Rota-Baxter配對Lie模與Rota-Baxter配對Lie交叉模

袁純璐, 鄭斯航, 張良云

(南京農業(yè)大學 理學院, 江蘇 南京 210095)

Rota-Baxter算子最初是由Baxter[1]在研究概率論中引入的,之后,Rota[2]從組合學的角度推動其進一步發(fā)展.近年來,Rota-Baxter算子引起了眾多專家和學者的研究興趣.一方面,Guo[3]詳細介紹了結合代數上的Rota-Baxter算子;另一方面,Kupershmidt[4]在經典r-矩陣的研究中引入了Lie代數上的Rota-Baxter算子.

文獻[5-6]對Rota-Baxter代數的表示和同調進行了研究,并證明了Rota-Baxter代數的表示與Rota-Baxter算子環(huán)的表示是等價的.在文獻[5-6]的研究基礎上,Zheng等[7]首次引入了Rota-Baxter配對模概念,給出了Rota-Baxter配對模的判別條件,并由Hopf代數的積分與對極以及模代數、重模代數構造了一些Rota-Baxter配對模的例子.

本文正是基于以上研究背景,引入了Rota-Baxter配對Lie模概念,然后在擬冪等的假設條件下對Rota-Baxter配對Lie模進行了刻畫及構造.最后,引入了Rota-Baxter配對Lie交叉模概念,并在二維向量空間上構造了Lie交叉模結構和Rota-Baxter配對算子.

本文所討論的對象均在域k上考慮,id表示恒等映射,并針對代數與余代數、模與余模中的結構運算采用Sweedler記法[8].

1 基本定義

定義 1.1設L是一個線性空間,如果存在一個雙線性映射[-,-]:L?L→L,使得對任意x,y,z∈L,滿足下面條件:

[x,y]=-[y,x],

(1)

[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+

[z,[x,y]]=0,

(2)

則稱(L,[-,-])是一個Lie代數[8],并稱[-,-]為Lie代數L的一個Lie括積.

定義 1.2設L是一個Lie代數,λ∈k,如果存在一個線性映射P:L→L,使得對任意x,y∈L,滿足下面條件:

[P(x),P(y)]=P([P(x),y])+

P([x,P(y)])+λP([x,y]),

(3)

則稱(L,[-,-],P)是一個權重為λ的Rota-Baxter Lie代數[9].

定義 1.3設L是一個Lie代數,V是一個線性空間,如果存在一個線性映射

σ:L?V→V,x?vx·v,

使得對任意x,y∈L,v∈V,滿足下面條件:

[x,y]·v=x·(y·v)-y·(x·v),

(4)

則稱V是一個L-模[10].

設V、W均是L-模,如果存在一個線性映射f:V→W,使得對任意x∈L,α∈V,f(x·α)=x·f(α),則稱f是一個L-模映射.

定義 1.4設A是一個結合代數,M是一個左A-模,如果存在2個線性映射P:A→A和T:M→M,使得對任意a∈A,m∈M,滿足下面條件:

P(a)·T(m)=T(P(a)·m)+

T(a·T(m))+λT(a·m),

(5)

則稱(M,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對(左)A-模[7],并稱(P,T)為(A,M)或M上的一組Rota-Baxter配對算子.

類似地,可以定義Rota-Baxter配對(右)A-模.若(M,P,T)既是一個權重為λ的Rota-Baxter配對左A-模,又是一個權重為λ的Rota-Baxter配對右A-模,則稱(M,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對A-雙模.

2 Rota-Baxter配對Lie模

下面將引入Rota-Baxter配對Lie模概念,并給出Lie模成為Rota-Baxter配對Lie模的判別條件,以及給出Rota-Baxter配對Lie模的一些構造等.

定義2.1設L是一個Lie代數,V是一個L-模,λ∈k.若存在2個線性映射P:L→L和T:V→V,使得對任意x∈L,v∈V,滿足下列條件:

P(x)·T(v)=

T(P(x)·v+x·T(v)+λx·v),

(6)

則稱(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模,并稱T是Rota-Baxter配對L-模V上的一個Rota-Baxter算子.

