否定非對合剩余格上BF-理想的BF-平移與BF-擴張理想

劉春輝, 白彥輝

(1. 赤峰學院 教育科學學院, 內(nèi)蒙古 赤峰 024001; 2. 赤峰學院 數(shù)學與計算機科學學院, 內(nèi)蒙古 赤峰 024001)

1 引言與預備知識

非經(jīng)典數(shù)理邏輯理論的一個重要研究方向是對與各種邏輯系統(tǒng)相匹配的邏輯代數(shù)的研究.合適的代數(shù)方法為多值邏輯推理提供了一種新的變化形式,并已成為處理不確定信息的重要工具[1].剩余格概念是由Ward等[2]于20世紀30年代首次提出的,它是Heyting代數(shù)的合理推廣.目前,它已被學者們公認為是非經(jīng)典數(shù)理邏輯中一類最廣泛的代數(shù)系統(tǒng),對其結(jié)構(gòu)的研究一直廣受學術(shù)界關(guān)注[3-8].濾子和理想是研究邏輯代數(shù)結(jié)構(gòu)的2個重要工具.考慮到在否定運算不具有對合(正則)性質(zhì)的邏輯代數(shù)中,理想和濾子不存在對偶關(guān)系這一事實,文獻[9-10]先后在否定非對合剩余格中引入理想概念并研究其性質(zhì),從而在否定非對合剩余格中賦予了理想概念真正的意義和價值.

1965年,美國著名控制論專家Zadeh[11]創(chuàng)立了模糊集理論.至今,該理論已經(jīng)在數(shù)學及與數(shù)學密切相關(guān)的模式識別、控制、優(yōu)化和決策等領(lǐng)域得到廣泛應用并獲得舉世公認的成功.隨著社會的進步以及人類思維能力和認知水平的不斷提高,人們?nèi)找嬲J識到模糊集在改變傳統(tǒng)二值觀的同時卻忽視了事物的兩極性.為了彌補這一不足,1994年,Zhang[12]首次將不相容兩極性引入模糊集理論,提出了雙極值模糊集(bipolar fuzzy sets,簡稱BF-集)概念.之后,Zadeh[13]就雙極值模糊集理論對傳統(tǒng)模糊集理論的突破給予了充分肯定.自此,眾多學者加入雙極值模糊集理論及其應用研究的行列,推動了該理論的不斷成熟和完善.近年來,人們將雙極值模糊集的思想方法成功應用于抽象代數(shù)和邏輯代數(shù)問題的研究,進一步拓展了雙極值模糊集的應用領(lǐng)域[14-17].受這些工作的啟發(fā),文獻[18-20]將雙極值模糊集理論與否定非對合剩余格的理想概念相結(jié)合,提出了BF-理想概念并詳細討論了其性質(zhì)特征.以此為基礎,本文進一步深入研究否定非對合剩余格的BF-理想問題,引入BF-理想的BF-平移和BF-擴張理想等概念并考察它們的性質(zhì)和關(guān)系,獲得了一些有趣的結(jié)果.

定義 1.1[2,5,9](i)稱(2,2,2,2,0,0)型代數(shù)(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)是一個剩余格,簡稱L是一個剩余格,如果下列條件(RL1)～(RL3)成立:

定義 1.2[9]設L是否定非對合剩余格,?≠I?L.若0∈I且?x,y∈L,有x∈I且(x′→y′)′∈I?y∈I,則稱I是L的理想.由L的全體理想構(gòu)成的集合記為Id(L).

注 1.1設L是否定非對合剩余格,則{0},L∈Id(L)且?{Iλ}λ∈Λ?IdId(L).

為敘述方便,對任意的a,b∈[0,1](或[-1,0]),分別用a∧b和a∨b表示min{a,b}和max{a,b}.設X≠?,記

J[0,1]={μP|μP:X→[0,1]}

和

J[-1,0]={μN|μN:X→[-1,0]}.

定義 1.3設X是一個非空集合(論域),對任意的μPA∈J[0,1]和μNA∈J[-1,0],稱A={(x,μPA(x),μNA(x))|x∈X}是X上的一個雙極值模糊集(簡稱BF-集),簡記A=(μPA,μNA).其中,μPA稱為A的正隸屬度函數(shù),μPA(x)表示X中元素x關(guān)于雙極值模糊集A對某種性質(zhì)的滿足度;μNA稱為A的負隸屬度函數(shù),μNA(x)表示X中元素x關(guān)于A對這種性質(zhì)的相反性質(zhì)的滿足度.由集合X上的全體雙極值模糊集構(gòu)成的集合記為BFS(X).

