混合隨機波動模型下帶隨機工資的DC型養老金最優投資策略

邵艷宇，夏登峰，費為銀，明 健

(安徽工程大學 數理與金融學院,安徽 蕪湖)

隨著科技發展,醫療水平不斷提升,我國人口老齡化的增速加快,養老金支付壓力劇增,制定養老金最優投資策略對實現養老金的保值增值以及提升退休人員生活質量起著至關重要的作用。養老金計劃主要有兩種：1)確定收益型(defined benefit,DB)養老金計劃,參與者的收益是確定的,市場風險由基金管理者承擔;2)確定繳費型DC養老金計劃,參與者的繳費率是固定的,其收益主要取決于退休前的累積繳費值以及長期收益水平,市場風險由基金參與者承擔,有利于緩解政府財政壓力。因此,DC型養老金計劃更符合我國社會發展體系的需要。

Merton[1-2]將隨機控制方法應用于研究投資組合選擇問題后,隨機控制方法則被廣泛應用于探究DC型養老金最優投資組合問題。大部分關于投資組合的文獻[3-5]都假定風險資產價格服從幾何布朗運動,價格波動率假設為常數。然而在實際金融市場環境中,風險資產的價格波動率是隨機變動的。近年來,有學者開始提出Heston隨機波動模型下的最優投資問題：Li等[6]研究Heston模型下保險公司的最優時間一致性投資和再保險策略;張初兵等[7]研究Heston模型下以最大化期望冪效用為目標的DC型養老金的最優投資問題;孫景云等[8]研究Heston模型下基于均值-方差準則的最優投資組合問題;Ma等[9]研究Heston模型下具有股票誤定價的DC型養老金最優投資問題,應用隨機控制理論建立了相應的HJB(Hamilton-Jacob-Bellman) 方程,并給出了在CRRA(constant relative risk aversion) 效用函數下的最優投資策略。

實際經濟環境的變動往往會導致市場利率的隨機波動。文獻[10-13]對利率風險下DC型養老金的最優投資問題進行研究。Vasicek[10]利用隨機利率模型O-U(Ornstein-Uhlenbeck) 描述利率動態變化過程。Cox等[11]提出CIR(Cox-Ingersoll-Ross) 模型模擬名義利率的動態變化。張初兵等[12]研究仿射利率模型下的DC型養老金最優投資策略。Mwanakatwe等[13]研究利率遵循Hull-White模型時的DC型養老金投資策略。

此外,也有學者同時研究隨機利率和隨機波動率下DC型養老金的最優投資問題。Guan等[14]探究具有隨機仿射利率和Heston隨機波動率的DC型養老金最優投資問題。Wang等[15]考慮DC型養老金計劃的穩健性最優投資問題,其中隨機利率和隨機波動率分別由仿射利率模型和Heston隨機波動率模型驅動。常浩等[16]研究在隨機利率和隨機波動率環境下的DC型養老金最優投資問題。Kim等[17]利用具有Hull-White利率模型和隨機波動率模型的混合模型來評估期權價格對利率變化的敏感性,并表明了具有隨機利率的隨機波動率模型優于具有恒定利率的模型。Mwanakatwe等[18]研究混合隨機波動(Heston-Hull-White) 模型下DC型養老金的最優投資和收益支付策略,并成功地給出了CRRA效用函數下的精確解。目前大多數文獻采用CRRA效用函數來刻畫投資者的風險偏好,然而,與CRRA效用函數相比,CARA(constant absolute risk aversion) 效用函數對風險的厭惡程度不依賴于當前財富水平,因此,本文采用CARA效用函數來刻畫基金管理者的風險偏好。

由于養老金的投資期限較長,基金管理者不僅要考慮利率風險和波動風險,還要考慮隨機工資。費為銀等[19]研究了在CIR隨機利率模型下帶有隨機工資的最優消費投資問題。Li等[20]在均值-方差準則下探究具有通脹風險和隨機工資的DC型養老金最優投資策略。李方超等[21]在均值-方差準則下分析具有隨機工資和保費退還條款的DC型養老金的時間一致性投資策略。Wang等[22]研究具有隨機工資和通脹風險的DC型養老金最優投資策略。Yan等[23]分析具有隨機工資和保費返還條款的DC型養老金穩健性最優投資策略。

