非圓弧拱面內(nèi)自由振動實用解析

胡常福, 朱順順, 張 鑫, 羅文俊

(華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院,南昌 330013)

拱結(jié)構(gòu)的自由振動特性,是反映其結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)的重要指標(biāo),一直是學(xué)者和工程師關(guān)注的重點。采用極坐標(biāo)系表達(dá)的圓弧拱結(jié)構(gòu)自由振動問題,已經(jīng)得到了大量研究者的關(guān)注[1-2]。然而,圓弧拱對應(yīng)著以等深靜水壓力為代表的均勻徑向荷載,在豎向荷載為主的拱橋工程中應(yīng)用較少[3-4]。拱橋工程中的拱軸線與荷載,均以笛卡爾直角坐標(biāo)系為基礎(chǔ)。因此,研究笛卡爾直角坐標(biāo)系下非圓弧拱結(jié)構(gòu)自由振動問題,在拱橋工程中有著重要的意義。

針對笛卡爾直角坐標(biāo)系下非圓弧拱結(jié)構(gòu)的自由振動問題,Lee等[5]在直角坐標(biāo)系下通過數(shù)值方法計算了固接、鉸接的拋物線拱的自由振動振型與頻率;Yau[6]研究了拋物線兩鉸拱在移動荷載與豎向地面激勵共同作用下的振動問題;Serdoun等[7]基于有限元法和高階剪切變形理論研究了拋物線復(fù)合材料拱固有頻率的影響因素;Eroglu等[8]采用無量綱方法,通過矩陣求解拱結(jié)構(gòu)控制方程,得到拋物線拱固有頻率變化與損傷位置的關(guān)系;劉茂等[9]基于絕對節(jié)點坐標(biāo)法研究了變截面Euler-Bernoulli拱的面外振動特性。

以上笛卡爾直角坐標(biāo)系下拱結(jié)構(gòu)自由振動的研究中,均使用數(shù)值方法,未能得到非圓弧拱結(jié)構(gòu)自由振動解析。解析解或?qū)嵱媒馕鰧沂玖W(xué)現(xiàn)象、促進(jìn)行業(yè)規(guī)范更新等方面有著重要的意義。為填補非圓弧拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動解析的空白,本文以笛卡爾直角坐標(biāo)系下拱結(jié)構(gòu)線性應(yīng)變與Hamilton原理為基礎(chǔ),推演非圓弧拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動變系數(shù)平衡微分方程;基于陡拱與淺拱振型的相似性,推演得到非圓弧拱面內(nèi)自振頻率高精度實用解析,揭示了非圓弧拱自振頻率與同參數(shù)直梁非一階面內(nèi)自振頻率之間的比例關(guān)系,并通過有限元數(shù)值結(jié)果驗證了本文方法的精確性。

1 非圓弧拱面內(nèi)自由振動變系數(shù)平衡微分方程

1.1 基本假定與坐標(biāo)系

為推演笛卡爾直角坐標(biāo)系下非圓弧拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動實用解析,使用以下基本假定:

(1) 拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動是線性小撓度的,不考慮拱結(jié)構(gòu)的幾何非線性效應(yīng);

(2) 結(jié)構(gòu)自由振動過程中,材料始終處于彈性工作范圍內(nèi);

(3) 結(jié)構(gòu)所有面外位移均被約束;

(4) 結(jié)構(gòu)以豎向振動為主,水平振幅遠(yuǎn)比豎向振幅小;

(5) 結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動是微小的,不會引起拱結(jié)構(gòu)軸線長度的變化;

(6) 結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動為簡諧振動,陡拱與淺拱振型沒有顯著差異。

如圖1所示,本文使用2個笛卡爾直角坐標(biāo)系,全局坐標(biāo)系yoz與局部坐標(biāo)系y*o*z*來描述非圓弧拱面內(nèi)自由振動。全局坐標(biāo)系yoz的原點o位于左側(cè)拱腳處,oz軸水平向右,oy軸豎直向下;局部坐標(biāo)系y*o*z*的原點o*是拱軸線上任意一點,o*z*為o*點拱軸線的切線方向,y*o*是o*點拱軸線的內(nèi)法線方向。

