一種工具坐標(biāo)系標(biāo)定與公共點(diǎn)結(jié)合的機(jī)器人與激光跟蹤儀坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法

鄒方星 范百興 陳 哲 段童虎 黃 赫

1 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院,鄭州市科學(xué)大道62號(hào),450001

工業(yè)機(jī)器人具有可靠性高、重復(fù)精度高、適用性強(qiáng)等特點(diǎn),作為制造業(yè)發(fā)展的“催化劑”,其在軍事、醫(yī)療、數(shù)控加工等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1]。通常,工業(yè)機(jī)器人重復(fù)精度較高,但絕對(duì)精度較低[2],制約了其在精密加工、航天裝配等先進(jìn)制造領(lǐng)域的應(yīng)用。實(shí)際使用中,可通過(guò)標(biāo)定來(lái)提高工業(yè)機(jī)器人的絕對(duì)定位精度,獲取激光跟蹤儀與機(jī)器人基坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系是進(jìn)行標(biāo)定的基礎(chǔ),進(jìn)而將不同的坐標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù)統(tǒng)一到相同坐標(biāo)系下。目前,常用的機(jī)器人末端位姿測(cè)量設(shè)備有視覺(jué)測(cè)量系統(tǒng)、球桿儀、激光跟蹤儀等[3-4],其中激光跟蹤儀最為常用。

文獻(xiàn)[5]采用基于平面擬合的轉(zhuǎn)換方法,利用機(jī)器人自身的結(jié)構(gòu)關(guān)系求解轉(zhuǎn)換關(guān)系,但因機(jī)器人基座安裝平面較大,受制于加工安裝精度,安裝平面與機(jī)器人基坐標(biāo)系平面不完全重合;文獻(xiàn)[6]需要控制機(jī)器人作3次單軸旋轉(zhuǎn),而后根據(jù)空間幾何關(guān)系和位置關(guān)系反推轉(zhuǎn)換關(guān)系;文獻(xiàn)[7]通過(guò)控制機(jī)器人沿機(jī)器人基坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng),擬合得到方向向量,而后再進(jìn)一步求解平移參數(shù)。

上述方法現(xiàn)場(chǎng)操作復(fù)雜,容易受到場(chǎng)地和安裝因素的影響,擬合精度不高,且需要采集足夠多的點(diǎn)去提高擬合精度,效率較低。為此,本文提出一種工具坐標(biāo)系標(biāo)定與公共點(diǎn)轉(zhuǎn)換相結(jié)合的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法,只需控制機(jī)器人采集較少的點(diǎn),具有操作簡(jiǎn)單、使用范圍廣等優(yōu)點(diǎn),適合工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)使用。

1 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換方法

坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換系統(tǒng)包含工業(yè)機(jī)器人、激光跟蹤儀、靶標(biāo)球和控制系統(tǒng),如圖1所示,在機(jī)器人末端固定靶標(biāo)基座放置激光靶球。其中,{B}為機(jī)器人基坐標(biāo)系,位于機(jī)器人安裝底座平面,它是其他坐標(biāo)系的參考基準(zhǔn);{E}為法蘭末端坐標(biāo)系,固連在機(jī)器人連桿末端;{M}為激光跟蹤儀坐標(biāo)系;{T}為工具坐標(biāo)系,固定在機(jī)器人末端夾具上,用來(lái)描述工具中心點(diǎn)的位置和工具姿態(tài)。

圖1 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Experimental system for coordinate transformation

(1)

式中,R為兩個(gè)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣,P為兩個(gè)坐標(biāo)系之間的平移變換矩陣。

上述坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系滿足:

(2)

結(jié)合位姿變換矩陣可表示為:

(3)

由式(2)可得:

(5)

圖2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換算法流程Fig.2 Flow chart of coordinate system transformation algorithm

1.1 光學(xué)TCP位置標(biāo)定

光學(xué)TCP位置O點(diǎn)在機(jī)器人基坐標(biāo)系{B}中可表示為:

(6)

(7)