為建立更符合實際金融市場的模型,本文根據文獻[18-19]研究,在混合隨機波動(Heston-Hull-White)模型中引入了隨機工資,運用動態規劃原理,得到在CARA效用函數下的最優投資策略,拓展了現有研究結果。本研究主要特點：1)假定金融市場中的股票價格服從混合隨機波動模型,這更符合實際金融市場;2)在模型中引入了隨機工資;3)采用CARA效用函數來刻畫基金管理者的風險偏好。

1 模型建立

設(Ω,,{t}t≥0)為一個完備概率空間,且{t}t≥0滿足通常條件,即{t}t≥0是右連續且-完備的,t表示截止到t時刻之前所有可用的信息。假設本文中的所有隨機過程都定義在此概率空間上。此外,假設金融市場是無摩擦的,沒有交易成本和稅收且無賣空限制,且金融市場包括一種無風險資產和一種股票且可連續交易。

假設1無風險資產t時刻的價格S0(t)服從常微分方程式(1)。

(1)

式中：r(t)>0為無風險利率;s0為無風險資產的初始價格。

假設2金融市場中的股票在t時刻的價格S(t)滿足混合隨機波動(Heston-Hull-White)模型,其價格動態過程如式(2)所示。

(2)

本文假定Wv與Wr相互獨立,且Cov(Ws,Wv)=ρ1t,Cov(Ws,Wr)=ρ2t,其中ρ1∈[-1,1],ρ2∈[-1,1]。此外,為保證對?t∈[0,T],v(t)>0恒成立,需要滿足2κψ>σv2。

由于養老金的投資期限較長,因此考慮隨機工資更加符合實際情況。本文假定t時刻的工資水平L(t)滿足隨機微分方程式(3)。

(3)

式中：μ>0為工資的期望增長率;σ為工資的波動率。

本文研究退休前的DC型養老金最優投資問題,假定參與者在退休日之前,按照工資的固定比例c向養老金個人賬戶持續繳費,養老金被允許投資在一種無風險資產和一種股票,并假設t時刻投資在股票上的資金比例是π(t),則t時刻投資在無風險資產上的資金比例是1-π(t)。定義X(t)為養老金在t時刻的財富,則DC型養老金的財富過程如式(4)所示。

(4)

定義1可容許策略。如果一個投資策略π(t)滿足：1)?t∈[0,T],π(t)是t可測的;隨機微分方程;4)有唯一解;則稱π(t)為可容許策略,記Π為所有可容許策略組成的集合。

在養老金積累階段,基金管理者的目標是尋求一個最優投資策略π*(t),使得其終端財富的期望效用最大化,最優控制問題如式(5)所示。

(5)

本文選用CARA效用函數來刻畫基金管理者的風險偏好,CARA效用函數可表示為

式中：q>0為風險厭惡系數。

2 最優投資策略

利用動態規劃方法和變量分離法求解在CARA效用函數下的最優投資策略。定義值函數如下：

其中邊界條件為V(T,x,r,v,l)=U(x)。

根據動態規劃方法,假設V(t,x,r,v,l)∈C1,2,2,2,2([0,T]×R×R+×R+×R+),則V(t,x,r,v,l)滿足HJB方程如式(6)所示。

(6)

式中：Vt、Vx、Vr、Vv、Vl、Vxx、Vrr、Vvv、Vll、Vxr、Vxv、Vxl、Vrl、Vvl分別表示V(t,x,r,v,l)關于變量t、x、r、v、l的一階和二階偏導數。

根據一階最優條件可得最優投資策略如式(7)所示。

(7)

將式(7)代入式(6)可得如下偏微分方程：

(8)

