣本點被錯誤估計概率的自適應U函數應用最為廣泛，ZHENG等［6］考慮樣本點對失效概率的貢獻，對U函數進行了改進，進一步提高了Kriging模型的收斂速度。SUN等［7］提出的最小改進函數（least improvement function，LIF）提高了Kriging模型的擬合精度。二是提高Kriging模型擬合精度。HAN等［8-9］考慮樣本點的梯度信息，構建了梯度增強Kriging模型（gradient-enhanced Kriging，GE-Kriging）。SCHOBI等［10-11］將多項式混沌展開（polynomial chaos expansion，PCE）與Kriging模型相結合，即將PCE的最優截斷集合作為Kriging模型的回歸函數部分，提出了多項式混沌Kriging模型（polynomial-chaos-based Kriging，PC-Kriging），并基于PC-Kriging模型提出了一種新的可靠性分析方法。三是改進抽樣方法并與Kriging模型相結合進行可靠性分析。ZHANG等［12］和BARKHORI等［13］分別提出了將Kriging模型與子集模擬抽樣（subset simulation，SS）和重要性抽樣（importance sampling，IS）相結合的可靠性計算方法。史朝印等［14］基于Kriging模型和交叉熵重要性抽樣法提出了一種新的可靠性分析方法，該方法通過Kriging模型協助混合高斯模型參數更新，引入重要性抽樣思想，縮小了MCS仿真樣本的規模，并通過算例驗證了其優越性。

綜上所述，已有的相關研究所提出的基于代理模型的可靠性分析方法都有著較高的準確度和效率，但均是在單一Kriging模型下展開研究，忽略了Kriging建模過程中相關函數與回歸函數的選擇不確定性問題，而這一問題可能會導致Kriging模型預測性能不佳［15］，另一方面，由于每種代理模型各有優劣，而在面對隱式功能函數時，在設計前難以了解其特性，如何選取合適的代理模型是一個難題。CHENG等［16］提出了一種基于PCE、SVM、Kriging的集成代理模型可靠性分析方法，但該方法在更新訓練集時，需額外計算預測點的統計信息，容易引起集成誤差，可能導致集成代理模型在部分區域擬合不佳。李寧等［17］提出了基于自適應集成學習代理模型（Kriging模型與PC-Kriging模型）的結構可靠性分析方法，提高了可靠性分析的準確性與效率，但該方法未考慮Kriging模型的相關函數的選擇對擬合結果的影響。在實際問題中，由于功能函數往往非常復雜且為隱式，缺乏足夠的先驗信息，一般很難選擇最優的Kriging模型。對此，本文基于自適應集成策略，對不同回歸函數和相關函數下的Kriging模型進行加權集成，解決了難以選擇最優Kriging模型的問題，結合所提出的改進學習函數，提出了一種基于自適應Kriging集成模型的結構可靠性分析方法，并通過算例予以驗證。

1 Kriging模型

1.1 Kriging模型基本理論

Kriging模型是一種半參數的高效插值方法，是根據協方差函數對隨機過程進行建模和預測的算法，它由兩部分組成：隨機部分和多項式回歸。對于任意已知的m個n維樣本點（X1，X2，…，Xm），其對應的真實響應值為（G（X1），G（X2），…，G（Xm）），則對任意輸入向量X與其Kriging模型的預測值G（X）關系可表示為

G（X）=（g（X））Tβ+z（X）（1）

其中，（g（X））Tβ為Kriging模型的回歸函數，表示高斯過程的均值；g（X）為模型的基函數；β為g（X）對應的回歸系數；z（X）表示均值為0的高斯隨機過程，其方差為σ2，協方差可表示為

Cov［z（Xi），z（Xj）］=σ2R（Xi，Xj，θ）（2）

式中，R（Xi，Xj，θ）表示z（Xi）和z（Xj）的相關函數；θ表示R（Xi，Xj，θ）的相關參數，可通過最大似然估計求出。

1.2 Kriging模型的相關函數和回歸函數

Kriging模型建模過程中存在多種相關函數選擇不確定性問題，相關函數的選擇應考慮功能函數性質和變量的分布特點。常用相關函數R（Xi，Xj，θ）形式有指數函數、高斯函數、三次函數、Matérn函數［18］等，本文選擇指數函數、高斯函數、Matérn函數三類相關函數構建集成代理模型，它們具體的表達式如表1所示。

