基于高階思維的高中數學建?；顒诱n教學設計研究
——以“消費券”模型為例

李 爍，夏宇晨，戴闊斌，熊建軍

（1.黃岡師范學院數學與統計學院，湖北黃岡 438000；2.湖北省鄂州高中，湖北鄂州 436099）

一、問題提出

新課改實施以來，學校的教育由關注學生知識的掌握轉變為關注學生的能力發展。數學思維作為一種能力，教育的本質是培養思維，培養思維的最好場所是課堂。在課堂上落實數學思維的培養是當代教師應該思考的問題。普通高中數學課程標準（2017年版2020修訂）（以下簡稱新課程標準）［1］指出，通過高中課程學習，學生能在現實世界中發現問題和提出問題，學會使用數學模型解決實際問題，以落實核心素養的培養。為了發展學生數學學科核心素養，我們必須重視發展學生的數學思維素養，而培養學生的數學高階思維能力則是此教學過程的最重要的部分。

隨著新課程標準的提出，數學建模作為高中核心素養之一，更多的一線教師重視數學建模活動，將“建模思想”引入課堂，培養學生的建模思維,教師對數學建模的活動課設計尤其重要。其次數學建模活動課相比其他課型，綜合性更強，需要學生較高的思維能力。學生在數學問題的發現與解決過程中，都需要進行深度思考，實現低階思維到高階思維的躍遷，方可把握問題的本質，突破思維的障礙。高階思維的培養體現了知識時代對人才素質提出的新要求，是適應新時代發展的關鍵能力，數學高階思維的發生與核心素養發展可相互促進。在數學建模活動課中如何有效地培養學生數學高階思維是當前亟須解決的問題。

二、數學高階思維的內涵及培養

對于高階思維的研究，國內最早研究的是鐘志賢教授，鐘教授指出高階思維是發生在較高認知層次上的心智認知活動或認知能力［2］。葛波結合核心素養的指向和內涵，認為數學高階思維主要是學生在應對和解決教師提出的學習任務時，所表現出的策略思維、批判型思維、創新型思維［3］。蘇學峰認為，數學高階思維就是學生問題發現、問題思考、問題探究、問題推理、問題解決等能力［4］。結合幾位學者的研究，在數學高階思維的概念界定上觀點是比較一致的，因此數學高階思維應是在解決問題中學生所產生的較高層次的思維活動。

對于數學高階思維的培養，國內眾多學者提出自己的研究觀點。吳立寶從初中數學教學的角度出發，提出了基于問題鏈的初中數學課堂高階思維培養路徑，在數學教學中以問題為主線，以不同類型的問題鏈促進初中生思維的全面發展［5］。李建華、胡軍從復習課的視角提出四個教學環節，在復習鞏固中用問題喚醒策略型思維；在探究活動中用變式撬動批判型思維；開放題中重構催生創新型思維；在課堂小結激活結構化思維，以復習課來培養數學的數學高階思維［6］。胡軍、栗小妮、李建華提出，通過學生提問與教師提問的對比分析，在思維培養上學生提問明顯優于教師提問，“學生提問”方式能促進學生高階思維的養成，增強學生的意識［7］。

不難發現，眾多學者對于數學高階思維的培養聚焦在“問題提出”或者其他課型中，對于數學建?；顒诱n來促進高階思維的培養的研究目前略顯不足。李健、李海東從數學教科書的視角提出了，教材中的數學建模問題需要學生進行相關信息分析，通過思維的發散與聚合提出數學模型，最后在建立模型中發展學生的創新思維［8］。殷艷指出，學生可以通過感受解決問題的過程、體驗數學建模的過程、積極反思和處理非常規問題來促進數學高階思維的發展［9］。高中階段數學建模教學的關鍵目標就是讓學生掌握數學建模的過程，讓學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學知識去合理解決實際問題［10］。這個過程中培養學生的高階思維。依據國內相關學者研究，在培養高階思維與數學建模相融合過程中，學生最先是發現問題，對問題分析，從而建立初步數學模型，對數學模型進行求解運算。這三個階段規劃為低階數學思維，其對模型進行檢驗、修改數學模型，再次解決實際問題，這三個階段學生思維能力處于較高水平，形成數學高階思維。具體教學流程如圖1所示。