設A=(μPA,μNA),B=(μPB,μNB)∈BFS(X),定義BFS(X)上的二元關(guān)系滿足

定義 1.4[18-20]設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFS(L),若?x,y∈L有:

引理 1.1[18]設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFI(L),則?x,y∈L,有

┬=1-

定義 2.1設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFS(L)且(γ,δ)∈[0,┬]×[┴,0].定義AT(γ,δ)=(μPA(γ,T),μNA(δ,T))∈BFS(L)滿足:?x∈L,

μPA(γ,T):L→[0,1],xμPA(x)+γ

且

μNA(δ,T):L→[-1,0],xμNA(x)+δ,

則稱AT(γ,δ)是A的(γ,δ)-BF-平移.

注 2.1設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFI(L).顯然,A的(0,0)-BF-平移AT(0,0)就是A本身.

定理 2.1設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFI(L),則對任意的(γ,δ)∈[0,┬]×[┴,0],A的(γ,δ)-BF-平移

AT(γ,δ)=(μPA(γ,T),μNA(δ,T))∈BFI(L).

證明任取x∈L,因為由A=(μPA,μNA)∈BFI(L)和條件(BFI1)得

μPA(γ,T)(0)=μPA(0)+γ≥

μPA(x)+γ=μPA(γ,T)(x),

μNA(δ,T)(0)=μNA(0)+δ≤

μNA(x)+δ=μNA(δ,T)(x),

所以AT(γ,δ)滿足條件(BFI1).任取x,y∈L,因為由

A=(μPA,μNA)∈BFI(L)

μPA(γ,T)(y)=μPA(y)+γ≥

μPA(x)∧μPA((x′→y′)′)+γ=

[μPA(x)+γ]∧[μPA((x′→y′)′)+γ]=

μPA(γ,T)(x)∧μPA(γ,T)((x′→y′)′),

μNA(δ,T)(y)=μNA(y)+δ≤

μNA(x)∨μNA((x′→y′)′)+δ=

[μNA(x)+δ]∨[μNA((x′→y′)′)+δ]=

μNA(δ,T)(x)∨μNA(δ,T)((x′→y′)′),

所以,AT(γ,δ)亦滿足條件(BFI2).因此由定義1.4可以得到

AT(γ,δ)=(μPA(γ,T),μNA(δ,T))∈BFI(L).

定理 2.2設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFS(L).若存在(γ,δ)∈[0,┬]×[┴,0]使得A的(γ,δ)-BF-平移

AT(γ,δ)=(μPA(γ,T),μNA(δ,T))∈BFI(L),

則

A=(μPA,μNA)∈BFI(L).

證明假設存在(γ,δ)∈[0,┬]×[┴,0]使得A=(μPA,μNA)∈BFS(L)的(γ,δ)-BF-平移

AT(γ,δ)=(μPA(γ,T),μNA(δ,T))∈BFI(L).

μPA(0)+γ=μPA(γ,T)(0)≥

μPA(γ,T)(x)=μPA(x)+γ,

μNA(0)+δ=μNA(δ,T)(0)≤

μNA(δ,T)(x)=μNA(x)+δ,

從而μPA(0)≥μPA(x)且μNA(0)≤μNA(x),故A滿足條件(BFI1).

μPA(y)+γ=μPA(γ,T)(y)≥

μPA(γ,T)(x)∧μPA(γ,T)((x′→y′)′)=

[μPA(x)+γ]∧[μPA((x′→y′)′)+γ]=

μPA(x)∧μPA((x′→y′)′)+γ,

μNA(y)+δ=μNA(δ,T)(y)≤

μNA(δ,T)(x)∨μNA(δ,T)((x′→y′)′)=

[μNA(x)+δ]∨[μNA((x′→y′)′)+δ]=

μNA(x)∨μNA((x′→y′)′)+δ,

從而

μPA(y)≥μPA(x)∧μPA((x′→y′)′)

且

μNA(y)≤μNA(x)∨μNA((x′→y′)′),

A=(μPA,μNA)∈BFI(L).