若存在一個線性映射T:V→V,使得對任意一個線性映射P:L→L,(V,P,T)都是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模,則稱(V,T)是一個權重為λ的泛性Rota-Baxter配對L-模.

設(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模,若W是V的一個L-子模,并滿足T(W)?W,則稱(W,P,T)為V的一個Rota-Baxter配對L-子模.

設(V,P,T)、(V′,P′,T′)均是權重為λ的Rota-Baxter配對L-模,若存在一個L-模映射

f:(V,P,T)→(V′,P′,T′),

滿足fT=T′f,則稱f是一個Rota-Baxter配對L-模映射.此時,易證Kerf和Imf分別為V與V′的Rota-Baxter配對L-子模.

例 2.11) 設L是一個Lie代數,則通過L的Lie括積,它可以看成一個L-模.若(L,P)是一個權重為λ的Rota-Baxter Lie代數,則易證(L,P,P)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模.

2) 若(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模,則可以直接驗證(V,-λid-P,-λid-T)也是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模.

設M是一個左A-模,則M是一個AL-模,它的Lie模作用恰好是M的A-模作用.這里AL是由代數A誘導的Lie代數,它的Lie括積定義為

[a,b]L=ab-ba,a,b∈A.

命題 2.1設AL是由代數A誘導的Lie代數,則下面結論成立:

1) 若(A,P)是一個權重為λ的Rota-Baxter代數,則(AL,P)是一個權重為λ的Rota-Baxter Lie代數;

2) 若(M,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對A-雙模,則(M,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對AL-模.

這里,M的AL-模作用定義為

a?m=a·m-m·a,a∈AL,m∈M.

證明1) 由于(A,P)是一個權重為λ的Rota-Baxter代數,所以,對任意a,b∈AL,m∈M,有

P([P(a),b]L+[a,P(b)]L+λ[a,b]L)=

P(P(a)b-bP(a)+aP(b)-P(b)a+

λab-λba)=P(P(a)b+aP(b)+λab)-

P(bP(a)+P(b)a+λba)=

P(a)P(b)-P(b)P(a)=[P(a),P(b)]L,

故,(AL,P)是一個權重為λ的Rota-Baxter Lie代數.

2) 易證:(M,?)是一個左AL-模,這是由于對任意a,b∈AL,m∈M,有

[a,b]?m=a?(b?m)-b?(a?m).

再由(M,P,T)為Rota-Baxter配對A-雙模知

T(P(a)?m+a?T(m)+λa?m)=

T(P(a)·m-m·P(a)+a·T(m)-

T(m)·a+λa·m-λm·a)=

T(P(a)·m+a·T(m)+λa·m)-

P(a)·T(m)-T(m)·P(a)=

P(a)?T(m),

故(M,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對AL-模.

命題 2.2設(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模,則下列結論成立:

1) (V,μP,μT)是一個權重為μλ的Rota-Baxter配對L-模,這里μ∈k;

2) 若ψ:V→V是一個L-模自同構,則(V,P,ψ-1Tψ)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模;

3) 若P:L→L是一個Lie代數同態(tài),則(T(V),P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對P(L)-模.這里,T(V)表示配對L-模V在線性映射T作用下的像集,P(L)表示Lie代數L在線性映射P作用下的像集.

證明1) 事實上,對任意x∈L,v∈V,有

μT(μP(x)·v+x·μT(v)+μλx·v)=

μ2P(x)·T(v)=μP(x)·μT(v).

2) 事實上,對任意x∈L,v∈V,有

ψ-1Tψ(P(x)·v+x·ψ-1Tψ(v)+λx·v)=

ψ-1(T(P(x)·ψ(v)+x·T(ψ(v))+

P(x)·ψ-1Tψ(v),

故(V,P,ψ-1Tψ)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模.

