機車車輛橡膠元件動態建模及其應用

劉林,張濤,,陳清華,凌亮,王開云

(1. 西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室,四川 成都 610031;2. 國家高速列車技術創新中心,山東 青島 266300)

0 引言

隨著鐵道車輛運營里程的增加,新車及新修線路暴露出的運營維護問題愈發顯著。作為一種常見的外部激勵,輪軌表面磨耗造成的短波不平順將極大地加劇輪軌間的相互作用與振動[1-3]。在這種惡劣的運行環境下,若轉向架上的懸掛元件不能很好地將輪軌間的高頻振動與構架和車體隔離,將導致車輛發生高頻顫振,最終加劇車輛各結構部件的疲勞破壞并嚴重威脅其使用壽命[4]。因此,為深入研究懸掛元件在高頻激勵下的動態特性,亟需建立更符合實際的力學模型。

作為鐵道車輛上常見的懸掛連接部件,國內外眾多學者對橡膠元件的動態力學特性及建模方法進行了大量研究。早期,Kelvin-Voigt模型常被用于表征橡膠的頻率依賴性,但其在高頻域會高估橡膠元件的剛度和阻尼[5-6]。BERG[7-8]基于彈塑性疊加原理將橡膠襯套非線性特征中的應力-位移關系進行分解,分別使用彈簧-阻尼單元表征橡膠的黏彈性特征,摩擦單元表征橡膠彈塑性特征,彈簧單元表征彈性特性。SJ?BERG等[9]使用分數導數模型替換Berg模型中的Maxwell模型,該模型能更好地預測橡膠材料動態特性的振幅相關性與頻率相關性。吳杰等[10]采用黏彈性分數導數模型建立了單自由度橡膠隔振器模型,分析了其動態特性。SHI等[11]通過最小二乘法擬合實驗數據,獲取了鐵道車輛上橡膠元件的物理參數。WEI等[12]通過實驗測得了不同溫度下軌下墊層的物理參數,研究了其動態特性對于車輛-軌道系統垂向振動的影響。

本文基于彈塑性理論建立了機車車輛橡膠元件動態仿真模型,分析了諧波激擾的振幅和頻率對橡膠力學特性的影響并將該模型與車輛-軌道耦合動力學模型結合,仿真計算了車輛惰行通過曲線時一系橡膠節點力的動態特性。

1 橡膠元件動態建模與求解

1.1 橡膠元件動態建模方法

基于彈塑性理論,本文建立的橡膠元件動態仿真力學模型如圖1所示。該模型將橡膠元件總力Fr分解為彈性力Fe、摩擦力Ff和黏滯力Fv3個力疊加:

圖1 橡膠元件動態仿真力學模型

Fr=Fe+Ff+Fv

(1)

首先引入線性彈簧來表征橡膠元件的靜態特性:

Fe=kx

(2)

式中:x=x1-x2為橡膠變形量;k為橡膠材料提供的靜態剛度。

其次引入摩擦力來體現激擾幅值對橡膠動態特性的影響:

(3)

式中:u=Ffs/Ffmax;Ffmax為橡膠材料內部提供的最大摩擦力;x2為其達到最大摩擦力一半Ffmax/2時所需的位移;(xs,Ffs)為橡膠元件遲滯回線中每條一分叉線的起始點,初始時(xs,Ffs)= (0,0),之后隨振動過程不斷更新。

最后引入分數階微分黏彈性力來體現激擾頻率對橡膠元件動態特性的影響:

(4)

式中:b為橡膠材料的阻尼系數;α定義為分數階微分的階數,且0 <α<1。

根據Grünwald定義[13],式(4)中的分數階微分可由式(5)和式(6)進行計算:

(5)

(6)

式中:Δt為積分步長;N為截斷階數,Г(·)為伽馬函數。

為充分體現模型的可靠性與真實性,本文采用文獻[11] 測得的橡膠元件物理參數進行動態仿真(圖1),具體如下:剛度ke為3.998 MN/m,最大摩擦力Ffmax為464 kN,摩擦力位移x2為133 mm,阻尼b為0.516(kN·s)/mm,分數導數的階數α取0.251。此外,為兼顧計算精度與速度,分數階微分截斷階數N取200。

