分數階CEV模型下未定權益的緊致差分法

胡 青,喻喜溈,孫玉東

(1.貴州民族大學 數據科學與信息工程學院,貴陽 550025; 2.貴州民族大學 政治與經濟管理學院,貴陽 550025)

金融界中存在多種風險,投資者的任何一筆投資在未來都可能是一個未定權利.面對風險,常利用期權替換掉不利的風險,保留有利的風險.期權價格依賴于標的資產價格,是交易雙方之間的一種合約,它賦予買方某種形式的權利,使得他可以在未來某一時間以某一固定的價格購買或出售某標的資產.未定權益定價主要以BS模型為基礎.近年來,分數階微分方程在科學等許多不同領域獲得了重要意義. 一般來說,分數階微分方程的解析解難以求解,甚至是沒有解析解.因此利用數值技術來求解這些問題是必要的. BS方程是典型求解歐式期權定價的偏微分方程, 分數階BS模型下期權定價帶來更大的便利,為此許多學者提出多種求解分數階BS模型下期權定價的技術[1-4]. 田朝微,李錦成[5]等人采用緊致有限差分格式研究了BS模型下歐式看跌期權的定價問題.龍敏,孫玉東[6]采用加權差分格式研究了時間分數階CEV模型下的算術亞式期權. 張琪,左平[7]等人運用有限差分法研究了美式多資產定價問題. BS模型過于嚴格的假設使其在理論和應用上存在缺陷, CEV模型很好地解決BS模型中存在的不足,大量學者已經對該模型下的期權定價進行了研究[8-11].

本文在文獻[4]的思想上,運用緊致差分來求解分數階CEV模型下未定權益的數值解.首先在時間上采用Caputo分數階導數進行離散,空間上采用4階緊致差分格式,通過傅里葉分析法和數學歸納法驗證該方法的穩定性和收斂性,得到該方法是無條件穩定的,且是O(t2-α+Δx4)收斂.所考慮以下的分數階CEV模型[1]

(S,τ)∈R+×(0,T), 0<α<1,

(1)

邊界條件和初始條件分別為

C(S,T)=φ(S),

(2)

下面將通過變量的轉換和空間截斷,很好地求出分數階CEV模型(1)-(2)的解.將采用變量變換和空間截斷的方法對式(1)、(2)進行調整.

1 時間分數階CEV模型下歐式未定權益的數學模型

為了能推導出緊致差分格式,本節通過變量變換對模型進行簡單處理.設式(1)、(2)中變量S=ex,τ=T-t,有z(x,t)=C(ex,T-t),得到以下分數階CEV模型

z(-∞,t)=φ(t),z(∞,t)=Ψ(t);

z(x,0)=f(x)

(3)

(4)

為了方便數值求解分數階CEV模型(3),將無限空間截斷為有限空間,滿足方程

h(x,t),(x,t)∈(xA,xB)×(0,T),

z(xA,t)=φ(t),z(xB,t)=Ψ(t);z(x,0)=f(x),

(5)

其中:δ=σ2exp(2αx-2x)/2,β=r-δ,且r>0

根據變量變換,得到分數階CEV模型(5).其次,分別對該模型在時間上和空間上進行離散.首先,在時間上采用Caputo分數階導數對式(5)在[0,T]內進行離散. 令0=t0

(6)

引理1[13]式 (6)中bl滿足以下關系

1)b0=1; 2)bl>0, 0≤l≤N; 3)bl-1>bl, 1≤l≤N.

上述采用了Caputo導數對時間離散,將構造4階緊致差分格式對空間離散.

2 歐式未定權益的緊致差分格式

為求解方程(5),本文通過構造一種緊致差分格式來近似該模型,并結合邊界條件和初始條件求解模型.本節借鑒文獻[4]中的思想,構造緊致差分格式來對空間進行離散.緊致差分格式具有高精度和穩定性,且具有小的離散子域、處理邊界單元時無特殊困難.因此,在空間上采用該方法對式(5)在[xA,xB]進行離散.

首先,令M={xA=x0

i=1,2,…,I-1,

(7)

i=1,2,…,I-1,

(8)

定理1 考慮下列微分方程

(9)

得到微分方程的4階緊致差分格式

i=1,2,…,I-1,

其中:

證明:結合式(7)、(8) ,則微分方程在x=xi處的差分形式有

(10)

其中:

分別對 式(9)求導,進一步逼近γ1中的z(3)(xi)和z(4)(xi),并代入到γ1中.在x=xi處,有

將式(7)、(8)代入到上式中,有

(11)

i=1,2,…,I-1,

證畢.

(12)

h(x,t)-y(x,t).

(13)

根據定理1, 其中a=-δ,b=-β,c=-r,則式 (13)在點(xi,tj)表示為

(14)

誤差項為R(xi,tj)=O(t2-α+Δx4).離散邊界條件和初始條件,得到如下形式

(15)

(16)

(17)

(18)

Q*Hj+Wj, 1≤j≤N,

(19)

其中:

分別對問題(5)在時間和空間上離散,得到方案(16) .將對該方案進行理論分析.

3 穩定性和收斂性分析

通過上述的推導過程,得到問題(5)的一種緊致差分格式,即得到方案(16),現對該方法進行穩定性和收斂性分析.

