基于哈里斯鷹算法的采摘機械臂機構優化設計

謝石璞

（長安大學，陜西 西安 710064）

0 引言

《“十四五”機器人產業發展規劃》指出，要重點推進工業機器人、服務機器人、特種機器人重點產品的研制及應用，推動產品高端化、智能化發展[1]。采摘型機器人作為服務機器人的一種，承載著科技興農、鄉村振興的重任。因此，采摘機器人的研發是十分關鍵的，其中，采摘機械臂又是采摘機器人的研究重點[2]。大多數的采摘機器人都會通過使用機械臂來拓寬其采摘范圍，提升采摘性能。因而，機械臂設計的好壞將會直接影響機器人的采摘質量、采摘精度和采摘效率[3]。本文主要從結構尺寸設計的角度，對一種采摘機器人可重構模塊化機械臂進行優化研究，而目前機械臂的結構尺寸優化一般是多目標的。

梁喜鳳等[4]面向番茄采摘，以工作空間最大和結構最輕為目標，對機械手機構尺寸進行優化。趙江波等[5]針對救援機械臂，采用模糊層次分析法綜合考量機械臂工作空間、末端運動速度以及負載，并以此建立優化目標函數，進行結構優化設計。馬國慶[6]以高剛度、輕質量、運動靈活且平穩為設計目標，設計出一款符合人體工程學的服務型機器人。Gao等[7]以高系統剛度與靈巧度為目標對空間六自由度并聯機器人進行優化。Zhang 等[8]歸納總結了近年來出現的機械臂性能指標，并將其分為兩類，一類是運動性能指標，另一類是全域性能指標。針對采摘機械臂，一方面，要求其足夠靈活可靠，即高的運動傳遞能力和運動傳遞精度；另一方面，要求其耗能較低，以適應田野環境。參考上述文獻，本文使用能耗指標、可操作性指標、速度最小值、運動傳遞準確度來評價機械臂結構參數的好壞。

大多數情況下，難以對機械臂優化目標函數進行求導，即無法使用傳統優化算法，因此智能算法應運而生。Yan 等[9]采用多目標粒子群優化算法求解空間機器人優化問題。王鑫等[10]采用多目標遺傳優化算法，使機械臂各關節總功率以及各連桿長度達到最優。本文采用哈里斯鷹算法，該算法具有原理簡單、參數少、穩定性高、收斂速度快等特點。本文的主要研究目標是針對采摘機器人的具體應用，從結構設計的角度，提出一套基于哈里斯鷹算法的機械臂設計優化方案。本文由機械臂運動學分析、指標分析與表述、約束條件的數學表述、機械臂優化模型、基于哈里斯鷹算法的模型求解與結果分析、結論六大部分組成。

1 機械臂運動學分析

1.1 物理模型的建立

機械臂構型示意圖如圖1 所示。圖中采摘機械臂一共具有6 個轉動副，分別位于圖中的位置1 至位置6。機械臂6 個自由度中，前3 個自由度負責定位，后3 個自由度負責機械臂末端姿態。由于本文主要研究機械臂定位問題，所以將機械臂簡化為如圖2 所示形態。保留前3 個關節，并將后3 個關節等效為質點。其中，Oxyz為機械臂基礎坐標系，d1為關節一的安裝高度，θ1為關節一所轉過的角度，L2為連桿二的長度，θ2為關節二所轉過的角度，L3為連桿三的長度，θ3為關節三所轉過的角度。

圖2 簡化運動模型

將簡化后模型轉化為標準D-H形式，標準D-H參數如表1所示。

表1 標準D-H參數表

1.2 雅可比矩陣的求解

由標準D-H 模型，可列出旋轉、平移矩陣。旋轉、平移矩陣相乘，可得關節間的齊次變換矩陣。一方面，由齊次變換矩陣依次兩兩相乘可得到機械臂末端相對于基礎坐標系的姿態變換矩陣。另一方面，由齊次變換矩陣也可以得出相對雅可比矩陣。最終，由姿態變換矩陣與相對雅可比矩陣可求出雅可比矩陣，具體形式如式（1）所示。