3) 由于P是L上的一個Lie代數同態(tài),所以P(L)是L的一個Lie子代數.又由于

T(T(V))?T(V),

所以由(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模知:(T(V),P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對P(L)-模.

命題 2.3設V是一個L-模,且有一個子模直和分解V=V1⊕V2,T是V上的一個線性映射,則下面結論成立:

1) 定義T:V→V,v1⊕v2-λv2,則(V,T)是一個權重為λ的泛性Rota-Baxter配對L-模;

2) 若存在2個線性映射P:L→L和T1:V1→V1,使(V1,P,T1)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模,并定義T:V→V,v1⊕v2T1(v1)-λv2,則(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模.

證明1) 對任意x∈L,v1⊕v2∈V,有

P(x)·T(v1⊕v2)=P(x)·(-λv2)=

-λP(x)·v2,

T(P(x)·(v1⊕v2)+x·T(v1⊕v2)+

λx·(v1⊕v2))=T(P(x)·v1⊕P(x)·v2)+

T(x·(-λ)v2)+T(λx·v1⊕λx·v2)=

-λP(x)·v2+(-λ)x·(-λ)v2+

(-λ)λx·v2=-λP(x)·v2.

因此

P(x)·T(v1⊕v2)=T(P(x)·(v1⊕v2)+

x·T(v1⊕v2)+λx·(v1⊕v2)),

即(V,T)是一個權重為λ的泛性Rota-Baxter配對L-模.

2) 由于(V1,P,T1)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模,所以對任意x∈L,v1⊕v2∈V,有

P(x)·T(v1⊕v2)=

P(x)·(T1(v1)-λv2)=

P(x)·T1(v1)-λP(x)·v2,

T(P(x)·(v1⊕v2)+x·T(v1⊕v2)+

λx·(v1⊕v2))=T(P(x)·v1⊕P(x)·v2)+

T(x·T1(v1)-λx·v2)+

λT1(x·v1)-λ2x·v2=

T1(P(x)·v1)-λP(x)·v2+T1(x·T1(v1))+

λ2x·v2+λT1(x·v1)-λ2x·v2=

T1(P(x)·v1)+T1(x·T1(v1))+

λT1(x·v1)-λP(x)·v2=

P(x)·T1(v1)-λP(x)·v2,

故(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模.

下面結果表明:Rota-Baxter配對Lie模的結構可以延拓到它的自同態(tài)代數上.

命題 2.4設(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模,則End(V)是一個L-模,這里End(V)的L-模作用定義為:

(x?f)(v)=x·f(v)-f(x·v),

x∈L,f∈End(V),v∈V.

設T關于權重λ是擬冪等的,即T2=-λT,定義

證明首先,對任意x,y∈L,f∈End(V),v∈V,有

([x,y]?f)(v)=

[x,y]·f(v)-f([x,y]·v)=

x·(y·f(v))-y·(x·f(v))-

f(x·(y·v))+f(y·(x·v)),

(x?(y?f))(v)-(y?(x?f))(v)=

x·(y?f)(v)-(y?f)(x·v)-

y·(x?f)(v)+(x?f)(y·v)=

x·(y·f(v)-f(y·v))-y·f(x·v)+

f(y·(x·v))-y·(x·f(v)-f(x·v))+

x·f(y·v)-f(x·(y·v))=

x·(y·f(v))-y·(x·f(v))-

f(x·(y·v))+f(y·(x·v)),

即

([x,y]?f)(v)=(x?(y?f))(v)-

(y?(x?f))(v),

則End(V)是一個L-模.又由于

P(x)·T(f(v))-T(f(P(x)·v))=

T(P(x)·f(v)+x·T(f(v))+λx·f(v))-

T(f(P(x)·v)),

T(P(x)·f(v)-f(P(x)·v))+

λT(x·f(v)-f(x·v))=

T(P(x)·f(v)-f(P(x)·v))+T(x·T(f(v))-

T(f(x·v)))+λT(x·f(v)-f(x·v))=

T(P(x)·f(v)+x·T(f(v))+λx·f(v))-

T(f(P(x)·v))-T2(f(x·v))-λT(f(x·v))=

T(P(x)·f(v)+x·T(f(v))+λx·f(v))-

T(f(P(x)·v)),

命題 2.5設(L,P)是一個權重為λ的Rota-Baxter Lie代數,V是一個L-模,則(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模,當且僅當(L⊕V,P,P+T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模.