定義 2.2設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFS(L),(α,β)∈[0,1]×[-1,0]且(γ,δ)∈[0,┬]×[┴,0].定義L的3個子集如下:

1) AP(α,γ)={x∈L|μPA(x)≥α-γ};

2) AN(β,δ)={x∈L|μNA(x)≤β-δ};

3) A[(α,β),(γ,δ)]={x∈L|μPA(x)≥α-γ且μNA(x)≤β-δ}.

定理 2.3設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFI(L),則對任意的α∈Im(μPA),β∈Im(μNA)和(γ,δ)∈[0,┬]×[┴,0],當α>γ且β<δ時都有AP(α,γ)∈Id(L)且AN(β,δ)∈Id(L).

證明設α∈Im(μPA),β∈Im(μNA)且(γ,δ)∈[0,┬]×[┴,0]滿足α>γ且β<δ,則?x,y∈L使得

μPA(x)=α≥α-γ

且

μNA(y)=β≤β-δ,

故AP(α,γ)≠?且AN(β,δ)≠?,因此由文獻[18]中定理3.1便得AP(α,γ)∈Id(L)且AN(β,δ)∈Id(L).

注 2.2定理2.3中條件A=(μPA,μNA)∈BFI(L)不可刪除.否則,將有AP(α,γ)?Id(L)或AN(β,δ)?Id(L).例如,設格L={0,a,b,c,1}且其Hasse圖如圖1所示,在L上定義二元運算→和?如表1所示且規(guī)定x′=x→0,則(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)是一個否定非對合剩余格.定義A=(μPA,μNA)∈BFS(L)滿足:

圖 1 格L的Hasse圖

表 1 L上二元運算 → 和 ? 的定義

Tab. 1 Definition of the binary operations → and ? on L

表 1 L上二元運算 → 和 ? 的定義

→0abc1011111ab1b11baa111c0ab1110abc10abc1000000a0a0aab00bbbc0abcc10abc1

μP

且

μN

因為a≤c但

μPA(a)=0.4<0.5=μPA(c),

┬=1-

且

┴=-1-

所以

[0,┬]×[┴,0]=[0,0.3]×[-0.2,0].

α=0.5∈Im(μPA),β=-0.8∈Im(μNA),

γ=0.05∈[0,┬],δ=-0.15∈[┴,0],

則

α-γ=0.45,β-δ=-0.65,

因為b∈AP(α,γ)且

(a′→b′)′=(b→a)′=a′=b∈AP(α,γ),

但a?AP(α,γ),從而

AP(α,γ)=AP(0.5,0.05)={0,b,c,1}?Id(L),

AN(β,δ)=AN(-0.8,-0.15)={0}∈Id(L).

β=-0.6∈Im(μNA),δ=-0.05∈[┴,0],

β-δ=-0.55,

則亦可驗證

AN(β,δ)=AN(-0.6,-0.05)={0,a,c,1}?Id(L).

推論 2.1設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFI(L),則對任意的α∈Im(μPA),β∈Im(μNA)和(γ,δ)∈[0,┬]×[┴,0],當α>γ且β<δ時都有A[(α,β),(γ,δ)]∈Id(L).

證明由定義2.2、定理2.3和注1.1顯然可得

A[(α,β),(γ,δ)]=AP(α,γ)∩AN(β,δ)∈Id(L).

定理 2.4設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFS(L).對任意的α∈Im(μPA),β∈Im(μNA)和(γ,δ)∈[0,┬]×[┴,0],若α>γ且β<δ,則A的(γ,δ)-BF-平移AT(γ,δ)=(μPA(γ,T),μNA(δ,T))∈BFI(L)當且僅當AP(α,γ)∈Id(L)且AN(β,δ)∈Id(L).

證明? 設對任意的α∈Im(μPA),β∈Im(μNA)和(γ,δ)∈[0,┬]×[┴,0],α>γ且β<δ,A的(γ,δ)-BF-平移

AT(γ,δ)=(μPA(γ,T),μNA(δ,T))∈BFI(L),

則由定理2.2得

A=(μPA,μNA)∈BFI(L),

于是由定理2.3便得AP(α,γ)∈Id(L)且AN(β,δ)∈Id(L).

μPA(γ,T)(0)<μPA(γ,T)(a)

且

μNA(γ,T)(0)>μNA(γ,T)(a),

即

μPA(0)+γ<μPA(a)+γ

且

μNA(0)+δ>μNA(a)+δ,

則存在α0∈Im(μPA)和β0∈Im(μNA)使

μPA(0)+γ<α0<μPA(a)+γ

且

μNA(0)+δ>β0>μNA(a)+δ,

從而

μPA(0)<α0-γ<μPA(a)

且

μNA(0)>β0-δ>μNA(a).