2 指標分析與表述

2.1 功耗指標

采摘型機械臂的工作地點通常在種植園地，為獲得穩定的電力供給，一般采用電池作為其能量來源。但是，電池本身也存在諸多問題，一方面，電池本身存儲電力有限，限制了機械臂采摘工作的工作量。另一方面，將大量時間浪費在頻繁地更換電池和電池充電上，也降低了整體的采摘效率。為解決上述問題，提高續航能力，從設計的角度來看，要尋找一組最優的設計參數使得機械臂功耗盡可能小。

機械臂的功耗，即機械臂采摘時的功率，其與機械臂運動時的角速度和工作力矩成正比。在獲取到各部件具體的動力學參數之后，通過調節結構尺寸的辦法，降低工作力矩并非難事。而對于角速度，其數值受采摘工況需求的限制，無法對其進行優化。

總之，提高采摘效率、續航能力的問題就轉化為降低機械臂功耗的問題，最終轉化為調節結構尺寸降低工作力矩的問題。為方便計算，本文將各機械臂關節的最大工作轉矩和視作機械臂功耗。另外，為了厘清結構尺寸與工作力矩的關系，下一步需要對機械臂建立數學模型。

2.1.1 簡化模型的建立

為方便進一步計算，對機械臂模型做出如下簡化：

1）視各部件質量均勻，并將其簡化為質點。

2）將關節質量分為兩部分，減速器質量與其他質量，其他質量為常數，大小可通過稱量法獲得，減速器質量可通過查詢減速器參數獲得，減速器參數如表2所示。

表2 減速器參數表

3）假設各連桿線密度相同。

4）將末端三自由度部件及負載簡化為一質點，質量為ML。

簡化后的機械臂物理模型，如圖3所示。

圖3 簡化模型的重量分布圖

其中，Mm1表示關節一質量，Mm2表示關節二質量，Ml2表示連桿二質量，Mm3表示關節三質量，Mq表示空關節質量，Ml3表示連桿三質量，ML表示負載質量，L1表示連桿一長度，L2表示連桿二長度，L3表示連桿三長度。

2.1.2 數學關系的確定

由上述簡化物理模型，計算各關節力矩：

其中，Mqi為第i個關節力矩，Mmi為第i個關節重力矩，Mgi為第i個關節慣性力矩，Jmi為第i個關節電機慣量，Joi為第i個關節的其他慣量，r是質量塊的回轉半徑。式（2）中的r和L與結構尺寸L2、L3的取值密切相關。

結合簡化模型和上述公式，可以明顯得出：結構尺寸L2、L3和各部分的質量是影響工作力矩大小的主要因素，此時的工作力矩指的是各關節的力矩和。其中，結構尺寸L2、L3可以根據需求來確定。而對于質量因素，從實際出發，各部分質量存在變化和不變的部分，可視為質量不變的部分包括空關節、末端負載以及各活動關節中除減速器以外的部分；可視為質量變化的部分包括各活動關節中的減速器部分與各連桿。值得注意的是，關節中的減速器占關節總重的一半以上，且不同型號的減速器質量差異明顯。

此時，各關節力矩和仍難以表示，主要是因為各關節中的減速器型號難以確定。究其原因，主要有兩點：1）關節受到的負載力矩不同，設計時所選擇的減速器型號也就不相同，負載力矩小的關節，可以選用小規格的減速器，其質量比較輕，反之，所選用的減速器就比較重。2）從機械臂末端到基座部分，前端的關節影響后端的關節，若前端關節質量比較大，則只能選用足夠大的減速器，導致后端關節質量也會增加。

為克服上述兩點問題，對于一組特定的L2、L3參數，本文將關節減速器選型工作融入求解力矩和的算法中，其算法流程如圖4 所示。

圖4 計算機械臂總力矩的流程圖

如圖4 所示，算法倒序求解各機械臂關節力矩，求和得出最終結果。其過程為：根據L3、連桿三質量、負載質量以及關節三最大角加速度，即可求得關節三工作扭矩，進而根據減速器參數表完成對關節三減速器的選型工作，另外，對電機進行校驗保證了電機的選型成功，至此，可計算出關節三質量。按此步驟，依次求解關節二、關節一工作扭矩，最終匯總得出減速器的總力矩。