這里,(P+T)(x⊕v)=P(x)⊕T(v),并且L⊕V的L-模作用定義為

x·(y⊕v)=[x,y]⊕x·v,

x,y∈L,v∈V.

證明易證:L⊕V是一個L-模,這是由于對任意x,y,z∈L,v∈V,有

[x,y]·(z⊕v)=x·(y·(z⊕v))-

y·(x·(z⊕v)).

設(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模,則對任意x,y∈L,v∈V,有

P(x)·(P+T)(y⊕v)=P(x)·(P(y)⊕T(v))=

[P(x),P(y)]⊕P(x)·T(v),

(P+T)(P(x)·(y⊕v)+

x·(P+T)(y⊕v)+λx·(y⊕v))=

(P+T)([P(x),y]⊕P(x)·v+

[x,P(y)]⊕x·T(v)+λ[x,y]⊕λx·v)=

P([P(x),y]+[x,P(y)]+λ[x,y])⊕

[P(x),P(y)]⊕P(x)·T(v),

故(L⊕V,P,P+T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模.

反之,如果(L⊕V,P,P+T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模,則對任意x,y∈L,v∈V,有

P(x)·(P+T)(y⊕v)=

(P+T)(P(x)·(y⊕v)+

x·(P+T)(y⊕v)+λx·(y⊕v)).

在上述等式中,取y=0,易知

P(x)·T(v)=

T(P(x)·v+x·T(v)+λx·v),

故(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模.

命題 2.6設(L,P)是一個權重為λ的Rota-Baxter Lie代數,(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模.定義L上的另一個二元運算

[x,y]P,λ=[P(x),y]+[x,P(y)]+λ[x,y],

以及定義L與M間的另一作用

x?v=P(x)·v+x·T(v)+λx·v,

則下面結論成立:

1)T(x?v)=P(x)·T(v);

2) (V,?)是一個(L,[-,-]P,λ)-模;

3) (V,P,T,?)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對(L,[-,-]P,λ)-模.

證明1) 對任意x,y∈L,v∈V,有

T(x?v)=T(P(x)·v+x·T(v)+λx·v)=

P(x)·T(v).

2) 易證:(L,[-,-]P,λ)是一個Lie代數,并且(V,?)是一個(L,[-,-]P,λ)-模.

3) 由1)可得,對任意x,y∈L,v∈V,有

P(x)?T(v)=P2(x)·T(v)+

P(x)·T2(v)+λP(x)·T(v)=

T(P(x)?v)+T(x?T(v))+λT(x?v)=

T(P(x)?v+x?T(v)+λx?v),

故再由2)知:(V,P,T,?)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對(L,[-,-]P,λ)-模.

下面,給出L-模成為Rota-Baxter配對L-?；蚍盒訰ota-Baxter配對L-模的判別條件.

引理 2.1設L是一個Lie代數,V是一個L-模,若存在一個L-線性映射T:V→V,則下列條件等價:

1) (V,T)是一個權重為λ的泛性Rota-Baxter配對L-模;

2) 存在一個線性映射P:L→L,使得(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模;

3)T關于權重λ是擬冪等的,即T2=-λT.

證明1)?2) 顯然.

2)?3) 設(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對L-模,則對任意x∈L,v∈V,有

P(x)·T(v)=

T(P(x)·v+x·T(v)+λx·v)=

P(x)·T(v)+x·T2(v)+λx·T(v),

故T2=-λT.