圖1 非圓弧拱面內(nèi)自由振動

1.2 變系數(shù)平衡微分方程

根據(jù)基本假定式(1)與式(2),非圓弧拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)線性自由振動滿足Hamilton基本原理[10-12]:系統(tǒng)微小的虛位移引起的虛動能與虛勢能的和為零,可表示為

(1)

式中:T與U為非圓弧拱結(jié)構(gòu)動能與勢能;δ(·)為變分函數(shù);t為時間,t1與t2為任意2個時刻。直角坐標(biāo)系下非圓弧拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動時的虛動能,可表示為

(2)

(3)

式中:V為拱結(jié)構(gòu)體積;εm與εb為拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)壓縮與彎曲應(yīng)變;σm與σb為拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)壓縮與彎曲應(yīng)力,σm=Eεm,σb=Eεb,E為拱結(jié)構(gòu)彈性模量,在笛卡爾直角坐標(biāo)系下非圓弧拱面內(nèi)線性應(yīng)變可表示為[13-14]

(4)

式中:y*為非圓弧拱主拱圈橫截面內(nèi)法線坐標(biāo);y為非圓弧拱軸豎坐標(biāo);z為全局笛卡爾直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo);f為拱結(jié)構(gòu)矢高;(·)″=?2(·)/?z2。將式(4)代入式(3),可得非圓弧拱結(jié)構(gòu)自由振動時虛勢能為

(5)

將式(2)與式(5)代入式(1),并考慮虛位移δw與δv的任意性,可得非圓弧拱面內(nèi)自由振動水平方向平衡微分方程

(6)

與豎直方向振動平衡微分方程

(7)

(8)

根據(jù)歐拉伯努利梁理論可知,拱軸力N可表示為

N=-EAεm

(9)

根據(jù)基本假定式(5)可知,非圓弧拱結(jié)構(gòu)在面內(nèi)小幅自由振動,不會引起拱軸線長度的變化,可得

(10)

將式(10)代入式(7),可得

(11)

式(11)即為笛卡爾直角坐標(biāo)系下非圓弧拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動變系數(shù)平衡微分方程。

2 非圓弧拱自由振動變系數(shù)平衡微分方程實用解析

由于數(shù)學(xué)學(xué)科中變系數(shù)微分方程研究不夠成熟,如式(11)所示的非圓弧拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動變系數(shù)微分方程無法得到解析。因此,必須對如式(11)所示的變系數(shù)微分方程進(jìn)行適當(dāng)簡化與近似,方能獲得高精度實用解析,以期在拱橋規(guī)范修訂中發(fā)揮應(yīng)有的價值。

如式(11)所示的非圓弧拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動變系數(shù)平衡微分方程,當(dāng)滿足淺拱假設(shè)時[15]

1+y′2≈1

(12)

式(11)可以簡化為非圓弧淺拱面內(nèi)自由振動的常系數(shù)平衡微分方程

(13)

式中:v0為非圓弧淺拱豎向自由振動位移;(·)iv=?4(·)/?z4。如式(13)所示的常系數(shù)微分方程通解為

v0(z,t)=v0(z)sin(ω0t)

(14)

式中:ω0為非圓弧淺拱自振頻率;v0(z)為非圓弧淺拱振型,可以表達(dá)為

(15)

式中: sh(·)為雙曲正弦函數(shù);ch(·)為雙曲余弦函數(shù);c1,c2,c3,c4為任意常數(shù)。根據(jù)非圓弧陡拱與淺拱在面內(nèi)振型上沒有顯著差異基本假定可知,如式(11)所示的陡拱面內(nèi)變系數(shù)平衡微分方程的解與如式(13)所示的淺拱面內(nèi)常系數(shù)平衡微分方程的解,具有相似性。因此,式(11)解的形式可以近似表示為

v(z,t)=v(z)sin(ωt)≈v0(z)sin(ωt)

(16)

式中:v(z)為非圓弧陡拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動振型;ω為非圓弧陡拱結(jié)構(gòu)自由振動振型v(z)對應(yīng)的振動頻率。將式(16)代入式(11),可得式(11)的不平衡差為

(17)

將式(13)對變量z積分兩次,可得

(18)

將式(18)代入式(17)并對變量z積分兩次,可得

(19)

由于非圓弧拱弧長曲線微分項1+y′2的存在,式(19)不能恒等于零。若退而求其次,令不平衡差在全拱范圍內(nèi)對變量z積分為零

(20)