設定初始域為L2∈[0.3，0.7]，L3∈[0.3，0.7]，利用上述計算機械臂總力矩的算法遍歷初始域，可得如圖5所示的結果。

圖5 L2、L3對力矩和與機械臂關節減速器的影響

由圖5 可知，隨著尺寸參數L2、L3的減小，力矩和也逐漸減小。當L2和L3均取最大值0.7 m 時，力矩和取最大值294.0 N·m。當L2和L3均取最小值0.3 m時，力矩和取最小值111.6 N·m。

2 號關節減速器的選型與L2、L3的取值有關，L2、L3越大，所選減速器的型號就會越大，其主要選取的減速器型號為5。3 號關節減速器的選型與L3有關，其主要選取的減速器型號為3與4。

2.2 可操作性指標

Mr代表機械臂末端的平均可操作性能。其值愈大，工作空間內平均運動傳遞能力就越強，直觀表現為可操作性能越優異，在電機調速范圍一定的前提下，機械臂末端運動速度的平均可調范圍就越大。

其中，λ1、λ2、λm為JJT的特征值，m是特征值的數量，l為機械臂桿長之和。

2.3 速度最小值

vrmin代表工作空間中運動傳遞性能的最差值。若vrmin的數值過小，則即使面對末端速度變化很小的情況，關節處所需的速度變化范圍也會很大，這顯然是不可接受的，因此要求vrmin要足夠大。

其中，min(λi)為JJT特征值中的最小值，min(σi)為J奇異值中的最小值。

2.4 運動傳遞準確度

kJ代表運動傳遞受制造裝配等誤差的影響程度。kJ越小，運動傳遞時受機器人制造、控制誤差的影響就會越大，機器人運動準確性就越差，甚至最終導致機器人失控。總之，其值越大，運動傳遞受機器人本身誤差的影響就越小，機器人的運動準確性越好。

其中，J+為雅可比矩陣的逆矩陣。σmin、σmax分別為J奇異值中的最小值與最大值。

運動學性能可分為運動傳遞能力和運動傳遞精度，本文中涉及有關運動傳遞能力的性能指標為可操作性指標與速度最小值，有關運動傳遞精度的性能指標為運動傳遞準確度。

2.5 全域性能綜合評價指標

當涉及機械臂桿長參數優化設計時，通常考慮其在全域工作空間下的性能指標分布情況，而不是關注其在某工作點性能指標的具體數值。由描述統計學理論可知，若要綜合評價指標的全域性能，則應同時關注其中心趨勢、分散程度、分布形狀。另外，在綜合不同指標時，也應去除性能指標之間單位不同所帶來的影響。

2.5.1 平均值指標

ξavg相當于評價指標在工作空間中的平均值，代表評價指標的集中趨勢。其值愈大，代表評價指標整體水平愈高。

其中，ξ代表評價指標的數值，W代表機械臂的工作空間。

2.5.2 波動性指標

ξvol代表評價指標在工作空間中的波動性，其值愈高，指標在空間中離散程度越高，整體性能越差。

其中，ξsd代表評價指標在工作空間中的標準差數值。

2.5.3 偏度指標

ξskew代表評價指標在工作空間中的偏度，主要描述指標在空間中分布的不對稱性，其絕對值越小，其相對于空間中心越對稱。偏度的正負僅僅代表分布偏離中心的方向。

2.5.4 峰度指標

ξkurt代表評價指標在工作空間中的峰度，是衡量評價指標相較于正態分布是尖銳還是扁平的工具。當峰度為0 時，其尖銳程度同正態分布；當峰度為正值時，其分布相較于正態分布更加尖銳；當峰度為負值時，其分布外觀更為平坦。

3 約束條件的數學表述

3.1 工作空間約束

圖6 為根據實際采摘場景提取出的工作空間示意圖，其中，連桿結構為機械臂，長方體為工作區域，其長度為d，寬度為b，高度為h。機械臂關節一與工作空間的最短距離為Lx，其中心位于工作空間上下等分面上。空間距離中心最遠點為A、B、C、D。因此，若要使機械臂達到最遠點，則關節二與關節三的長度之和要大于最遠距離。即式（10）所示：