假設方程(8)的解具有如下結構：

計算V(t,x,r,v,l)的各階偏導數如式(9)所示。

(9)

將式(9)中各偏導數代入式(8)中可得

(10)

假設b(t,v)的形式為b(t,v)=A(t)+B(t)v,A(T)=B(T)=0

計算其偏導數可得

bt=At+Btv,bv=B,bvv=0

(11)

將式(11)中各偏導數代入式(10)中可得

化簡得

通過分離變量,得到微分方程式(12)。

at+ar=0

(12)

(13)

At+(σrσvρ1ρ2qB-λr)A+κψB=0

(14)

(15)

(16)

解式(12)可得

a(t)=er(T-t)

(17)

的根的判別式。若Δ>0,

若Δ=0,

若Δ<0,

因此,式(13)的解為

(18)

解式(14)可得式(19)。

(19)

解式(15)可得式(20)。

(20)

解式(16)可得式(21)。

(21)

綜上所述,可以得到以下定理：

定理1在CARA效用函數下,養老金終端財富的期望效用最大化的最優投資策略可表示為

值函數可表示為

其中,a(t)、B(t)、A(t)、m(t)、n(t)分別由式(17)、(18)、(19)、(20)、(21)給出。

3 數值分析

利用數值算例分析風險規避系數、利率參數和波動率等參數對基金管理者的最優投資策略的影響。本文采用文獻[15,23]中的部分參數設置,基本參數設置如表1所示(另有說明的參數除外)。

表1 基本參數Table 1 The basic parameters

3.1 風險規避系數q對最優投資策略的影響

風險規避系數q對基金管理者的最優投資策略的影響如圖1所示。由圖1可知,股票的投資比例隨風險規避系數的增加而降低。這是由于隨著風險厭惡系數的增加,基金管理者對風險的厭惡程度增加。為了規避風險,基金管理者更傾向于減少對股票的投資,而增加對無風險資產的投資,這符合實際的市場情況,進一步說明模型的有效性。

圖1 參數q對最優投資策略的影響Fig.1 Effects of parameter q on the optimal investment strategy

3.2 利率參數對最優投資策略的影響

利率參數對基金管理者的最優投資策略的影響如圖2所示。由圖2可知,隨著利率的均值回復速度λr變大,利率對均值的回復時間變短,利率偏離均值水平的程度變小。因此,無風險資產的波動幅度減小,基金管理者更傾向于增加無風險資產的投資比例,而減少股票的投資比例。利率的波動率σr增加,表示利率風險增加,基金管理者更傾向于減少對無風險資產的投資比例,增加對股票的投資比例。

圖2 參數λr和σr對最優投資策略的影響Fig.2 Effects of parametersλr and σr on the optimal investment strategy

3.3 波動率參數對最優投資策略的影響

波動率參數對基金管理者的最優投資策略的影響如圖3所示。由圖3可知,隨著股票波動率的均值回復速度κ的增加,波動率對均值的回復時間變短,股票的價格變化幅度減小,股票的回報變得更加可預測,因此基金經理傾向于增加股票的投資比例。股票的方差波動率σv越大通常意味著股票的波動風險越高,因此基金經理傾向于降低股票的投資比例以避免風險。

4 結 語

在DC型養老金最優投資問題中,基金管理者需同時考慮利率風險、波動風險和隨機工資具有現實意義和理論價值。利用動態規劃方法,通過求解HJB方程,得到在CARA效用函數下的最優投資策略。通過數值算例分析了風險規避系數、利率參數和波動率參數對最優投資策略的影響。研究結果表明：隨著風險規避系數的增大,投資于股票的比例顯著下降;利率均值回復速度和股票的方差波動率的增加均會導致投資于股票的比例下降,而利率波動率和股票均值回復速度的增加均會導致投資于股票的比例上升。本文不僅擴展了原有的模型,而且使得擴展后的模型更貼近實際市場。研究結果對基金管理者的投資決策具有一定的現實指導意義,為后續的研究提供一定的理論基礎。