可求得非圓弧陡拱自振頻率ω的實用解析。將式(19)代入式(20),可得

ω≈ξω0

(21)

式中,ξ為非圓弧陡拱自振頻率系數(shù)。

(22)

當(dāng)拱軸線為懸索線時

(23)

將式(23)代入式(22),可得懸索線陡拱自振頻率系數(shù)為

(24)

當(dāng)拱軸線為拋物線、懸鏈線、組合線[16-17]等其他非圓弧拱軸時,可采用近似曲線積分方法[18]得到如式(24)所示的其他非圓弧陡拱自振頻率系數(shù)ξ,具體數(shù)值如表1所示。

表1 非圓弧拱自振頻率系數(shù)ξ

將兩鉸拱邊界條件

(25)

代入式(15)可得非圓弧兩鉸拱振型函數(shù)為

(26)

式中:c5為任意常數(shù);n為正整數(shù),n=2,3,…。將如式(25)所示兩鉸拱邊界代入式(13)與式(21),可得非圓弧兩鉸陡拱自振頻率實用解析為

(27)

將無鉸拱邊界條件

(28)

代入式(15)可得非圓弧無鉸拱振型函數(shù)為

(29)

式中:c6為任意常數(shù);γ為系數(shù),可表示為

(30)

式中,θk為常數(shù),可表示為

(31)

式中:k為整數(shù),k=1,2,…。將如式(28)所示無鉸拱邊界代入式(13)與式(21),可得非圓弧無鉸陡拱自振頻率實用解析為

(32)

由式(13)可以看出,非圓弧淺拱面內(nèi)自由振動平衡微分方程與同參數(shù)直梁相同,進(jìn)而導(dǎo)致兩者自振頻率也相同。由式(21)、式(27)與式(32)可知,非圓弧陡拱面內(nèi)自振頻率在數(shù)值上與同參數(shù)非圓弧淺拱自振頻率之間,存在1個恒定參數(shù)ξ的比例關(guān)系,而該系數(shù)僅與矢跨比有關(guān)。該規(guī)律的發(fā)現(xiàn),在理論上首次揭示了非圓弧拱結(jié)構(gòu)與同參數(shù)直梁面內(nèi)自振頻率的關(guān)系,可為行業(yè)規(guī)范條文修訂提供參考。

3 算例驗證

為驗證本文提出的基本假定與非圓弧拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)線性自由振動頻率高精度實用解析,選擇跨徑L=100 m、矢跨比為f/L=1/10～1/4的非圓弧拱結(jié)構(gòu)作為算例。拱軸線選取拋物線、懸索線、拱軸系數(shù)3.500的懸鏈線、拋物線與懸索線組合線(Cq=Cg=0.5)、拋物線與懸鏈線及懸索線的組合線(Cq=Cγ=Cg=0.333 3);主拱圈橫截面為半徑1 m的圓形,面積A=3.141 59 m2,慣性矩Ix=0.785 4 m4;材料彈性模量E=210 GPa,泊松比v=0.2。

使用有限元軟件ANSYS作為本文算例數(shù)值計算平臺。在以上結(jié)構(gòu)參數(shù)基礎(chǔ)上,使用兩節(jié)點6自由度空間梁單元Beam4建立本文算例自由振動有限元模型。在兩拱腳處節(jié)點設(shè)置平面內(nèi)鉸接或固接邊界,并在所有節(jié)點設(shè)置面外線位移約束以防止發(fā)生面外振動。使用結(jié)構(gòu)模塊計算本算例非圓弧兩鉸拱和無鉸拱前十階自振頻率,并通過后處理模塊導(dǎo)出本算例非圓弧兩鉸拱和無鉸拱前十階振型與自振頻率數(shù)據(jù)。收斂驗證結(jié)果表明,含有300個BEAM4梁單元且水平方向均勻劃分單元節(jié)點的有限元模型,可較好地兼顧有限元規(guī)模與自振頻率精確性。提取非圓弧兩鉸拱和無鉸拱自由振動數(shù)值結(jié)果,用以驗證本文基本假定與實用解析公式。