3.1 穩定性分析

(20)

j=0,1,…,N

(21)

(22)

(23)

因此,式(22)可以簡化為以下形式

上式兩邊同時取絕對后,因為Δx>0,Δt>0和0<α<1,所以Γ(2-α)>0和d>0因此,有p1>0,p2>0,p3>0,p4>0,滿足下列不等式

(24)

進而推出

(25)

定理2 針對問題(5)所得到(16) 的數值格式是無條件穩定的.

證明:首先證明|ξj|≤|ξ0|.假設當j=1時,式(25)有|ξ1|≤b0|ξ0|.由于b0=1,則可以得到|ξ1|≤|ξ0|.因此,當j=1時,|ξj|≤|ξ0| 成立.接下來,假設|ξj|≤|ξ0|在j≤n-1時也成立,有|ξj|≤|ξ0|,j=1,2,…,n-1.當j=n時, 式(25)變為

其次,根據|ξj|≤|ξ0|,j=1,2,…,n-1,則上述不等式滿足

=b0|ξ0|.

由于b0=1,則上述方程可以簡化為|ξn|≤|ξ0|因此, 當j=n時, |ξj|≤|ξ0|也是成立的.綜上所述, 通過數學歸納法,|ξj|≤|ξ0| 對于每一個j都是成立的, 即|ξj|≤|ξ0|,j≥1.最后,結合誤差范數,即式(21),可以推出

即‖rj‖2≤‖r0‖2.綜上,針對問題(5)所提出(16)的數值格式是無條件穩定的.證畢.

3.2 收斂性分析

(26)

(27)

(28)

M1(Δt2-α+Δx4),j=1,2,…,N,

(29)

上述等式和式(27)中級數部分是收斂的.存在一個正常數M2,使得

|σj|≡|σj(k)|≤M2Δt|σ1|≡

M2Δt|σ1(k)|,j=0,1,…,N.

(30)

以上是陳述和證明了該方法主要部分的收斂性.

定理3 假設z(x,t)是問題 (5)的精確解,則數值格式 (14)是l2收斂的,且解滿足

‖εj‖2≤M(Δt2-α+Δx4).

證明:將采用數學歸納法證明下列方程.

|μj|≤M2(1+Δt)j|σ1|,j=1,2,…,N.

(31)

在式 (28)中假設j=1,結合|(p1+ωp2)+(p3-ωp4)|-1≤1.有

|σ1|≤M2(1+Δt)|σ1|.

因此,式 (31)在j=1時成立.接下來,假設式(31)在j≤n-1時,也是成立的,有

|μj|≤M2(1+Δt)j|σ1|,j=1,2,…,n-1.

(32)

當j=n時,結合式 (24)且|(p1+ωp2)+(p3-ωp4)|-1≤1,得到

將式(32)、(30)代入到上述不等式中,可以得到

M2Δt|σ1|≤M2(1+Δt)n|σ1|.

因此,當j=n時,式(31)是成立的.綜上所述,通過數學歸納法,式(31)對于每一個j都是成立的.現在,結合式(27),(29) 和(31),可以得到

M2(1+Δt)j‖R1‖2≤M1M2ejΔt(Δt2-α+Δx4).

由于jΔt≤T,上述公式可以變為‖εj‖2≤M(Δt2-α+Δx4),M=M1M2eT.證畢.

4 數值實驗

本節以歐式看漲期權期為例,研究所提出的方法對分數階CEV模型下歐式看漲期權進行定價,通過變換參數,分析對歐式看漲期權定價的影響,來證明緊致差分格式的實用性.運用R軟件模擬,考慮以下模型

rC(S,τ)=0,(S,τ)∈(0.1,100)×(0,1)

設定初邊值條件分別為

C(S,T)=max{S-K,0};C(0.1,τ)=0,

C(100,τ)=100-Kexp(-r(1-τ)).

固定參數r=0.05,K=10和T=1 a.討論參數α和σ取不同值時,期權定價的變化,見圖1、2.

圖1 不同α下的期權價格

圖1設定σ=0.25時,根據分數階參數α分別為0.5、0.7和0.9時,繪制出資產價格與期權定價的變化圖.數值結果表明,在空間上期權價格隨著資產價格的增大而增大.其中,當空間變量x=2時,期權價格明顯增加.圖2設定α=0.5時,根據參數σ分別為0.25、0.35和0.45時,描繪出資產價格與期權定價的變化.同樣得到在空間上隨著資產價格的增大期權價格也增大,當空間變量x=2時,期權價格增長迅速.

圖2 不同σ下的期權價格

圖3固定σ=0.25時,根據分數階參數α分別為0.5、0.7和0.9時,描繪出資產價格與期權定價的變化圖.從圖中可以看出,在時間上期權價格隨著資產價格的增大而增大.其中,分數階參數α越小時,圖像越陡峭;反之分數階參數α越大時,圖像越平緩. 圖4固定α=0.5時,根據參數α分別為0.25、0.35和0.45時,描繪出資產價格與期權定價的變化圖.數值結果顯示,同樣的在時間上隨著資產價格的增大期權價格也增大.與分數階參數α相比, 參數α的變化對期權價格的影響較小.

圖3 不同α下的期權價格

圖4 不同σ下的期權價格

5 結 語

本文提出一種關于求解分數階CEV模型下未定權益的緊致差分格式,討論該格式是無條件穩定的,也證明該格式是O(t2-α+Δx4)收斂.并且以歐式看漲期權為例,驗證該緊致差分格式的實用性.結果顯示,期權價格明顯受分數階導數影響.