故0?AP(α0,γ)且0?AN(β0,δ),這與AP(α0,γ)∈Id(L)且AN(β0,δ)∈Id(L)矛盾.所以對任意x∈L都有

μPA(γ,T)(0)≥μPA(γ,T)(x)

且

μNA(γ,T)(0)≤μNA(γ,T)(x),

即AT(γ,δ)滿足條件(BFI1).假設存在a,b∈L使得

μPA(γ,T)(b)<μPA(γ,T)(a)∧μPA(γ,T)((a′→b′)′)

且

μNA(γ,T)(b)>μNA(γ,T)(a)∨μNA(γ,T)((a′→b′)′),

即

μPA(b)+γ<[μPA(a)+γ]∧[μPA((a′→b′)′)+γ]=

[μPA(a)∧μPA((a′→b′)′)]+γ,

μNA(b)+δ>[μNA(a)+δ]∨[μNA((a′→b′)′)+δ]=

[μNA(a)∨μNA((a′→b′)′)]+δ,

則存在α1∈Im(μPA)和β1∈Im(μNA)使

μPA(b)+γ<α1<[μPA(a)∧μPA((a′→b′)′)]+γ

且

μNA(b)+δ>β1>[μNA(a)∨μNA((a′→b′)′)]+δ,

從而

μPA(b)<α1-γ<μPA(a)∧μPA((a′→b′)′)

且

μNA(b)>β1-δ>μNA(a)∨μNA((a′→b′)′),

故a,(a′→b′)′∈AP(α1,γ)且a,(a′→b′)′∈AN(β1,δ),但b?AP(α1,γ)且b?AN(β1,δ),這與AP(α1,γ)∈Id(L)且AN(β1,δ)∈Id(L)矛盾.所以對任意x,y∈L都有

μPA(γ,T)(y)≥μPA(γ,T)(x)∧μPA(γ,T)((x′→y′)′)

且

μNA(γ,T)(y)≤μNA(γ,T)(x)∨μNA(γ,T)((x′→y′)′),

即AT(γ,δ)亦滿足條件(BFI2).因此由定義1.4便得

AT(γ,δ)=(μPA(γ,T),μNA(δ,T))∈BFI(L).

定義 2.3設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFI(L).若B=(μPB,μNB)∈BFS(L)滿足AB且B∈BFI(L),則稱B是A的一個BF-擴張理想.

例 2.1設格L={0,a,b,c,d,e,f,1},0

表 2 L上二元運算 → 和 ? 的定義

Tab. 2 Definition of the binary operations → and ? on L

表 2 L上二元運算 → 和 ? 的定義

→0abcdef1011111111ad111d111bdf11df11cdef1def1dcccc1111e0cccc111f0bcccf1110abcdef10abcdef1000000000a0aaa0aaab0aab0aabc0abc0abcd0000dddde0aaadeeef0aabdeef10abcdef1

μP

且

μN

再定義B=(μPB,μNB)∈BFS(L)滿足:

μ

且

μN

定理 2.5設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFI(L),則對任意的(γ,δ)∈[0,┬]×[┴,0],A的(γ,δ)-BF-平移AT(γ,δ)=(μPA(γ,T),μNA(δ,T))都是A的BF-擴張理想.

證明任取(γ,δ)∈[0,┬]×[┴,0],因為由定義2.1得?x∈L,

μPA(x)≤μPA(x)+γ=μPA(γ,T)(x)

且

μNA(x)≥μNA(x)+δ=μNA(δ,T)(x),

注 2.3定理2.5的逆命題不真,即否定非對合剩余格L的BF-理想A=(μPA,μNA)的一個BF-擴張理想不必是A的任何(γ,δ)-BF-平移.例如,在例2.1中,顯然,A=(μPA,μNA)∈BFI(L)的BF-擴張理想B=(μPB,μNB)∈BFI(L)不是A的任何(γ,δ)-BF-平移,其中

(γ,δ)∈[0,┬]×[┴,0],

定理 2.6設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFI(L),(γ,δ),(ε,ω)∈[0,┬]×[┴,0].若γ≥ε且δ≤ω,則A的(γ,δ)-BF-平移AT(γ,δ)=(μPA(γ,T),μNA(δ,T))是A的BF-(ε,ω)-平移AT(ε,ω)=(μPA(ε,T),μNA(ω,T))的BF-擴張理想.

