基于LMI和擾動觀測器的電動伺服系統RBF神經網絡控制

李曉飛,范元勛,許鹿輝

(南京理工大學 機械工程學院,江蘇 南京 210094)

0 引言

電動伺服系統又稱電動直線負載模擬系統(ELLS),是對某型號航天用直線舵機進行硬件在環仿真的一種試驗裝置,可實現在一定精度范圍內對直線舵機的動態加載。但由于系統本身存在的不確定性和舵機位置輸入所產生的多余力干擾,使得ELLS在實際加載的過程中很難實現對輸入信號的實時動態跟蹤[1]。因此,實現對系統的精準控制,提高加載過程中的準確度,是ELLS的重點研究內容。

目前,眾多學者通過不同的控制理論對類似系統進行準確的跟蹤控制,主要有滑模控制、自抗擾控制、模型自適應控制及模糊和神經網絡自適應等控制方式。針對控制系統中存在的非線性問題,LIU等[2]提出了一種基于神經網絡近似的反演滑模控制方法并利用神經網絡逼近器來在線估計航天器的動力學不確定性,有效地減少了滑模控制的抖振。聶守成等[3]利用干擾觀測器估計模型的不確定性并將其引入滑模切換函數中,結合自適應算法完成對系統的位置跟蹤。對于未知的負載轉矩擾動,董中華等[4]針對采摘機械臂的不確定性設計一種PSO-RBF神經網絡自適應控制器,有效地實現軌跡的跟蹤。

在具有反饋環節的控制系統設計過程中,需經常考慮系統中存在的不確定性等約束條件,在處理這些問題時,其中一種思路就是將其轉換為一個帶有LMI約束的最優化問題[5]。孫宜標等[6]將通過擴張觀測器與LMI滑模控制結合,應用到直線伺服系統中,提高了系統的魯棒性。

為了提高系統的跟蹤精度,本文在建立系統狀態空間表達式和跟蹤目標模型的基礎上,基于LMI理論設計擾動觀測器并將其應用到RBF神經網絡控制器中,結合仿真驗證該方法的有效性。

1 系統組成及其數學模型

1.1 結構組成

根據系統的功能劃分,ELLS可分為加載系統、舵系統和測控系統3個組成部分,結構組成如圖1所示。加載系統由PMSM、滾珠絲杠副及其之間的連接單元組成;舵系統由被測直線舵機組成;測控系統由上位機、工控機和數據采集單元組成。舵機被加載系統通過拉壓力傳感器與加載系統機械連接,以此完成對舵機的動態加載。由上位機編寫PMSM和舵機運動控制程序,經TCP/IP傳送至工控機,隨后分別通過EtherCAT協議和RS422通信將控制指令傳送至PMSM和舵機,與此同時,工控機對上位機傳送過來的數據與采集卡接收的各傳感器數據進行實時比較,形成閉環控制。

圖1 ELLS結構組成示意圖

1.2 數學模型

ELLS的數學模型主要從PMSM和中間傳功環節的分析得到。采用d-q坐標轉換對PMSM進行建模。對其進行簡化,令d軸id=0,得到定子電壓和電磁轉矩方程,這里直接給出動態方程[7],如式(1)所示。

(1)

式中:Lm、uq和iq分別為q軸的等效電感、定子電壓和電流;Rm為定子電阻值;ωe為轉子電角速度;Ke為反電動系數,且Ke=Lmid+ψf,其中ψf為轉子永磁體磁鏈,id為d軸的等效定子電流;Kt為轉矩系數,且Kt=pnψf,其中pn為極對數;TL、Jm分別為折合到轉軸上的負載轉矩、等效轉動慣量;Bm為阻尼系數;ωr為機械角速度。

視轉矩轉速傳感器為彈性元器件,結合滾珠絲杠的運動轉換關系,得到兩者的數學模型如式(2)所示。

(2)

式中:KA、θr、θl分別為轉矩轉速傳感器的剛度系數和輸入、輸出角位移;η和P分別為滾珠絲杠副的傳動效率和導程。

綜合式(1)和式(2),經拉普拉斯變換,得到圖2所示的ELLS的模型。

圖2 ELLS函數方塊圖

(3)

(4)

2 控制器和擾動觀測器的設計及分析

2.1 目標模型確定

(5)

(6)

2.2 基于擾動觀測器的RBF神經網絡LMI自適應跟蹤控制

在實際應用中,d不僅僅包括舵機對系統的擾動,還包括一些摩擦等非線性因素的影響,這些非線性因素的干擾導致d無法準確獲得,而LMI作為一種數學工具,已經被廣泛地應用到現代控制理論中,主要原因就是控制系統中很多問題都可以轉換為LMI系統的可行性問題,即LMI約束下的凸優化問題[8]。