在激光跟蹤儀坐標(biāo)系下的坐標(biāo)差為:

(8)

空間中任意兩點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下的距離相等(假設(shè)坐標(biāo)系之間尺度因子為1),對(duì)于光學(xué)TCP在空間中的任意兩點(diǎn),盡管其在跟蹤儀坐標(biāo)系和機(jī)器人基坐標(biāo)系的坐標(biāo)值不同,但這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離相等,即

(9)

從而可以得到:

(10)

令

(11)

可以得到:

(12)

展開(kāi)可得:

(13)

公式(8)是非線性方程,對(duì)其進(jìn)行線性化,一階泰勒展開(kāi)后,忽略高階項(xiàng)整理得到:

(14)

式中,

(15)

整理化簡(jiǎn)可得:

(16)

式中,

(17)

觀察方程參數(shù)個(gè)數(shù)可知,至少需要機(jī)器人運(yùn)動(dòng)到3個(gè)位置(不共線),才能使得方程有唯一解。通常為了減少實(shí)驗(yàn)過(guò)程中隨機(jī)誤差的影響,采集的觀測(cè)點(diǎn)數(shù)遠(yuǎn)大于3。根據(jù)建立的方程組,通過(guò)最小二乘法即可得到TCP在法蘭末端坐標(biāo)系下的位置,完成光學(xué)TCP位置標(biāo)定。

1.2 重心化配置

進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換,需要在不同的測(cè)量坐標(biāo)系下觀測(cè)同一組公共點(diǎn)。在不同的坐標(biāo)系下,可將公共觀測(cè)點(diǎn)組合起來(lái)等效為剛體,坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系可等效為剛體之間的位姿變換。

由剛體運(yùn)動(dòng)理論可知,在進(jìn)行剛體變換時(shí),其內(nèi)部各點(diǎn)的相對(duì)位置保持不變,即兩個(gè)剛體上的各公共點(diǎn)到質(zhì)心的距離保持不變。本文將公共觀測(cè)點(diǎn)組合等效為剛體,根據(jù)重心不變理論,對(duì)機(jī)器人基坐標(biāo)系和激光跟蹤儀坐標(biāo)系下的公共觀測(cè)點(diǎn)進(jìn)行重心化配置,各公共點(diǎn)到重心的距離不變,相同點(diǎn)對(duì)應(yīng)距離相等:

(18)

對(duì)各觀測(cè)點(diǎn)進(jìn)行等效剛體的空間重心化配置,可得:

(19)

(20)

重心化空間配置消去了坐標(biāo)系變換的平移變換,減小了參與計(jì)算的坐標(biāo)數(shù)值,能在一定程度上降低機(jī)器人絕對(duì)定位誤差和測(cè)量誤差造成的影響,增強(qiáng)數(shù)值計(jì)算的可靠性。

1.3 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換模型用來(lái)描述兩個(gè)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,包含四參數(shù)、七參數(shù)等轉(zhuǎn)換模型[8-11]。本文采用三維七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型,不考慮尺度因子。重心化配置坐標(biāo)后消去了平移參數(shù),姿態(tài)變換矩陣即為機(jī)器人基坐標(biāo)系到跟蹤儀坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣。假設(shè)光學(xué)TCP位置點(diǎn)O在機(jī)器人基坐標(biāo)系{B}中的等效重心化坐標(biāo)為(xgi,ygi,zgi),在激光跟蹤儀坐標(biāo)系{M}中等效重心化的坐標(biāo)為(Xgi,Ygi,Zgi),兩個(gè)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為:

(21)

式中,R為機(jī)器人基坐標(biāo)系{B}到跟蹤儀坐標(biāo)系{M}的齊次變換旋轉(zhuǎn)矩陣:

R=R(γ)R(β)R(α)

(22)

式中,(γ,β,α)為旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

選取3個(gè)以上的公共點(diǎn)代入式(21)可構(gòu)成超定方程組,采用迭代最小二乘法求解,可以得到機(jī)器人基坐標(biāo)系到跟蹤儀坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣R。而后通過(guò)式(23)可求得機(jī)器人基坐標(biāo)系相對(duì)于跟蹤儀坐標(biāo)系的齊次變換平移矩陣T:

(23)

考慮到測(cè)量誤差和機(jī)器人定位誤差的存在,O點(diǎn)從機(jī)器人基坐標(biāo)系{B}經(jīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后在激光跟蹤儀坐標(biāo)系{M}中的坐標(biāo)(X′,Y′,Z′)與其目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)(X0,Y0,Z0)存在差異,轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)殘差為:

(24)

2 實(shí)驗(yàn)與分析

本文實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)由ABB IRB2600型工業(yè)機(jī)器人、激光跟蹤儀、光學(xué)靶標(biāo)球和控制系統(tǒng)組成。將光學(xué)靶標(biāo)球的工件固定于機(jī)器人末端法蘭盤(pán)上,實(shí)驗(yàn)過(guò)程中確保機(jī)器人和激光跟蹤儀相對(duì)位置不變。實(shí)驗(yàn)中用到的激光跟蹤儀型號(hào)為L(zhǎng)ecia AT960,測(cè)量精度為±(15 μm+6 μm/m),配合使用的靶標(biāo)球?yàn)橹睆?8.1 mm的RRR1.5″精密靶球,在10 m的工作范圍內(nèi)點(diǎn)位精度優(yōu)于75 μm。IRB2600型工業(yè)機(jī)器人重復(fù)定位精度為0.1 mm,絕對(duì)定位精度為1 mm左右。為了驗(yàn)證本文方法的有效性,與文獻(xiàn)[6]的方法進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)時(shí)按照文獻(xiàn)[6]所述方法控制機(jī)器人作單軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),按照一定的角度值停止單軸運(yùn)動(dòng)并記錄激光跟蹤儀點(diǎn)位讀數(shù)。

2.1 光學(xué)TCP位置標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

首先對(duì)光學(xué)TCP位置進(jìn)行標(biāo)定。將機(jī)器人運(yùn)動(dòng)到初始零位,在機(jī)器人工作空間中,隨機(jī)選取25個(gè)點(diǎn)位,各位置點(diǎn)盡可能分布均勻,控制機(jī)器人分別運(yùn)動(dòng)到這25個(gè)位置。用激光跟蹤儀觀測(cè)25個(gè)點(diǎn)位的坐標(biāo),同時(shí)記錄下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)到相應(yīng)點(diǎn)位時(shí)的法蘭末端位姿。

根據(jù)文獻(xiàn)[3]可知,盡管求解線性方程最低只需要3組數(shù)據(jù),但由于機(jī)器人存在定位誤差,會(huì)對(duì)非線性方程組系數(shù)矩陣產(chǎn)生較大影響,導(dǎo)致求解結(jié)果不穩(wěn)定。為提高求解精度,本文從采集的點(diǎn)集中選取10組數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行光學(xué)TCP位置標(biāo)定。表1為觀測(cè)點(diǎn)在激光跟蹤儀測(cè)量坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)。

表1 觀測(cè)點(diǎn)在激光跟蹤儀中的測(cè)量坐標(biāo)

選取的10個(gè)觀測(cè)點(diǎn)相應(yīng)地在機(jī)器人坐標(biāo)系中測(cè)得的法蘭末端位姿如表2所示,其中(X,Y,Z)表示法蘭末端坐標(biāo)系相對(duì)于機(jī)器人基坐標(biāo)系的平移量,(Q1,Q2,Q3,Q4)表示法蘭末端坐標(biāo)系相對(duì)于機(jī)器人基坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換四元數(shù)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),采用上文所述的距離約束法原理計(jì)算求得光學(xué)TCP在法蘭末端坐標(biāo)系下的位置為(0.357 2,0.278 9,39.430 6)T,進(jìn)一步可以計(jì)算得到這10個(gè)觀測(cè)點(diǎn)在機(jī)器人基坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)(表3)。