回歸函數g（X）Tβ反映了Kriging代理模型的預測趨勢，常見的回歸函數主要有常量回歸、線性回歸、2階回歸等［18］，盡管（g（X））Tβ的具體形式對Kriging模型的擬合精度影響不大［19］，但文獻［10］將PCE作為Kriging模型的一種回歸函數，構建的PC-Kriging模型具有較好的擬合性能。因此本文選擇PCE回歸函數和常量回歸函數構建集成代理模型。PCE通過多項式展開，對函數的近似擬合輸出可表示為

式中，ψa（X）為多變量標準正交多項式，其系數為ya；A為多項式階數。

利用PCE替代Kriging模型的基函數g（X）得到對應的PC-Kriging模型如下式所示［20］：

綜上，本文對PCE回歸和常量回歸兩類Kriging模型分別構建其在指數函數、高斯函數、Matérn3/2函數以及Matérn5/2函數四種相關函數下的代理模型，共計8種Kriging模型（表2），結合自適應集成策略構建集成代理模型。

2 基于自適應Kriging組合模型的可靠性分析方法

2.1 自適應集成策略

集成代理模型的基本思想是使用加權形式對多個代理模型進行聚合，以充分利用每個代理模型的預測能力，同時解決難以選擇最佳代理模型的問題。集成代理模型有如下表達式：

式中，K為所使用的代理模型的個數，本文K=8；M（X）為集成代理模型對任意輸入向量X的預測值；i（X）為第i個代理模型對任意輸入向量X的預測值；wi為第i個代理模型的權重。

文獻［21］提出了一種基于全局預測誤差確定權重的啟發式策略，表達式如下：

其中，εLi為第i個模型全局預測誤差，為盡可能減少功能函數調用次數，選擇全局留一交叉驗證誤差（leave-one-out，LOO）作為全局預測誤差。α（α<1）、β（β<0）分別為控制單個代理模型相對重要性的兩個參數，根據文獻［21-22］分別取α=0.05，β=-1。

2.2 主動學習函數

主動學習函數是指在更新代理模型過程中，根據學習函數值將樣本集進行排序，并篩選合適的樣本點添加到訓練集中，以提高代理模型的預測精度。由于在實際工程應用中，功能函數的計算涉及到大量的有限元分析計算，計算時間長，因此，在構建代理模型時，需要在保證計算精度的情況下盡可能減少訓練集的樣本點個數，本文基于IEGO（improved efficient global optimization）學習函數［19］，提出了一種新的主動學習函數。

IEGO學習函數基于JONES等［23］首次提出的EGO學習函數，為使代理模型在極限狀態附近擬合精度更高，文獻［19］對EGO學習函數中的期望值定義進行調整，使其選點策略更符合可靠度計算的要求。IEGO學習函數定義如下：

首先定義樣本點X處對Kriging模型的改進程度為

式中，σ（X）為Kriging模型的預測方差；Φ（·）、φ（·）分別表示標準正態分布的累積分布函數和概率密度函數。

則下一次待添加到實驗設計（DoE）的最佳樣本點為所有樣本點中期望值最大所對應的點Xbest。

但IEGO學習函數只優先考慮了極限狀態方程附近的擬合，未考慮樣本點的距離對擬合效率的影響，事實上，在選擇最佳新樣本點的同時，學習函數必須考慮樣本聚類的潛在風險，以避免構建代理模型時出現過擬合，因此，采用以下距離準則來保證待添加到DoE的最佳樣本點遠離現有的樣本點。距離函數定義為

式中，Xi為已有的訓練集中樣本點；dm（X）為待添加樣本點與已有樣本點的最近距離;dmin為已有樣本點之間的最小距離。

本文在IEGO學習函數的基礎上，提出了一種考慮樣本點聚集的改進學習函數IE（X），其表達式如下：

基于式（11），選擇候選樣本點中IE（X）值最大的樣本點作為新增樣本點加入到實驗設計中，重新生成集成Kriging模型，直至輸出的失效概率達到穩定狀態，滿足下式所示［24］的收斂條件，迭代終止：

2.3 可靠度計算流程

基于集成Kriging模型和蒙特卡羅抽樣，結合本文提出的改進學習函數的可靠性分析方法主要流程如圖1所示。

主要步驟如下：

（1）采用蒙特卡羅抽樣構建候選樣本池，根據隨機變量的分布類型抽取Nmc個樣本點作為樣本池（X1，X2，…，XNmc）。

（2）采用拉丁超立方抽樣法（Latin hypercube sampling，LHS）生成DoE中的初始樣本點（X1，X2，…，Xn），并計算其真實功能函數響應值（G（X1），G（X2），…，G（Xn））。