證明因為A=(μPA,μNA)∈BFI(L),所以由定理2.1得

AT(γ,δ)=(μPA(γ,T),μNA(δ,T))∈BFI(L)

且

AT(ε,ω)=(μPA(ε,T),μNA(ω,T))∈BFI(L).

又因為γ≥ε且δ≤ω,所以對任意的x∈L,

μPA(γ,T)(x)=μPA(x)+γ≥

μPA(x)+ε=μPA(ε,T)(x),

μNA(δ,T)(x)=μNA(x)+δ≤

μNA(x)+ω=μNA(ω,T)(x),

故AT(ε,ω)AT(γ,δ),因此由定義2.3便得AT(γ,δ)是AT(ε,ω)的BF-擴張理想.

定理 2.7設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFI(L),(γ,δ)∈[0,┬]×[┴,0],則對A的(γ,δ)-BF-平移AT(γ,δ)=(μPA(γ,T),μNA(δ,T))的任意BF-擴張理想B=(μPB,μNB)而言,總存在(ε,ω)∈[0,┬]×[┴,0]滿足γ≥ε且δ≤ω使得B也是A的(ε,ω)-BF-平移AT(ε,ω)=(μPA(ε,T),μNA(ω,T))的BF-擴張理想.

證明設B=(μPB,μNB)是A的(γ,δ)-BF-平移AT(γ,δ)=(μPA(γ,T),μNA(δ,T))的BF-擴張理想.假設對任意(ε,ω)∈[0,┬]×[┴,0],當γ≥ε且δ≤ω時,B不是A的BF-(ε,ω)-平移AT(ε,ω)=(μPA(ε,T),μNA(ω,T))的BF-擴張理想,則存在a∈L,

μPB(a)<μPA(ε,T)(a)=μPA(a)+ε

且

μNB(a)>μNA(ω,T)(a)=μNA(a)+ω.

又因為γ≥ε且δ≤ω,所以

μPB(a)<μPA(a)+ε≤μPA(a)+γ=μPA(γ,T)(a)

且

μNB(a)>μNA(a)+ω≥μNA(a)+δ=μNA(δ,T)(a),

這與B=(μPB,μNB)是A的(γ,δ)-BF-平移AT(γ,δ)的BF-擴張理想矛盾.因此B也是A的(ε,ω)-BF-平移AT(ε,ω)=(μPA(ε,T),μNA(ω,T))的BF-擴張理想.

最后,本文給出A=(μPA,μNA)∈BFI(L)的BF-擴張理想的一種構(gòu)造方法.

定義 2.4設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFS(L)且x0∈L.如果對任意的x∈L恒有μPA(x0)≥μPA(x)且μNA(x0)≤μNA(x),則稱x0是A的一個極大元.

定理 2.8設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFI(L)且x0∈L是A的一個極大元.定義BFS(L)滿足:x∈L,

μPEAx0(x)=μPA(x)+1-μPA(x0)

且

μNEAx0(x)=μNA(x)-1-μNA(x0),

證明首先,BFS(L)的定義是合理的.事實上,任取x∈L,因為x0∈L是A的極大元,所以由定義2.4得

μPA(x0)≥μPA(x)

且

μNA(x0)≤μNA(x),

從而

μPEAx0(x)=μPA(x)+1-μPA(x0)

且

μNEAx0(x)=μNA(x)-1-μNA(x0),

故μ且μ

μPEAx0(0)=μPA(0)+1-μPA(x0)≥

μPA(x)+1-μPA(x0)=μPEAx0(x),

μNEAx0(0)=μNA(0)-1-μNA(x0)≤

μNA(x)-1-μNA(x0)=μNEAx0(x).

μPEAx0(y)=μPA(y)+1-μPA(x0)≥

[μPA(x)∧μPA((x′→y′)′)]+1-μPA(x0)=

[μPA(x)+1-μPA(x0)]∧[μPA((x′→y′)′)+

1-μPA(x0)]=μPEAx0(x)∧μPEAx0((x′→y′)′),

μNEAx0(y)=μNA(y)-1-μNA(x0)≤

[μNA(x)∨μNA((x′→y′)′)]-1-μNA(x0)=

[μNA(x)-1-μNA(x0)]∨[μNA((x′→y′)′)-

1-μNA(x0)]=μN

定義 3.1設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFS(L)且ζ,ξ∈[0,1].定義BFS(L)滿足:?x∈L,μPMA(ζ):L→[0,1],xμPA(x)ζ且μNMA(ξ):L→[-1,0],xμNA(x)ξ,則稱是A的(ζ,ξ)-BF-乘積.