定義擾動觀測器為

(7)

(8)

同樣,表達式α(x)往往包括非線性等因素的影響,獲取數學模型比較困難,而RBF神經網絡可以對任意未知的非線性函數進行逼近[9],因此這里使用RBF神經網絡對α(x)進行估計,取RBF神經網絡算法為

(9)

(10)

因此

(11)

定義控制器設計為

(12)

設計李雅普諾夫函數如下

(13)

式中:P>0;P=PT;γ>0。

通過設計P,可以調節e的收斂,并且便于LMI的求解。對式(13)求導,結合式(6)、式(8)、式(11)和式(12),得

(14)

(15)

設計RBF神經網絡的自適應律為

(16)

(17)

為使不等式收斂,令Φ+αP0<0,α>0,即Φ<-αP0,其中P0=diag{P,I},則存在

(18)

將式(18)左右同乘以diag{P-1,I},令Q1=P-1,N=KQ1,可得第一個LMI為

(19)

式中AQ1+BN+*=AQ1+BN+(AQ1+BN)T。

根據Q1=P-1,P>0,可得第二個LMI為

Q1>0

(20)

根據以上分析,收斂性分析如下:

(21)

顯然閉環收斂結果為,當t→∞時

(22)

增大P的特征值、δ或σ、α的值,可以提高收斂效果。

3 仿真驗證

針對以上分析,在MATLAB/Simulink模塊搭建式(7)所示的擾動觀測器及式(12)所示的RBF神經網絡控制器模型,仿真原理如圖3所示。

圖3 控制仿真示意圖

系統中各環節的參數如表1所示。取α=40,δ=10,σ=0.001,經MATLAB的YALMIP工具箱求解LMI的兩個不等式(19)、式(20),得擾動觀測器的參數Kd、控制器參數K及自適應律參數P,結果如式(23)所示。

表1 系統各環節參數

(23)

同時,為了充分比較控制器在不同工況下的控制效果,在運動頻率相同的前提下,取PMSM做xr=1 000sin(6πt)、xr=1 000sin(10πt)的正弦加載,分別簡寫為1 000N-3Hz和1 000N-5Hz,直線舵機做L=2sin(6πt)和L=2sin(10πt)的正弦運動,分別簡寫為2mm-3Hz和2mm-5Hz,給出加入兩種觀測器后的跟蹤誤差曲線,如圖4所示(本刊黑白印刷,相關疑問咨詢作者)。為表示系統的擾動估計效果,圖5給出在2mm-5Hz工況下擾動觀測器的估計及其誤差曲線,圖6給出在1 000N-5Hz工況下RBF神經網絡對系統非線性項α(x)的估計及其誤差曲線。

E1—PID,1 000N-3Hz;E2—PID,1 000N-5Hz;E3—LMI,1 000N-3Hz;E4—LMI,1 000N-5Hz

D1—d設定;D2—d估計;DER—d估計誤差

A—α(x)設定;AP—α(x)估計;AE—α(x)估計誤差

由圖4可知,相對于PID控制,無論是在低頻3Hz還是在高頻5Hz的工況下,所使用的控制策略在系統穩定運行后都能實現對加載力的準確跟蹤,且誤差接近0,滿足指標,即控制系統擁有很好的魯棒性,而傳統PID控制在實現高精度跟蹤時,需要額外的前饋補償環節,且需要根據不同工況實時調節PID中的3個參數。

由圖5可知,在設定的高頻工況穩定運行后,擾動觀測器的估計值接近舵機運動所造成的位置擾動,而其估計的幅值與設置值的誤差在0.1%以內,滿足指標,同時將其值引入到控制器中,提高控制器的控制效果。

由圖6可知,RBF神經網絡對α(x)的幅值估計誤差小于1%,相位誤差小于1°,均滿足“雙十指標”,而且幅值誤差主要由相位偏移所造成,RBF對非線性項的幅值具有很好的估計性能。

由以上分析可得,擾動觀測器和RBF神經網絡控制器在較高頻率下都能得到很好的控制和估計效果,且跟蹤誤差在所設定的性能指標內,所提出的控制策略滿足高頻工況下動態加載準確跟蹤。

4 結語

1)對于ELLS動態加載過程中存在的舵機位置干擾和摩擦引起的多余力等問題,基于LMI理論設計系統的擾動觀測器和控制器,并通過構造李雅普諾夫函數證明了所提出的控制策略的有效性。

2)通過搭建仿真模型,證明了所提出的擾動觀測器和RBF神經網絡控制器分別對系統的擾動量和非線性因素的準確估計,且兩者的誤差均滿足“雙十指標”,而且通過加入擾動項,證明了所提出的控制器擁有很強的魯棒性。