（3）根據DoE中的初始樣本點及真實響應值初步構建K種Kriging模型，并根據式（5）、式（6）計算每個代理模型集成權重，構建集成Kriging模型，最后利用集成Kriging模型去計算候選樣本池中所有點的預測均值和標準差。

（4）根據步驟（3）中的結果計算式（11）中的IE（X）。

（5）根據學習函數的停止準則判斷是否需要更新集成Kriging模型，若不滿足停止準則，則根據本文提出的學習函數和步驟（4）的計算結果選擇IE（X）最大值所對應的樣本點作為新的樣本點加入DoE中，跳轉到步驟（3），否則，執行下一步。

（6）基于集成Kriging模型的預測均值，采用MCS計算失效概率f和變異系數CovPf，當CovPf≤0.05時，輸出f，否則，更新樣本池Nmc，執行步驟（1）。其中

3 算例驗證

為了驗證本文方法的有效性，現通過三個算例進行驗證，每一個算例均使用本文方法和常用的AK-MCS-U［5］、AK-MCS-EFF［4］、AK-MCS-IEGO［19］、MCS等方法進行計算比較，驗證本文所提方法在計算可靠度方面的有效性和正確性，需要說明的是，其他方法的Kriging模型的相關函數采用高斯函數，回歸函數采用常量回歸。

3.1 數值算例

3.1.1 算例1：四分支串聯系統

本算例功能函數如下［5］：

式中，x1、x2相互獨立且均服從正態分布，x1～N（0，1），x2～N（0，1）;k=6，7。

首先根據變量分布函數和蒙特卡羅抽樣函數構建候選樣本池，再利用LHS抽樣獲得初始樣本，并根據式（15）獲得真實響應值，擬合初始的Kriging模型，然后根據學習函數不斷更新集成Kriging模型直至收斂，輸出求解的失效概率Pf，并以MCS方法的結果PMCf（視作精確值）作為參照，利用下式計算各個結果的相對誤差：

運算結果如表3所示，可以看出本文所提出的方法與AK-MCS-U、AK-MCS-EFF等主要方法相比，在保證計算準確度的同時，能夠顯著減少系統模型下對其功能函數的調用次數。

圖2展示了AK-MCS-U、AK-MCS-EFF、AK-MCS-IEGO和本文所提方法所對應的四類學習函數分別在k=6和k=7時最佳樣本點分布。結合表3可以看出，雖然U函數在極限狀態附近的擬合效果較好，求解精度較高，但由于U函數的停止準則過于嚴格，樣本點出現了大量的局部聚集，從而導致Kriging模型出現過擬合，增加計算成本，而EFF函數雖然調用功能函數次數最少，樣本點分布也較合理，但計算精度較差，這是因為EFF函數在計算時容易出現提前收斂［25］，在k=7時，誤差甚至達到了5.05%，不具備參考性。IEGO函數在極限狀態附近擬合效果較好，但是在k=6，k=7時均出現了樣本點局部聚集的情況，增加了計算成本，這也導致了雖然該方法計算精度與本文方法相近，但計算效率均低于本文方法計算效率。本文方法在保證最佳樣本點處在極限狀態附近的基礎上，分布比IEGO函數更加均勻合理，未出現樣本點局部聚集的情況，計算效率更高，說明了本文提出的考慮樣本點距離的改進學習函數的有效性。

圖3展示了k=6時不同Kriging模型的權重系數隨模型迭代次數的變化趨勢，可以看出PC-Kriging模型的權重系數整體上高于常量回歸Kriging模型權重系數，Kriging模型5權重最高，說明了PC-Kriging模型比常規Kriging模型在擬合精度上具有一定的優勢，在具有相同回歸函數的Kriging模型中，采用Matérn5/2函數作為相關函數的權重較高，采用指數函數作為相關函數的權重較低，說明在此案例中，采用Matérn5/2函數作為相關函數的Kriging模型具有較好的擬合效果。