圖1 數學建?；顒诱n高階思維培養的流程

三、融入高階思維的“消費券”數學建?；顒诱n教學設計

對于教師而言，在數學建?；顒诱n中融入高階思維的培養，需要思考該如何去教、如何有效地設計。數學建?；顒诱n重在過程，對沒有接觸過數學模型的學生而言，其思考方法、分析手段和探索過程需要引領才可較為迅速地掌握。因此，對數學建模的活動設計要符合學生的認知水平和實際情況。教師可基于網上購物消費券的情況，結合高一年級“分段函數”知識點，設計消費券的數學模型，讓學生在數學建?；顒诱n思維得到提升。具體教學設計流程如下。

（一）創設情境，提出問題

近年來，“雙十一”購物狂歡節交易不斷刷新紀錄，“雙十一”購物節的規則的復雜度不斷增大，而面對商家復雜的優惠規則，消費者都嘗試用足優惠。最近，某品牌商家推出三種優惠券，分別是滿150減10元、滿200減40元、滿300減50元、滿400減120元，這四種優惠券不可疊加，但是平臺為了刺激消費者購買，增加滿300減50元活動，可與任何店家疊加適用。

這些俗稱為“滿減”的優惠券容易讓人產生購物的沖動。為了“湊單”，消費者可能會買些不需要的商品。這樣的購物行為是否理性呢？商家使用了怎樣的優惠策略？是否購買金額越大，享受的優惠也越大？

設計意圖：以生活中常見的消費券模型引入，培養學生善于用數學的眼光觀察世界。生活中所包含的數學問題更能吸引學生的注意力。其次拋出問題，對于眼花繚亂的優惠券，是否我們購買越多，優惠力度越大。怎樣定義最大優惠？

思維層面：參與湊單活動是否理性消費等。創設相應的情境，有利于學生的思維生成，發現問題并思考，啟發學生的思維發展，此階段為學生低階思維階段。

（二）分析問題，建立模型

為了方便簡單研究，我們假設，店鋪優惠券每種券最多領2張。

預假設一，購買金額越大，優惠越大。設原始購買金額為x，優惠金額為f（x）。

我們可以知道以下情況：

情況1：當購買金額0＜x＜150時，無法使用優惠券，f（x）=0。

情況2：當購買金額150≤x＜200時，可以使用10元優惠券，f（x）=10。

情況3：當購買金額200≤x＜300時，可以使用40元優惠券，f（x）=40。

情況4：當購買金額300≤x＜400時，可以使用50元優惠券，還可以疊加使用平臺50元優惠券，f（x）=100。

情況5：當購買金額x≥400時，可以使用120元優惠券，還可以疊加使用平臺50元優惠券，f（x）=170。

由f（x）與x之間的關系得到如下關系：

預假設二，考慮優惠率，設原始購買金額為x，原價與折扣之差占原價的百分比為f（x）。

我們發現有以下情況：

情況2：當150≤x＜200時，可以使用10元優惠券，f（x）=。

情況3：當200≤x＜300時，可以使用40元優惠券，f（x）=。

情況4：當300≤x＜400時，可以使用50元優惠券，還可以疊加使用平臺50元優惠券，f（x）=。

情況5：當x≥400時，可以使用120元優惠券，還可以疊加使用平臺50元優惠券，f（x）=。

由f（x）與x之間的關系得到如下關系：

設計意圖：以小組為單位分別提出問題，教師應該引入課題，將問題留給學生，讓學生學會提問，提出相關數學問題，在問題中思考，促進學生思維能力的發展。設計兩個預假設，預假設一是抽象的分段函數，學生會直接以滿減金額大小，得出購買越多，優惠越大的結論。預假設二是考慮優惠率的情況，涉及優惠率的問題，通過函數解析式要求學生動手畫出函數圖象。觀察可知，該函數屬于減函數，學生得到啟示，恰好達到滿減金額時候，優惠最大，得出購買越多，優惠越大相應結論。

思維層面：通過分類討論，促進學生思維的拓展。分類討論及分組情況，可以促進學生思考問題的深度與廣度，學生的思維開始發展，用數學的思維思考問題。因初步建立數學模型，學生的思維能力還不夠嚴謹，因此該階段為學生低階思維階段。