1.2 動態響應求解方法

在橡膠元件模型一端引入一質量塊后,整個系統即成為一個單自由度的動力學系統。本文采用文獻[13] 提出的新型顯式積分方法求解其動態響應。該方法的積分格式如式(7)所示。

(7)

2 橡膠元件動態特性分析

2.1 摩擦力特性

摩擦力的引入可以反映橡膠元件對于外界激勵幅值變化的敏感性。由式(3)可知,摩擦力Ff的值取決于x、x2和Ffmax3個量,而x2和Ffmax這兩個值為橡膠自身的物理參數,故摩擦力的大小僅與橡膠總的變形量x有關。

為研究1.1節中摩擦力的力學特性,在摩擦力單元一端施加正弦位移激擾x=x0sinωt,繪制不同激擾倍數(分別為x0=2x2和x0=5x2)下的摩擦力-位移特性曲線,如圖2所示。可以看出,從平衡位置(xs1,Ffs1)=(0,0)位置出發后,摩擦力及位移會沿正向迅速達到最大值,該處即為分叉點(xs2,Ffs2)。接著向反方向移動,達到負向最大值,此處即為分叉點(xs3,Ffs3)。最后又向正向移動,達到位移為0的位置,此處即為分叉點(xs4,Ffs4)。從第2圈開始,整個循環過程呈穩定且封閉的環狀。

圖2 摩擦力-位移曲線

此外,定義等效剛度為力-位移曲線的斜率,即式(8)所示。

(8)

從圖2中還能發現, 2倍激擾大于5倍激擾下的等效剛度,這說明橡膠元件中的摩擦力元可以體現橡膠的剛度對于外界激擾幅值的依賴性。

對于諧波激勵,準靜態力幅值Ff0和每一圈的能量損失Ef可以由以下公式計算[8]:

(9)

(10)

(11)

(12)

式中u0=Ff0/Ffmax。

通過改變幅值x0,可得到不同激擾幅值下的剛度、阻尼特性曲線,如圖3所示。可以看出,其剛度隨激擾幅值的增大而減小,當x0趨向于0時,剛度值趨向于Ffmax/x2;當x0趨向于無窮時,剛度值趨向于0。此外,圖3中的阻尼為一無量綱的量,其值隨激擾幅值的增大而增大,當x0趨向于0時,阻尼值趨向于0。

圖3 不同激擾幅值下的剛度和阻尼特性曲線

2.2 黏滯力特性

與2.1節類似,為研究黏滯力的動態變化特性,在黏滯力單元一端施加正弦位移激擾x=x0sin(2πft),則不同激擾頻率f下的黏滯力-位移曲線如圖4所示。

圖4 黏滯力-位移曲線

由圖4可以發現,黏滯力的動態特性曲線與摩擦力相似,同樣在一圈之后會進入穩定狀態。此外,當激振頻率為500 Hz時,其黏滯力-位移曲線的斜率比10 Hz時更大,說明500 Hz時的動態剛度值更大。其等效剛度同樣可由式(8)進行計算,而阻尼的定義如式(12)所示。

(13)

式中E代表每圈循環的能量損失,其值可由黏滯力沿封閉曲線積分進行計算。

由式(8)和式(13)計算出黏滯力等效剛度和阻尼值隨外界激勵頻率變化曲線,如圖5所示。可以看出,在0～1 000 Hz范圍內,剛度和阻尼值均隨頻率的增大而增大。這也說明,分數階微分黏滯力的引入可充分體現橡膠元件對于外界激勵頻率變化的敏感性。

圖5 不同激振頻率下的剛度和阻尼特性曲線

3 橡膠元件動態模型在車輛-軌道耦合動力學中的應用

3.1 機車-軌道耦合動力學模型

本文采用的機車-軌道耦合動力學模型如圖6所示。其中機車模型由1個車體、2個牽引拉桿、2個構架、4個電機和4個輪對構成,各懸掛部件除一系定位橡膠節點(虛線所圈)外均采用普通的彈簧阻尼單元進行模擬。車體、構架和輪對均考慮縱向、橫向、垂向、側滾、點頭和搖頭6個自由度,牽引拉桿考慮除側滾自由度外的5個自由度,電機僅考慮其垂向和點頭運動。