3.1.2 算例2：非線性振動系統

6維隨機非線性振動系統如圖4所示［8］，功能函數如下：

其中，c1、c2表示系統中兩個連接彈簧剛度；M表示小車質量；R表示位移閾值；F1、t1分別為系統所受載荷幅值和時間。隨機變量分布如表4所示。

根據變量（c1，c2，M，R，t1，F1）的分布函數生成候選樣本池，然后利用LHS抽樣在樣本池中抽取12個樣本點作為初始樣本點進行迭代計算，同時，為了說明本文所提方法的穩定性，分別對AK-MCS-U、AK-MCS-EFF、AK-MCS-IEGO、AK-SS方法和本文所提方法進行30次計算，30次計算結果的平均值如表5所示，30次計算結果的失效概率箱型圖見圖5。

可以看出，五種方法的失效概率均在一定范圍內波動，這是由抽樣的隨機性所導致的，同時，五種方法中，AK-MCS-U的波動最小，精度最高，最接近MCS的結果，但結合表4可以看出，該方法所添加的樣本點最多，說明該方法雖然精度較高，但效率較低，而AK-MCS-EFF雖然效率較高，但是精度較低，本文所提方法不但能保證精度高、效率高的要求，結果的穩定性也比較強，這說明了本文方法的有效性。

為了說明本文提出的集成模型具有較好的穩定性，現分別取本文的集成模型和表2的8種Kriging模型分別與本文提出的學習函數相結合，對該算例計算30次，失效概率和新增樣本點個數結果如圖6所示。可以看出，基于不同代理模型所得的失效概率和新增樣本點個數均在一定范圍內波動，但集成模型的概率波動較小。綜合來看，本文的方法能在保證計算精度的前提下，使穩定性更高，且計算效率較高。

3.2 工程算例：某配氣機構傳動系統的頻率可靠性分析

發動機配氣機構是一種控制燃料氣體進出氣缸的裝置，是內燃機重要組成部分之一。所設計的配氣機構性能好壞會直接影響內燃機的各項性能指標［26］。當配氣機構傳動系統的固有頻率與凸輪的激振頻率差值不超過某一固定閾值時，該傳動系統會以最大的振幅開始振動，從而引起機械和結構很大的變形和動應力，即共振失效。為此，以某型號發動機配氣機構為對象，利用所提方法對其進行結構可靠性分析，并與其他主要方法進行對比，以驗證所提方法的工程應用價值。

圖7為一發動機配氣機構系統簡圖。其中，mt、mv、ms分別為挺柱AD、氣門BC和氣門彈簧質量；I、θ分別為搖臂AB對轉軸O的轉動慣量和轉動角度；a、b分別為挺柱、氣門到搖臂中心的距離；ks、kt分別為閥簧剛度和簡化后挺柱的剛度，取kt=0；c一般為阻尼系數，由模態理論可知，阻尼系數對系統的固有頻率影響可忽略不計，此處不予考慮。各隨機變量的分布信息如表6所示。根據文獻［26］所推導的配氣系統振動可靠性的功能函數如下：

式中，ω為系統的固有頻率；f為系統激振頻率的統計量；γ為固定閾值，根據經驗一般取系統固有頻率均值的10%～15%。

與數值算例的求解流程類似，首先根據變量的分布函數生成候選樣本池，然后利用LHS抽樣抽取12個樣本點作為初始樣本點進行迭代計算，各方法計算結果如表7所示。結合表7可以看出，本案例中采用代理模型進行可靠性分析的精度都比較高，但本文提出的方法計算成本最低，說明與算例1、2相比，集成Kriging模型在擬合高維非線性函數時具有較大優勢，僅需調用功能函數12+33次，極大地減小了計算量。

圖8展示了本算例中不同Kriging模型的權重系數隨模型迭代次數的變化趨勢，可以看出PC-Kriging模型的權重系數整體上遠遠高于常量回歸Kriging模型的權重系數。

結合圖3可以看出，在擬合高維非線性函數時，結合PCE的Kriging模型相比于常量回歸Kriging模型更有優勢，采用常量回歸函數和指數函數作為相關函數的Kriging模型精度較低，說明此類模型對高維非線性函數的擬合效果不佳。

為了進一步說明本文提出的集成模型在解決實際問題時具有較高的穩定性，現分別使用本文的集成模型和8種Kriging模型對該算例計算30次，其結果如圖9所示。可以看出集成模型的計算次數和計算結果的波動均最小，說明集成模型的穩定性較好，與單一Kriging模型相比，集成模型穩定性和精度均有一定的提高。

4 結論

本文提出了一種基于集成Kriging模型與改進主動學習函數相結合的可靠性分析方法，并利用2個數值算例和1個工程案例驗證了本文所提方法的有效性和高效性，主要結論如下：