表2 觀測(cè)點(diǎn)末端法蘭位姿

表3 觀測(cè)點(diǎn)在機(jī)器人基坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

2.2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換實(shí)驗(yàn)

根據(jù)文獻(xiàn)[6]方法,采集數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合,通過(guò)計(jì)算得到的機(jī)器人基坐標(biāo)系相對(duì)于激光跟蹤儀坐標(biāo)系的齊次變換矩陣為:

根據(jù)已經(jīng)標(biāo)定光學(xué)TCP位置的10個(gè)點(diǎn),采用本文方法進(jìn)行公共點(diǎn)轉(zhuǎn)換求解,10個(gè)觀測(cè)點(diǎn)在機(jī)器人基坐標(biāo)系的坐標(biāo)值如表3所示。經(jīng)計(jì)算,求解得到的機(jī)器人基坐標(biāo)系相對(duì)于激光跟蹤儀坐標(biāo)系的齊次變換矩陣為:

2.3 精度分析

為對(duì)比兩種方法的轉(zhuǎn)換精度,在前期采集的點(diǎn)集中隨機(jī)選取10個(gè)點(diǎn),根據(jù)標(biāo)定的光學(xué)TCP位置計(jì)算靶球在機(jī)器人基坐標(biāo)系中的位置,如表4所示。分別通過(guò)本文方法和文獻(xiàn)[9]方法求解得到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換齊次矩陣,將10個(gè)測(cè)試點(diǎn)在機(jī)器人基坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到激光跟蹤儀坐標(biāo)系下,與相應(yīng)點(diǎn)的激光跟蹤儀實(shí)測(cè)坐標(biāo)數(shù)值進(jìn)行對(duì)比,兩種方法的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換較差如表5和表6所示。

表4 測(cè)試點(diǎn)在機(jī)器人基坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

表5 測(cè)試點(diǎn)在文獻(xiàn)[9]算法下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)

表6 測(cè)試點(diǎn)在本文算法下的轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)

本文采用MAE作為精度評(píng)價(jià)指標(biāo),其具體計(jì)算如下:

(25)

統(tǒng)計(jì)兩種方法3個(gè)坐標(biāo)軸分量的轉(zhuǎn)換精度MAE和點(diǎn)位綜合轉(zhuǎn)換精度MAE(表7)可知,相比于傳統(tǒng)的擬合法,采用本文方法進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后,在X軸、Y軸、Z軸方向的MAE分別減小18.83%、36.86%和44.87%,綜合MAE減小35.44%。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的較差受采樣點(diǎn)坐標(biāo)測(cè)量的影響,文獻(xiàn)[9]算法需要控制機(jī)器人作多次單軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),擬合精度取決于每個(gè)停頓位置采集靶標(biāo)球球心的測(cè)量坐標(biāo)值,機(jī)器人定位誤差會(huì)造成圓的擬合精度損失,最終影響坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的精度。相對(duì)而言,本文算法可有效避免擬合誤差的影響,測(cè)試點(diǎn)經(jīng)轉(zhuǎn)換后的轉(zhuǎn)換誤差有所減小,轉(zhuǎn)換精度較文獻(xiàn)[9]算法一定程度的提高,證明了本文方法的有效性。

表7 測(cè)試點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度整體統(tǒng)計(jì)

3 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種工具坐標(biāo)系標(biāo)定與公共點(diǎn)轉(zhuǎn)換相結(jié)合的求解機(jī)器人基坐標(biāo)系與激光跟蹤儀坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系的新方法,與傳統(tǒng)基于擬合的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法相比,本文方法能有效避免傳統(tǒng)方法的擬合誤差,減小因測(cè)量誤差和定位誤差對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系的影響,提高坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。且該方法操作簡(jiǎn)單,只需要移動(dòng)機(jī)器人采集少量的點(diǎn),不需要作單軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)或者沿機(jī)器人基坐標(biāo)系軸線作直線運(yùn)動(dòng),簡(jiǎn)化了操作流程,測(cè)量效率高,適合工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)使用。