（三）分析結果，檢驗模型

從函數結果來分析，假設某個顧客一次性購買金額為1100元，很顯然按照上述兩個模型一次性付款，優惠不是很大，均只優惠170元。因此應該組合使用優惠券，對模型進行修改。

顧客購買金額1100元時，可以考慮拆開付款，假設顧客分三次付款，最優組合就是400元、400元、300元，那么最大優惠就是170+170+100=440元。根據學生提出的初步模型，都無法解釋最優優惠情況。那么按照組合券使用規則，顧客應該多次付款。

設計意圖：在檢驗模型中，通過具體金額，讓學生發現初步模型難以解釋，讓學生自主分析不足，修改模型，在檢驗模型、分析問題的過程中，學生從初步轉向高階思維。有較高的認知活動，糾正模型的修訂。

思維層面：在結果分析中，學生已有批判性思維的生成，經過數學模型的結果檢驗，學生批判性思維能力逐漸增強，提出質疑，修改對應數學模型。學生的思維能力由低階轉向高階階段。

（四）修改模型，預設結果

預假設三，從優惠率考慮，設原始購買金額為x，原價與折扣之差占原價的百分比為f（x），根據購買金額，組合多次付款。

函數圖象如圖2所示：

圖2 改進后優惠率分段函數圖象

設計意圖：通過修改后的模型，否定原始假設。深層次研究原始購買金額與優惠率之間的關系，建立分段函數偶性，給出的購買策略包含“分單”“湊單”“減單”，讓學生思維提升，其次通過消費券模型讓學生領悟正確的消費觀念，對于商家給出的消費券，并不是一味地購買就優惠越大，當達到最優優惠時，函數模型為減函數，反而優惠不是最優組合。

思維層面：在數學建模優化過程中，學生會發現模型的難度逐漸增大，但也逐漸接近現實問題的解決，學生的思維能力處于較高水平，對現實的數學問題提出相應的解決方案。此過程也是學生高階思維生成的階段，學生學習的知識由易到難，學生的思維由低到高。

四、結論與建議

（一）結論

消費券的數學模型只是數學建?；顒拥囊粋€案例，在消費券問題的數學建模活動課中，學生善于發現現實中的數學問題，不僅提出相應的數學模型解決實際問題，還能發現在商家“消費券”等數學問題中，當購買一定金額時候，優惠率最大，呼吁學生理性消費。在數學建?；顒诱n中，教師要科學地分析教學內容，引導學生找出數學建模“切入點”確定建模的類型，優化學生的思維結構。教師還可引導學生從問題命制者的角度看問題,理解出題的意圖,使其建構層級分明、可辨析、可檢測的思維分析模型,以現有知識儲備為基礎,合理組織,準確表達,實現思維結構的優化，培養學生的高階思維。

（二）建議

高階思維的培養不是一蹴而就的，數學建模活動課只是一個載體。在數學建模課設計中融入高階思維是必要的，對于該類課型的設計，筆者提出以下建議。

創設真實情境，注重高階思維的生成。數學建?；顒诱n的主體是學生，教師必須教給學生思維方法，培養學生的思維能力。教師創設的“真實情境”就是打破教材內容，在實際生活中尋找數學實際問題，引起學生求知欲，從而喚起“注意”。學生從感性知識中提出疑問，發現疑問，激起學生對問題的思考。

小組合作探究，注重高階思維的發展。數學建模活動課更是留給學生空白。教師在設計數學建?；顒诱n時，要劃分小組，以小組為單位探討數學問題。要讓學生自主發現問題并分析問題。數學建?；顒诱n比較靈活，問題也比較綜合，小組合作不僅可以提出不同的問題及看法，還可以彌補個人的不足。通過小組成員對數學模型的檢驗和評價，讓每個學生在問題中成長。

數學模型改編，注重高階思維的拓展。教師在數學建?；顒诱n，應有層次地對數學問題進行改編，層層遞進。通過變式來轉變學生的思維，加深學生對數學知識的理解和掌握，進一步提高綜合思維能力。

巧用信息技術，注重高階思維的遷移。數學模型的檢驗離不開信息技術，使用信息技術不僅可以直觀地顯示數學模型，還能促進某些規律的行成，使學生的思維得到充分的挖掘。數學類信息技術軟件為培養創造性思維提供了條件，教師可以指導學生親自動手去操作，無形之中培養學生的創造能力，進而促進高階思維的遷移［11］。