3)?1) 任取一個線性映射P:V→V,則有

T(P(x)·v+x·T(v)+λx·v)=

P(x)·T(v)+x·T2(v)+λx·T(v)=

P(x)·T(v).

引理2.1得證.

引理 2.2設L是一個Lie代數,V是一個L-模,T:V→V是一個k-線性映射.定義

CV,T:={x∈L|T(x·v)=x·T(v),?v∈V},

則C是L的一個Lie子代數,并且T是C-線性的.

證明對任意x,y∈CV,T,v∈V,有

T([x,y]·v)=T(x·(y·v)-y·(x·v))=

x·T(y·v)-y·T(x·v)=

x·(y·T(v))-y·(x·T(v))=[x,y]·T(v).

因此,CV,T是L的一個Lie子代數.顯然,T是CV,T-線性的.

由上面2個引理,不難得到下面一個結論.

定理 2.1設L是一個Lie代數,V是一個L-模,若存在一個k-線性映射T:V→V,則下列條件等價:

1) (V,T)是一個權重為λ的泛性Rota-Baxter配對CV,T-模;

2) 存在一個線性映射P:CV,T→CV,T,使得(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對CV,T-模;

3)T是擬冪等的,即T2=-λT.

下面,給出Rota-Baxter配對Lie模的構造.

命題 2.7設gl(V)是一個一般線性Lie代數,則線性空間V是一個gl(V)-模,這里gl(V)-模V的作用定義為f·v=f(v),f∈gl(V),v∈V.定義2個線性映射P:gl(V)→gl(V),f-λid-f,T:V→V,v-λv,則(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對gl(V)-模.

證明顯然,V是一個gl(V)-模,并對任意f∈gl(V),v∈V,有

P(f)·T(v)=(-λid-f)·(-λv)=

λ2v+λf(v),

T(P(f)·v+f·T(v)+λf·v)=

T((-λid-f)·v+f·(-λv)+λf(v))=

T(-λv-f(v))=λ2v+λf(v),

故

P(f)·T(v)=T(P(f)·v+f·T(v)+λf·v).

命題2.7得證.

命題 2.8設L=b(n,F)是由數域F上的n階上三角矩陣構成的一個集合,則L是一個Lie代數,Lie括積定義為:[x,y]=xy-yx,這里xy表示矩陣x與y的乘積.令V=Fn(數域F上的n維列向量集),則V是一個L-模,它的模作用定義為矩陣乘以列向量.定義2個線性映射Pj:L→L,AEjjA,Tj:V→V,vEjjv,其中Ejj表示矩陣第j行第j列為1,其余為0的矩陣,則對任意j∈n,(V,Pj,Tj)是一個權重為-1的Rota-Baxter配對L-模.

證明對任意A∈L,v∈V,有

Pj(A)·Tj(v)=(EjjA)(Ejjv)=EjjAEjjv,

Tj(Pj(A)·v+A·Tj(v)+(-1)A·v)=

Ejj(EjjAv+AEjjv-Av)=

EjjEjjAv+EjjAEjjv-EjjAv=EjjAEjjv.

命題2.8得證.

證明由于雙代數H中的余單位ε是一個代數映射,所以不難證明:MH是一個左H-模,故MH是一個HL-模.

由于T是一個左H-模映射,所以對任意h∈H,m∈MH,有

h·T(m)=T(h·m)=

T(ε(h)m)=ε(h)T(m),

故T(m)∈MH.又

P(h)·T(m)=ε(P(h))T(m),

T(P(h)·m+h·T(m)+λh·m)=

T(ε(P(h))·m+ε(h)·T(m)+λε(h)·m)=

ε(P(h))T(m)+ε(h)T2(m)+λε(h)T(m),

故當T|MH是擬冪等時,有

P(h)·T(m)=

T(P(h)·m+h·T(m)+λh·m),

即(MH,P,T)是一個權重為λ的泛性Rota-Baxter配對HL-模.

反之,易證.

注 2.1類似于Rota-Baxter配對Lie模,可以定義Rota-Baxter配對Lie余模,并可以得到Rota-Baxter配對Lie余模性質.

