培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)理解力”的策略

唐榮芹

摘? ?要：在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)知過程、認(rèn)知聯(lián)結(jié)、認(rèn)知遷移，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的“工具性理解”“關(guān)系性理解”和“創(chuàng)新性理解”，其過程與形式不是固化的，要遵循學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律。“理解性”教學(xué)，能夠有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)? ?數(shù)學(xué)理解? ?實(shí)踐性策略

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)認(rèn)知、理解、應(yīng)用的過程。其中，“理解”是一個(gè)中間過程，一方面是學(xué)生認(rèn)知的結(jié)果，另一方面是學(xué)生應(yīng)用的前提與條件。從認(rèn)知主義視角來看，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解就是一個(gè)對(duì)相關(guān)信息進(jìn)行感知、接受、編碼的過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生能對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行深度的表征與加工。

一、認(rèn)知過程，促成學(xué)生“工具性理解”

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師往往采用“掐頭去尾燒中段”的做法，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)論，忽略了知識(shí)的起源和應(yīng)用。筆者認(rèn)為，完整的知識(shí)學(xué)習(xí)過程應(yīng)從知識(shí)的發(fā)生開始，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行逐層建構(gòu)與逐層抽象，即所謂的“一次建構(gòu)”“二次建構(gòu)”“一次抽象”“二次抽象”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知過程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的“工具性理解”。“工具性理解”可以分為兩個(gè)層面：一是“表象性理解”，二是“解釋性理解”。“表象性理解”是指學(xué)生能陳述數(shù)學(xué)知識(shí)，能對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行表征，包括直觀表征、符號(hào)表征；“解釋性理解”是指學(xué)生能表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的推導(dǎo)過程，能舉例驗(yàn)證、解釋規(guī)則、識(shí)別錯(cuò)誤，包括意義性表征、價(jià)值性表征等。

以教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）”為例，該單元主要是引導(dǎo)學(xué)生從日常生活中“分東西”開始，讓學(xué)生逐步建構(gòu)“分?jǐn)?shù)”概念。在教學(xué)過程中，首先，筆者創(chuàng)設(shè)“平均分”的情境，引導(dǎo)學(xué)生分餅、分蘋果，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作，用圓形、長(zhǎng)方形、正方形、三角形等不同形狀的紙片代表不同形狀的餅，將之平均分成兩份，進(jìn)而建構(gòu)“[12]”這樣的一個(gè)分?jǐn)?shù)，與“一半”“半個(gè)”等日常概念聯(lián)系起來。其次，引導(dǎo)學(xué)生思考：“為什么平均分的東西不同、每一份的形狀與大小也不同，卻表示相同的分?jǐn)?shù)呢？”引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)“[13]”“[14]”等分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到“分?jǐn)?shù)”的“分子”“分?jǐn)?shù)線”“分母”表示的含義。最后，引導(dǎo)學(xué)生抽象、概括出一般性的“分?jǐn)?shù)”概念。

二、認(rèn)知聯(lián)結(jié)，促成學(xué)生“關(guān)系性理解”

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種積極、主動(dòng)、有意義的建構(gòu)過程。所謂“建構(gòu)”就是學(xué)生將數(shù)學(xué)新知識(shí)納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中。因此，在建構(gòu)知識(shí)的過程中，教師要促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)關(guān)聯(lián)，完善學(xué)生的自我認(rèn)知結(jié)構(gòu)。實(shí)踐證明，認(rèn)知聯(lián)結(jié)有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的“關(guān)系性理解”。較之“工具性理解”，“關(guān)系性理解”更深入，要求學(xué)生不僅知道“做什么”“怎么做”，還知道“為什么這么做”，有助于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移與應(yīng)用。在“關(guān)系性理解”過程中，學(xué)生有兩方面的學(xué)習(xí)樣態(tài)：一是“同化”，二是“順應(yīng)”。當(dāng)新知識(shí)能順利納入學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中時(shí)，學(xué)生就發(fā)生了積極的認(rèn)知心理同化；當(dāng)新知識(shí)不能順利納入學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中時(shí)，學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)就會(huì)發(fā)生改變，以便讓新知識(shí)納入其中，這就是“順應(yīng)”。