圖6 工作空間約束示意圖

為了保證機械臂能夠有較大的工作空間，連桿二與連桿三的桿長相差不能過大，且工作空間內側邊界應該至少能夠在行走底盤上方空間內，如圖7 所示。其數學表述形式為：

圖7 帶有行走底盤的機械臂示意圖

其中，Lb為行走底盤寬度。

3.2 工作條件約束

采摘時，在連桿二與水平方向夾角θ為90°左右時，隨著連桿二的左右擺動，連桿二末端質量塊會使連桿二受到近似對稱循環變應力作用，導致桿件結構產生疲勞形變，喪失定位精度，造成機械臂提前失效（機械臂的主要失效形式為定位精度喪失）。為避免連桿二處于此受力狀態，規定夾角θ應小于89°。取兩種極限狀態，對其進行約束。

狀態一，當末端位于長方體工作空間靠近機械臂一側上沿終點時，夾角θ有可能取得最大值，如圖8所示。由三角函數公式，經化簡可得：

圖8 狀態一構型示意圖

狀態二，當末端位于長方體工作空間中距離關節一中心最近點時，夾角θ有可能取得最大值θβ，如圖9所示。由余弦定理可得：

圖9 狀態二構型示意圖

4 機械臂優化模型

本章綜合第二章所提到的關鍵性能指標與第三章所歸納的約束條件，建立數學優化模型。

綜合考量上文所提性能指標，提出目標函數（也稱適應度函數）公式：

其中，β1、β2、β3、β4為各性能指標所屬的權值，T為關節力矩和，Mr為可操作性指標，vrmin為速度最小值指標，kJ為運動傳遞準確度，下標為integr的參數為全域性能評價指標。式（14）去除了各指標單位與絕對大小的影響。

要使得目標函數全局達到最優，則功耗指標應盡可能小，可操作性指標應盡可能大，速度最小值應盡可能大，運動傳遞準確度應盡可能高。一般優化算法將目標函數的全域最小值視作最優，因而β1應為正值，β2、β3、β4應為負值。同時作為采摘型機器人，以低功耗與高運動傳遞準確度為重，同時考慮可操作性與速度最小值因素。因此，令β1=1，β2=-0.1，β3=-0.1，β4=-1。

將上述權值代入目標函數式（14），可得：

下面將使用ξ指代性能指標，即Mr、vrmin、kJ，則全域性能評價指標(ξ)integr的計算公式可以表述為：

其中，α1、α2、α3、α4為各全域分布特征的所屬權值，ξavg為分布平均值特征，ξvol為分布波動性特征，ξskew為分布偏度特征，ξkurt為分布峰度特征。

據某文獻所述，可取α1=1，α2=-ξavg，α3=-0.1ξavg，α4=-0.1ξavg。將上述值代入式（16）可得：

即采摘機器人尺寸優化數學模型可表述為：

其中，Lmin=0.3 m，Lmax=0.7 m，Dmax=1.0 m，Lb=0.62 m。

由約束條件可得，可行域可進一步縮小為如圖10所示的黃色區域，橫坐標為L2，縱坐標為L3。

圖10 初始域與可行域范圍

5 基于哈里斯鷹算法的模型求解與結果分析

5.1 哈里斯鷹算法簡介

哈里斯鷹作為自然界中最聰明的鳥類之一，其圍捕獵物時，總是成群結隊，相互合作。它們會從發現獵物開始，輪流襲擾獵物，消耗其精力；直至獵物疲憊，鷹群轉換為圍捕模式，并施展突襲策略，此時獵物同樣會釋放假動作來迷惑鷹群，但隨著獵物力竭，鷹群終會獲勝。2019 年，Heidari 等[11]受上述狩獵行為的啟發，提出了哈里斯鷹算法，其同蟻群算法、人工蜂群算法一樣屬于群智能優化算法。值得注意的是，它們與共軛梯度法或最速下降法等傳統方法并不相同，并不依賴于問題本身的梯度信息或其他數學特性，降低了對問題的要求，拓展了算法的適用性。尤其是在優化問題無法用簡潔的公式表示的情況下，群智能優化算法具備明顯優勢。

5.2 算法原理

哈里斯鷹算法模仿了鷹群的狩獵行為，鷹群的位置代表著一組候選解，而獵物的位置代表當前最優解，鷹群追捕獵物本質上就是算法在不斷尋求最優解。算法運行過程可分成三個階段：探索階段、探索到開發過渡階段以及開發階段。