（1）基于自適應集成策略對不同回歸函數和不同相關函數下的Kriging模型進行集成，與單一Kriging模型相比，集成模型具有更高的穩健性，在解決工程實際問題時，能通過構建更穩健的代理模型來計算可靠度，保證計算結果可靠。

（2）在IEGO學習函數的基礎上所提出的改進學習函數，既能夠使最佳樣本點分布于極限狀態面附近，保證Kriging模型在極限狀態面附近的擬合精度，又綜合考慮了樣本點之間的距離對擬合精度和擬合效率的影響，使得樣本點能均勻分布于極限狀態面附近，避免了樣本點出現局部聚集，從而導致選點浪費。

（3）數值和工程算例驗證了集成Kriging模型在處理高維非線性函數時具有較大優勢，能夠在保證計算精度的條件下實現對問題的高效求解。

本文所提出的集成Kriging模型的權重是將全局留一交叉驗證誤差（LOO）作為全局預測誤差來確定各個模型的權重，但LOO是一種高方差估計，可能會導致某些性能較差的模型獲得較高的權重，影響集成Kriging模型的擬合性能，在未來研究中，可考慮制定更有效的權重策略，以進一步提高模型的穩健性和求解精度。

參考文獻：

［1］ 查從燚，孫志禮，潘陳蓉等.面向結構可靠性分析的并行自適應加點策略［J］. 東北大學學報（自然科學版），2023，44（1）：76-81.

ZHA Congyi， SUN Zhili， PAN Chenrong， et al．Parallel Adaptive Sampling Strategy for Structural Reliability Analysis［J］. Journal of Northeastern University， 2023， 44（1）：76-81.

［2］ 李永華，梁校嘉，宮琦.基于雙點加點策略的改進Kriging響應面可靠度計算方法［J］.中國機械工程， 2019， 30（17）：2051-2057.

LI Yonghua， LIANG Xiaojia， GONG Qi. Improved Kriging Response Surface Reliability Calculation Method Based on Two Point Addition Strategy［J］. China Mechanical Engineering， 2019， 30 （17）：2051-2057.

［3］ 周成寧. 隨機和認知不確定性下基于代理模型的結構可靠性方法研究［D］. 成都：電子科技大學，2021.

ZHOU Chengning. A Research of Surrogate Based Model for Structural Reliability Method under Aleatory and Epistemic Uncertainties［D］. Chengdu：School of Mechanical and Electrical Engineering， 2021.

［4］ BICHON B J，ELDRED M S，SWILERL L P，et al． Efficient Gobal Reliability Analysis for Nonlinear Implicit Performance Functions［J］. AIAA Journal，2008，46（10）：2459-2468．

［5］ ECHARD B，GAYTON N，LEMAIRE M． AK-MCS：an Active Learning Reliability Method Combining Kriging and Monte Carlo Simulation［J］. Structural Safety，2011， 33（2）：145-154．

［6］ ZHENG P，MING W C，ZONG G，et al.A New Active Learning Method Based on the Learning Function U of the AK-MCS Reliability Analysis Method［J］. Engineering Structures， 2017， 148：185-194.

［7］ SUN Z，WANG J，LI R，et al. LIF：a New Kriging Based Learning Function and Its Application to Structural Reliability Analysis［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2017， 157：152-165.

［8］ HAN Z H，ZIMMERMAN R， GORTZ S. Alternative co-Kriging Method for Variable-fidelity Surrogate Modeling［J］. AIAA Journal， 2012， 50（5）：1205-1210．

［9］ HAN Z H，Gortz S，ZIMMERMAN R．Improving Variable Fidelity Surrogate Modeling via Gradient-enhanced Kriging and a Generalized Hybrid Bridge Function［J］. Aerospace Science&Technology， 2013， 25（1）：177-189.

［10］ SCHOBI R，SUDRET B，WIART J. Polynomial-chaos Based Kriging［J］. International Journal for Uncertainty Quantifications， 2015， 5（2）：171-193.

［11］ SCHOBI R， SUDRET B， MARELLI S. Rare Event Estimation Using Polynomial-chaos Kriging［J］. ASCE-ASME Journal of Risk and Uncertainty in Engineering Systems， Part A：Civil Engineering， 2017，3（2）：4016002.

［12］ ZHANG J， XIAO M，GAO L． An Active Learning Reliability Method Combining Kriging Constructed with Exploration and Exploitation of Failure Region and Subset Simulation［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2019， 188：90-102.