3.1 基本假定驗證

陡拱與淺拱振型沒有顯著差異基本假定,是本文方法中非圓弧拱變系數(shù)平衡微分方程近似解析的基礎(chǔ),必須得到嚴(yán)格的檢驗。

為驗證陡拱與淺拱振型沒有顯著差異基本假定不隨矢跨比的變化而變化,提取算例中矢跨比f/L=1/10～1/4拋物線兩鉸拱與無鉸拱結(jié)構(gòu)一階振型的正交規(guī)范化模態(tài),與本文方法振型函數(shù)式(26)和式(29)進(jìn)行比較。本文方法振型函數(shù)與有限元法結(jié)果的比較,如圖2所示。由圖2可知,矢跨比f/L=1/10～1/4兩鉸拱與無鉸拱的一階振型函數(shù),均與本文方法式(26)和式(29)吻合較好,表明陡拱與淺拱振型沒有顯著差異基本假定適用于不同矢跨比非圓弧拱結(jié)構(gòu)。

圖2 不同矢跨比振型函數(shù)驗證

為檢驗陡拱與淺拱振型沒有顯著差異基本假定不隨振型階次的變化而變化,選取矢跨比1/5的懸索線兩鉸拱與無鉸拱,提取有限元解中第一階至第五階結(jié)構(gòu)振型的正交規(guī)范化模態(tài),分別與本文方法式(26)和式(29)進(jìn)行對比,如圖3所示。由圖3可知,矢跨比1/5的懸索線兩鉸拱與無鉸拱前五階結(jié)構(gòu)振型,均與本文方法式(26)和式(29)吻合較好,表明陡拱與淺拱振型沒有顯著差異基本假定適用于非圓弧拱結(jié)構(gòu)不同階次振型。

圖3 不同階次振型函數(shù)驗證

為檢驗陡拱與淺拱振型沒有顯著差異基本假定不隨拱軸線的變化而變化,選取拋物線、懸索線、拱軸系數(shù)3.500的懸鏈線、拋物線與懸索線(Cq=Cg=0.5)組合線、拋物線與懸鏈線及懸索線的組合線(Cq=Cγ=Cg=0.333 3),提取矢跨比1/8兩鉸拱與無鉸拱有限元解中第五階振型的正交規(guī)范化模態(tài),分別與本文方法式(26)和式(29)進(jìn)行對比,如圖4所示。由圖4可知,在五種不同的非圓弧拱軸線中,本文方法式(26)和式(29)均與有限元解吻合較好,表明陡拱與淺拱振型沒有顯著差異基本假定適用于不同非圓弧拱結(jié)構(gòu)。

圖4 不同拱軸線第五階振型函數(shù)驗證

非圓弧拱結(jié)構(gòu)以豎向振動為主,水平振幅遠(yuǎn)比豎向振幅小基本假定,是本文非圓弧拱變系數(shù)平衡微分方程建立的基礎(chǔ),也必須得到嚴(yán)格的檢驗。

為檢驗非圓弧拱以豎向振動為主基本假定不隨矢跨比的變化而變化,提取算例中矢跨比拋物線兩鉸拱與無鉸拱結(jié)構(gòu)一階振型的豎向與水平分量,兩者對比結(jié)果如圖5所示。由圖5可知,不同矢跨比下拋物線兩鉸拱與無鉸拱結(jié)構(gòu)一階振型的豎向振幅均大于水平振幅,且水平振幅始終在較小的范圍內(nèi),表明以豎向振動為主基本假定適用于不同矢跨比非圓弧拱結(jié)構(gòu)。

圖5 不同矢跨比振幅驗證

為檢驗非圓弧拱以豎向振動為主基本假定不隨振型階次的變化而變化,提取算例中矢跨比1/5懸索線兩鉸拱與無鉸拱有限元解中第一至第三階振型的豎向與水平振幅分量,兩者結(jié)果對比如圖6所示。由圖6可知,懸索線兩鉸拱與無鉸拱第一至第三階振型的豎向分量始終大于水平分量,表明非圓弧拱以豎向振動為主基本假定適用于非圓弧拱結(jié)構(gòu)不同階次振型。