3 Rota-Baxter配對Lie交叉模

下面將引入Rota-Baxter配對Lie交叉模概念,并在二維向量空間上構造Lie交叉模及其Rota-Baxter配對算子.

定義 3.1[11]設g是一個線性空間,如果存在2個線性映射[-,-]:g?g→g和Δ:g→g?g,使得(g,[-,-])是一個Lie代數,(g,Δ)是一個Lie余代數,且對任意x,y∈g滿足下面條件

Δ([x,y])=∑[x,yi]?yj+yi?[x,yj]-

[y,xi]?xj-xi?[y,xj],

(7)

則稱(g,[-,-],Δ)是一個Lie雙代數.

定義 3.2[12]設(g,[-,-],Δ)是一個Lie雙代數,V是一個線性空間,如果存在2個線性映射

σ:g?V→V,x?vx·v,

ρ:V→g?V,v∑v(-1)?v(0),

使得(V,σ)是一個g-模,(V,ρ)是一個g-余模,且對任意x∈g,v∈V,滿足下面條件:

ρ(x·v)=

([x,-]?id+id?x·-)ρ(v)+Δ(x)·v, (8)

則稱(V,σ,ρ)是一個g-交叉模.

定義 3.3設(g,[-,-],Δ)是一個Lie雙代數,(V,σ,ρ)是一個g-交叉模,如果(V,P,T)既是一個權重為λ的Rota-Baxter配對g-模,又是一個權重為λ的Rota-Baxter配對g-余模,則稱(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對g-交叉模.

設(V,σ,ρ)是一個g-交叉模,若(V,T)既是一個權重為λ的泛性Rota-Baxter配對g-模,又是一個權重為λ的泛性Rota-Baxter配對g-余模,則稱(V,T)是一個權重為λ的泛性Rota-Baxter配對g-交叉模.

設(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對g-交叉模,如果f既是V上的一個g-模映射又是一個g-余模映射,則稱f是一個g-交叉模映射.

命題 3.1設(g,[-,-],Δ)是一個Lie雙代數,(V,σ,ρ)是一個g-交叉模,如果存在一個g-交叉模映射T:V→V,則下列條件等價:

1) (V,T)是一個權重為λ的泛性Rota-Baxter配對g-交叉模;

2) 存在一個線性映射P:g→g,使得(V,P,T)是一個權重為λ的Rota-Baxter配對g-交叉模;

3)T是擬冪等的,即T2=-λT.

證明1) ?2) 顯然.

2)?3) 由引理2.1可知.

3)?1) 因為T是一個g-交叉模映射,且T2=-λT,所以

(P?id+id?T+λid?id)ρT=

(P?id+id?T+λid?id)(id?T)ρ=

(P?T+id?T2+λid?T)ρ=(P?T)ρ,

即(V,T)是一個權重為λ的泛性Rota-Baxter配對g-余模.再由引理2.1知,(V,T)是一個權重為λ的泛性Rota-Baxter配對g-模,故(V,T)是一個權重為λ的泛性Rota-Baxter配對g-交叉模.

命題 3.2[11]設g是一個以x、y為基的向量空間,定義

[x,x]=0, [x,y]=x, [y,x]=-x,

[y,y]=0,Δ(x)=0,

Δ(y)=y?x-x?y,

則(g,[-,-],Δ)是一個Lie雙代數.

命題 3.3基于命題3.2,有以下結論:

1) 設V是一個以m、n為基的向量空間,定義

x·m=m+n,x·n=-m-n,

y·m=2m,y·n=-m+n,

ρ(m)=-2x?m+y?m+y?n,

ρ(n)=x?m-x?n-y?m-y?n,

則(V,·,ρ)是一個g-交叉模.

2) 如果在上述線性空間g、V上分別存在如下線性映射:

則(V,P,T)是一個權重為-1的Rota-Baxter配對g-交叉模.

證明讀者可以直接證明.