以教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）”為例，該單元主要是引導(dǎo)學(xué)生“平均分”由許多物體組成的整體。在教學(xué)過程中，筆者充分利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，即一個(gè)數(shù)的幾分之一（幾分之幾），引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“整體的幾分之一（幾分之幾）”，并讓學(xué)生自覺將“整體的幾分之一（幾分之幾）”與“一個(gè)物體的幾分之一（幾分之幾）”進(jìn)行對(duì)比，深化學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)知，幫助學(xué)生理解“表征一個(gè)物體的分?jǐn)?shù)”和“表征許多物體組成的整體的分?jǐn)?shù)”的相同點(diǎn)。接著，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：“為什么平均分的總個(gè)數(shù)不同，卻表示相同的分?jǐn)?shù)？為什么平均分的總數(shù)相同或每一份表示的個(gè)數(shù)相同，卻表示不同的分?jǐn)?shù)？”從而通過正反的提問，讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行辨析。

“關(guān)系性理解”能發(fā)展、完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生原本不完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)變得完整。因此，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)、發(fā)展自我的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不僅要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解“一個(gè)物體的幾分之一（幾分之幾）”，還要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解“許多物體組成的整體的幾分之一（幾分之幾）”。只有這樣，學(xué)生才能真正建構(gòu)完整的“分?jǐn)?shù)意義”，從而將“一個(gè)物體”“一個(gè)計(jì)量單位”和“許多物體組成的整體”抽象、提煉、概括出“單位‘1’”。“關(guān)系性理解”有助于讓學(xué)生形成“數(shù)學(xué)的眼光”和“數(shù)學(xué)的大腦”。

三、認(rèn)知遷移，促成學(xué)生“創(chuàng)新性理解”

在“創(chuàng)新性理解”過程中，學(xué)生會(huì)積極主動(dòng)地調(diào)動(dòng)自我的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，對(duì)自我的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行重組與遷移。創(chuàng)新不僅是學(xué)生深度認(rèn)知的結(jié)果，還是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力。“創(chuàng)新性理解”一方面離不開學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，另一方面離不開教師的啟發(fā)、點(diǎn)撥與引領(lǐng)。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的“創(chuàng)新性理解”，是建立在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的“工具性理解”“關(guān)系性理解”基礎(chǔ)之上的。“創(chuàng)新性理解”表現(xiàn)為學(xué)生能有效地應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，能積極主動(dòng)遷移相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，能深度調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，能形成對(duì)數(shù)學(xué)問題的解決策略等。

以教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）”為例，在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)了“一個(gè)物體的幾分之一（幾分之幾）”以及“許多物體組成整體的幾分之一（幾分之幾）”之后，筆者對(duì)這兩個(gè)方面的內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比、抽象、概括，建構(gòu)“分?jǐn)?shù)的意義”，也就是建構(gòu)“單位‘1’的幾分之一（幾分之幾）”。同時(shí)，溝通分?jǐn)?shù)與除法之間的聯(lián)系，促成學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的“創(chuàng)新性理解”。比如，學(xué)生認(rèn)識(shí)到“分?jǐn)?shù)的分子也可以大于分母”“一個(gè)物體的幾分之幾相當(dāng)于幾個(gè)物體的幾分之一”“平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小，分?jǐn)?shù)的大小不變”，等等。創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)理解不僅要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)“知其然”，還要“知其所以然”。如針對(duì)“分?jǐn)?shù)”這一概念的教學(xué)，教師要讓學(xué)生既理解“分?jǐn)?shù)的定義”，又理解分?jǐn)?shù)“商的定義”“比的定義”，進(jìn)而幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)的“線段模型”“幾何載體”，理解分?jǐn)?shù)的“數(shù)系擴(kuò)張”。只有這樣，學(xué)生才能創(chuàng)造性地解決相關(guān)的分?jǐn)?shù)問題，能對(duì)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”以及“一個(gè)數(shù)的幾分之幾”等，應(yīng)用“分?jǐn)?shù)的意義”“分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵本質(zhì)”進(jìn)行分析。

在教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從表象出發(fā)，讓學(xué)生對(duì)相關(guān)的問題進(jìn)行逐步的分析，關(guān)聯(lián)自我的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，對(duì)自我的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造與重組；要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行多維度審視、多維度考量；要立足于多個(gè)視角，從多個(gè)層面進(jìn)行認(rèn)知；要從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生的理解從表象深入本質(zhì)、從本質(zhì)深入關(guān)聯(lián)；要設(shè)置一些富有挑戰(zhàn)性的問題，引發(fā)的學(xué)生深度思考與充分表達(dá)。教師要通過理解性教學(xué)，讓學(xué)生獲得靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊澤忠.關(guān)于數(shù)學(xué)理解過程的調(diào)查研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（6）：50-53.

[2]馬復(fù).試論數(shù)學(xué)理解的兩種類型：從R.斯根普的工作談起[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001（3）：50-53.

[3]荀步章.數(shù)學(xué)理解：發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)策略[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2022（12）：53-57.◆（作者單位：江蘇省灌南縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）