在探索階段中，鷹群會隨機分布在其棲息地內等待并尋找獵物，此時鷹群位置的更新會依賴于兩種策略。一種是鷹群會在棲息地內隨機選取落腳點，另一種是其落腳點的選取會依賴于獵物與其他鷹的位置。而這兩種策略的選擇完全隨機。

在探索到開發過渡階段中，算法指出獵物在鷹群的追捕下，其精力總體上會不斷地被消耗。獵物精力比較旺盛，代表著此時鷹群正在棲息地內的不同區域不斷搜尋獵物，此時鷹群處于探索階段。當獵物的精力低于某一數值時，暗示著鷹群正在某特定區域不斷圍捕獵物，此時鷹群處于開發階段。

在開發階段中，鷹群不斷圍捕獵物，并時常發動俯沖突襲，而獵物也會不斷釋放假動作來迷惑捕食者。視獵物成功突破包圍的概率與失敗的概率相同。鷹群會依照獵物的具體情況不斷切換進攻策略。當獵物未能突破包圍且精力比較充足時，鷹群采用軟包圍策略，不斷消耗獵物的精力；當獵物未能突破包圍且沒有精力時，鷹群采用硬包圍策略，不斷靠近獵物；當獵物突破包圍且精力比較充足時，鷹群采用漸進俯沖的軟包圍策略，鷹不斷發動隨機俯沖，獵物也會不斷施展更多的假動作，算法采用列維飛行函數來描述上述運動隨機性；當獵物突破包圍且沒有精力時，鷹群采用漸進俯沖的硬包圍策略，不斷向獵物聚集，鷹與獵物的平均距離不斷縮小。

綜上所述，HHO算法流程如圖11所示。

圖11 HHO 算法流程圖

5.3 機械臂優化問題求解

5.3.1 求解優化案例

通過對哈里斯鷹群狩獵活動的深度理解并對過程進行抽象建模，建立其群體狩獵行為與HHO 算法中各要素之間的對應關系，如表3所示。

對于本文所討論的采摘機械臂桿長優化問題，其相關求解參數具體為：適應度函數為式（18），棲息地范圍為式（19）所限定的區域，鷹的種群大小設定為5，其狩獵時長，即最大迭代次數設定為20。

將上述參數代入HHO 算法中進行求解，獲得迭代次數達到最大值時的優化變量取值以及相應的目標函數值，即目標函數最小值。

5.3.2 優化結果分析

優化求解結果如圖12 所示，由計算結果圖像可知，HHO 算法僅迭代一次，就獲取了最優的結果，當L2=0.656 m，L3=0.346 m 時，目標函數取得最小值，為-0.952。

圖12 優化求解結果

借助性能指標求解公式，求得此時關節力矩和為185.7 N·m，為初始域中的最大值（294.0 N·m）的63%，又因其在可行域中的值域為[185.2，210.6]，可視作當前處于關節功耗最小狀態。同理，求出(Mr)integr、(vrmin)integr、(kJ)integr的當前值和其在可行域內的值域，結果如表4所示。

表4 全域綜合性能指標的當前值與值域

由表4 可以看出，各項全域綜合性能指標的當前值均已達到最優結果。因此，可將L2=0.656 m，L3=0.346 m 視作可行域內的最優結構參數。

6 結論

1）從采摘機械臂實際設計需求出發，以低功耗與高運動傳遞能力為目標，采用功耗指標、可操作性、速度最小值、運動傳遞準確度等多種尺度對機械臂進行綜合評價，并考慮工作空間與工作條件等因素，搭建了采摘機械臂機構優化模型。通過對上述模型進行求解尋優，獲取一組最優的關鍵設計參數，為機械臂后續的設計工作提供指導。

2）以采摘機械臂中負責定位的三個關節所受最大力矩之和為功耗指標。在求解關節最大力矩時，抓大放小，將減速器質量作為關鍵影響因素，將計算力矩與減速器選型過程相融合，解決了無法確定關節質量的問題，進而確定了力矩。并由于關節之間的影響具有方向性，即靠近末端的關節影響靠近基座的關節，求解過程采用倒序求解的方法。上述求解過程提供了在設計階段估算關節力矩的一種方便可行的思路。

3）本文采用HHO 算法提供了一種針對目標函數無法求導的優化問題的求解思路，其迭代過程僅進行了一次，就獲得了可行域中的最優解，展現了其高效的求解過程。