注 3.1設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFI(L).顯然,A的(1,1)-BF-乘積就是A本身.

定理 3.1設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFI(L),則對任意的ζ,ξ∈[0,1],A的(ζ,ξ)-BF-乘積BFI(L).

證明任取x∈L,因為由A=(μPA,μNA)∈BFI(L)和條件(BFI1)得

μPMA(ζ)(0)=μPA(0)ζ≥μPA(x)ζ=μPMA(ζ)(x)

且

μNMA(ξ)(0)=μNA(0)ξ≤μNA(x)ξ=μNMA(ξ)(x),

μPMA(ζ)(y)=μPA(y)ζ≥[μPA(x)∧μPA((x′→y′)′)]ζ=

[μPA(x)ζ]∧[μPA((x′→y′)′)ζ]=

μPMA(ζ)(x)∧μPMA(ζ)((x′→y′)′),

μNMA(ξ)(y)=μNA(y)ξ≤[μNA(x)∨μNA((x′→y′)′)]ξ=

[μNA(x)ξ]∨[μNA((x′→y′)′)ξ]=

μNMA(ξ)(x)∨μNMA(ξ)((x′→y′)′),

定理 3.2設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFS(L).若存在ζ,ξ∈[0,1]使得A的(ζ,ξ)-BF-乘積BFI(L),則A=(μPA,μNA)∈BFI(L).

證明設ζ,ξ∈[0,1]使A=(μPA,μNA)∈BFS(L)的(ζ,ξ)-BF-乘積BFI(L).一方面,設x∈L,則由條件(BFI1)得

μPA(0)ζ=μPMA(ζ)(0)≥μPMA(ζ)(x)=μPA(x)ζ

且

μNA(0)ξ=μNMA(ξ)(0)≤μNMA(ξ)(x)=μNA(x)ξ,

從而由ζ,ξ∈[0,1]便得μPA(0)≥μPA(x)且μNA(0)≤μNA(x),故A滿足條件(BFI1).另一方面,設x,y∈L,則由條件(BFI2)得

μPA(y)ζ=μPMA(ζ)(y)≥μPMA(ζ)(x)∧μPMA(ζ)((x′→y′)′)=

[μPA(x)ζ]∧[μPA((x′→y′)′)ζ]=

[μPA(x)∧μPA((x′→y′)′)]ζ,

μNA(y)ξ=μNMA(ξ)(y)≤μNMA(ξ)(x)∨μNMA(ξ)((x′→y′)′)=

[μNA(x)ξ]∨[μNA((x′→y′)′)ξ]=

[μNA(x)∨μNA((x′→y′)′)]ξ,

從而ζ,ξ∈[0,1]又得μPA(y)≥μPA(x)∧μPA((x′→y′)′)且μNA(y)≤μNA(x)∨μNA((x′→y′)′),故A亦滿足條件(BFI2).因此由定義1.4便得A=(μPA,μNA)∈BFI(L).

定理 3.3設L是否定非對合剩余格,A=(μPA,μNA)∈BFI(L),則對任意的(γ,δ)∈[0,┬]×[┴,0]和ζ,ξ∈[0,1],A的(γ,δ)-BF-平移AT(γ,δ)=(μPA(γ,T),μNA(δ,T))都是A的(ζ,ξ)-BF-乘積的BF-擴張理想.

證明因為A=(μPA,μNA)∈BFI(L),所以由定理2.1和定理3.1得AT(γ,δ)=(μPA(γ,T),μNA(δ,T))∈BFI(L)且BFI(L).又因為?x∈L,由ζ,ξ∈[0,1]得

μPA(γ,T)(x)=μPA(x)+γ≥μPA(x)≥

μPA(x)ζ=μPMA(ζ)(x),

μAA(δ,T)(x)=μNA(x)+δ≤μNA(x)≥

μNA(x)ξ=μNMA(ξ)(x),

4 結(jié)論與展望

致謝赤峰學院一流扶持學科(數(shù)學及計算機科學與技術(shù))建設專項基金對本文給予資助,謹致謝意.