圖6 不同振型振幅驗證

為檢驗非圓弧拱以豎向振動為主基本假定不隨拱軸線的變化而變化,選取拋物線、懸索線、拱軸系數(shù)3.500的懸鏈線、拋物線與懸索線(Cq=Cg=0.5)組合線、拋物線與懸鏈線及懸索線的組合線(Cq=Cγ=Cg=0.333 3),提取矢跨比1/8兩鉸拱與無鉸拱有限元解中第五階振型中的豎向與水平分量,兩者對比結(jié)果如圖7所示。由圖7可知,不同非圓弧拱豎向振幅遠(yuǎn)大于水平振幅,且水平振幅始終在較小的范圍內(nèi),表明以豎向振動為主基本假定適用于不同拱軸線的非圓弧拱結(jié)構(gòu)。

圖7 不同矢跨比振幅驗證

3.2 自振頻率驗證

為檢驗本文方法非圓弧拱面內(nèi)自由振動實用解析的精確性,提取有限元算例中矢跨比f/L=1/10～1/4拋物線兩鉸拱與無鉸拱結(jié)構(gòu)前十階頻率數(shù)值結(jié)果,與本文方法自振頻率實用解析式(27)和式(32)進(jìn)行比較,本文方法所得自振頻率數(shù)值如圖8所示,兩者的相對誤差如圖9所示。由圖9可知,與有限元結(jié)果相比本文方法具有較好的精度,無鉸拱相對誤差小于兩鉸拱;無鉸拱最大相對誤差小于5%,兩鉸拱最大相對誤差為7.71%,為矢跨比為1/5拋物線兩鉸拱第六階自振頻率,具體數(shù)值如表2所示。

表2 不同矢跨比下拋物線自振頻率最大誤差驗證

圖8 本文方法拋物線拱自由振動頻率

圖9 拋物線拱自由振動頻率驗證

為檢驗本文方法非圓弧拱面內(nèi)自由振動實用解析在各種非圓弧拱軸線下的精確性,提取有限元算例中矢跨比f/L=1/10～1/4、拱軸系數(shù)m=1.167～3.500懸鏈線兩鉸拱與無鉸拱結(jié)構(gòu)第六階自振頻率數(shù)值結(jié)果,與本文方法式(27)和式(32)進(jìn)行對比,本文方法所得非圓弧拱第六階自由振動頻率數(shù)值如圖10所示,兩者的相對誤差如圖11所示。由圖11可知,與有限元結(jié)果相比本文方法具有較好的精度,無鉸拱相對誤差小于兩鉸拱;無鉸拱最大相對誤差小于5%,兩鉸拱最大相對誤差為7.48%,為矢跨比為1/5拱軸系數(shù)m=3.412懸鏈線兩鉸拱結(jié)構(gòu),具體數(shù)值如表3所示。

表3 不同拱軸系數(shù)懸鏈線自振頻率最大誤差驗證

圖10 本文方法非圓弧拱第六階自由振動頻率

圖11 非圓弧拱自由振動頻率驗證

綜合圖8、圖9、圖10與圖11,可以得出本文方法非圓弧拱面內(nèi)自由振動實用解析滿足工程精度要求的結(jié)論。

4 結(jié) 論

本文針對直角坐標(biāo)系下非圓弧拱面內(nèi)自由振動沒有解析的現(xiàn)狀,提出了一種變系數(shù)平衡微分方程的解析方法。基于笛卡爾直角坐標(biāo)系下拱結(jié)構(gòu)線性應(yīng)變表達(dá)式與Hamilton原理,推演了拋物線拱面內(nèi)自由振動變系數(shù)平衡微分方程;將該變系數(shù)平衡微分方程對應(yīng)常系數(shù)平衡微分方程的通解,代入變系數(shù)平衡微分方程得到不平衡差,當(dāng)該不平衡差沿全拱的積分為零時,得到拋物線拱面內(nèi)自振頻率高精度實用解析;并通過有限元解驗證了本文方法,基于此,得到以下結(jié)論:

(1) 本文提出的變系數(shù)平衡微分方程近似解析方法,可以推演得到直角坐標(biāo)系下非圓弧拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動的高精度實用解析。

(2) 拱橋工程中常用非圓弧拱陡拱與淺拱振型沒有顯著差異。

(3) 非圓弧面內(nèi)自由振動頻率,與同參數(shù)直梁非一階自振頻率,存在恒定參數(shù)比例關(guān)系。

(4) 本文推演的拱結(jié)構(gòu)自由振動頻率的高精度近似解析,與有限元結(jié)果吻合較好,滿足工程應(yīng)用精度要求。