圖6 機車-軌道耦合動力學模型

軌道模型考慮了國內鐵路常用的有砟軌道,由鋼軌、軌枕、扣件、道床和路基組成。其中,鋼軌模擬為連續彈性離散點支承基礎上的鐵木辛柯梁并考慮其垂向、橫向和扭轉振動。

輪軌接觸幾何關系采用空間動態耦合模型;輪軌法向力的求解采用Hertz非線性彈性接觸理論;輪軌蠕滑力的計算采用Kalker線性理論并結合沈氏理論進行非線性修正[14]。

3.2 曲線通過算例分析

為驗證第1節中所建橡膠元件模型在機車-軌道耦合動力學中的實際力學特性,現采用以下曲線通過算例進行仿真分析:車輛運行速度為70 km/h(惰行工況),緩和曲線長度80 m,圓曲線長度為240 m,曲線半徑600 m。

圖7所示為一系橡膠定位節點處的橫向力隨時間變化的曲線。可以看出,彈性力、摩擦力和黏滯力的動態變化都經歷了穩態—下降—穩態—上升—穩態的過程,這是由于機車運行線路呈直線—緩和曲線—圓曲線—緩和曲線—直線的分布方式。此外,彈性力、摩擦力和黏滯力的大小依次減小,這是由機車車輛上實際橡膠元件的物理特性決定,即提供較大的剛度和相對小的阻尼。

圖7 橡膠節點處的橫向力響應

圖8為橡膠定位節點處的橫向力-位移變化曲線。可以發現,對于曲線通過工況,節點總力的動態歷程不同于傳統的線性彈簧-阻尼單元模型,其中摩擦力表現出一定的非線性特性但并不明顯;而黏滯力則呈現明顯的遲滯特性。節點總的橫向力在彈性力、摩擦力、黏滯力的疊加作用下也呈現一定的非線性特性。

圖8 節點橫向力-位移曲線

圖9(a)—圖9(c)為車輛過曲線時,不同階段節點總的橫向力-位移曲線。其中,圖9(a)中8 ～ 10 s對應車輛通過緩和曲線,此時節點橫向力近似呈線性增長。圖9(b)對應于18 ～ 20 s時車輛惰行通過圓曲線,由于車輛運行速度緩慢減小,故此時節點橫向力也緩緩減小,且整個動態歷程呈螺旋狀下降。圖9(c)所示為28 ～ 30 s車輛出曲線后的穩態過程。由于此時未受到外界激擾,整個系統逐漸趨于平衡,故該過程中力-位移曲線呈環狀向平衡位置(0, 0)處收斂。上述曲線通過算例結果體現了機車車輛橡膠元件的非線性力學特性,也說明本文建立的橡膠元件能夠較好地應用于車輛-軌道耦合動力學實時仿真計算。

圖9 不同階段節點的橫向力-位移曲線

4 結語

本文基于黏塑性理論和橡膠元件的實際物理特性,建立了一種橡膠元件的動態仿真模型,分析了其動態特性并將其應用于車輛-軌道耦合動力學,主要得出以下結論。

1)橡膠元件提供的力可分解為彈性力、摩擦力和黏滯力,其中摩擦力和黏滯力可分別體現橡膠元件對外界激擾振幅和頻率的依賴性。

2)橡膠內部摩擦力提供的等效剛度隨激擾幅值的增大而減小,阻尼隨激擾幅值的增大而增大;黏滯力提供的等效剛度和阻尼均隨激擾頻率的增大而增大。

3)本文建立的橡膠元件動態仿真模型可較好地應用于車輛-軌道耦合動力學實時仿真計算,且曲線通過算例中穩態—下降—穩態—上升—穩態的過程可反映橡膠元件的非線性動態特性。