［13］ BARKHORI M， SHAYANFAR M A， BARKHORDARI M A， et al. Kriging Aided Crossentropy-based Adaptive Importance Sampling Using Gaussian Mixture［J］. Iranian Journal of Science and Technology， 2019， 43（1）：S81-S88．

［14］ 史朝印， 呂震宙， 李璐祎， 等.基于自適應Kriging代理模型的交叉熵重要抽樣法［J］.航空學報，2019，41（1）：223123.

SHI Zhaoyin，LYU Zhenzhou，LI Luyi，et al. Cross-entropy Importance Sampling Method Based on Adaptive Kriging Model［J］. Acata Aeronautica et Astronautica Sinica， 2020， 41（1）：223123.

［15］ 萬良琪， 歐陽林寒. 基于0-1規劃模型篩選策略的Kriging組合模型及可靠性優化設計［J］.計算機集成制造系統，2022，28（7）：2162-2168.

WAN Liangqi，OUYANG Linhan. Kriging Ensemble Model Based on 0-1 Programming Model Selection strategy for Reliability-based Design Optimization［J］Computer Integrated Manufacturing Systems， 2022， 28（7）：2162-2168.

［16］ CHENG K， LU Z. Structural Reliability Analysis Based on Ensemble Learning of Surrogate Models［J］. Structural Safety，2020，83：101905.

［17］ 李寧，潘慧雨，李忠獻.一種基于自適應集成學習代理模型的結構可靠性分析方法［J］.工程力學，2023，40（3）：27-35.

LI Ning， PAN Huiyu，LI Zhongxian. Structural Reliability Analysis Method Based on Adaptive Ensemble Learning Surrogate Model［J］.Engineering Mechanics， 2023， 40（3）：27-35.

［18］ 李大帥. 基于多保真度Kriging代理模型的結構可靠度分析方法［D］. 哈爾濱：哈爾濱工業大學，2021.

LI Dashuai. A Structural Reliability Analysis Method Based on Multi-fidelity Kriging Surrogate Model［D］Harbing：Harbin Institute of Technology， 2021.

［19］ 洪林雄， 李華聰， 彭凱， 等. 基于改進學習策略的Kriging模型結構可靠度算法［J］.西北工業大學學報，2020，38（2）：412-419.

HONG Linxiong， Li Huacong， Peng Kai， et al. Structural Reliability Algorithms of Kriging Model Based on Improved Learning Strategy［J］. Journal of Northwestern Polytechnical University，2020， 38（2）：412-419.

［20］ 彭新款. 基于PC-Kriging替代模型的移動模架結構可靠度分析［D］. 廣州：華南理工大學， 2019.

PENG Xinkuan. Reliability Analysis of Movable Scaffolding System Structure Based on PC-Kriging Surrogate Model［D］.Guangzhou：South China University of Technology， 2019.

［21］ GOEL T， HAFTKA R T， SHYY W， et al. Ensemble of Surrogates［J］. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2007， 33（3）：199-216.

［22］ ZHANG H L， ZHOU C C， ZHAO H D， et al. An Ensemble Model-based Method for Estimating Failure Probability Function with Application in Reliability Based Optimization［J］. Applied Mathematical Modelling， 2022， 108：445-468.

［23］ JONES D R， SCHONLAU M， WELCH W J．Efficient Global Optimization of Expensive Black-box Functions［J］. Journal of Global Optimization，1998， 13（4）：455-492.

［24］ 石靈健. 基于主動學習代理模型的結構可靠性分析方法研究［D］. 南京：東南大學， 2019.

SHI Lingjian. Research on Structural Reliability Analysis Based on Active Learning Surrogate Model［D］. Nanjing：Southeast University，2019.

［25］ 吳振光. 基于主動學習Kriging代理模型的結構可靠性算法研究［D］. 沈陽：東北大學， 2020.

WU Zhenguang. Efficient Structural Reliability Algorithms with the Active-learning Based Kriging Model［D］. Shenyang：Northeastern University， 2020.

［26］ 楊周，劉洋，張義民.發動機配氣機構傳動系統的頻率可靠性分析［J］.振動.測試與診斷，2017，37（2）：284-287.

YANG Zhou，LIU Yang， ZHANG Yimin. Frequency Reliability Analysis for Transmission System in Engine Valve Train［J］. Journal of Vibration，Measurement & Diagnosis， 2017， 37（02）：284-287.