融合多工況功率譜密度函數(shù)的工作模態(tài)分析方法

曾舒洪, 康 杰, 孫嘉寶, 羅 杰

(南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院,南京 211106)

工作模態(tài)分析(operational modal analysis,OMA)[1]方法通過對結(jié)構(gòu)在環(huán)境激勵下輸出響應(yīng)測量的分析,提取反映結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的模態(tài)參數(shù)。模態(tài)參數(shù)在結(jié)構(gòu)設(shè)計、結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測以及工作狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的振動控制等方面具有重要的應(yīng)用價值[2-4],因此快速精確地識別模態(tài)參數(shù)十分必要。頻域分解(frequency domain decomposition,FDD)法是OMA的一種,最早由Brincker等[5]提出,該方法在結(jié)構(gòu)受白噪聲激勵以及結(jié)構(gòu)小阻尼的前提下,可較好的識別結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)振型,且可識別結(jié)構(gòu)的密集模態(tài)。然而,結(jié)構(gòu)在工作狀態(tài)下受到非白噪聲激勵現(xiàn)象普遍存在,非白噪聲激勵的功率譜密度在關(guān)心頻帶內(nèi)不是常數(shù)。根據(jù)關(guān)心頻帶內(nèi)激勵頻譜的峰值形式,非白激勵可分為三類:①存在諧波成分的環(huán)境激勵,如結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)部件產(chǎn)生的諧波激勵[6];②存在激勵主頻的噪聲激勵,如運載火箭飛行時受到的發(fā)動機推力振蕩[7];③不存在主頻的非平譜噪聲激勵,如嘈雜環(huán)境中的聲波激勵[8]。三類非白激勵功率譜密度曲線如圖 1所示。

上述三類非白激勵中,前兩類均會產(chǎn)生虛假模態(tài),第三類會引起有偏的辨識結(jié)果且存在弱模態(tài)辨識問題,本文僅討論前兩類非白激勵導(dǎo)致的虛假模態(tài)辨識問題。

目前,已有部分文獻對非白噪聲激勵下模態(tài)識別問題開展了研究。Zhang等[9]提出基于Gabor展開的模態(tài)參數(shù)識別方法,可用于估計線性時不變系統(tǒng)在非白激勵下的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型,但該方法不適用于存在密集模態(tài)的結(jié)構(gòu)。Brincker等[10]提出基于響應(yīng)的概率密度函數(shù)(probability density function,PDF)區(qū)分結(jié)構(gòu)的諧波響應(yīng)和隨機響應(yīng),但當結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比很小時,其模態(tài)頻率處峰值與諧波峰值形狀相近,該方法失效。Guillaume等[11]提出了響應(yīng)傳遞率的概念并將其用于非白激勵下的模態(tài)辨識;為克服傳遞率方法需要多個激勵工況的問題,Yan等[12]提出了基于功率譜密度傳遞率(power spectral density transmissibility,PSDT)的模態(tài)識別方法。該方法結(jié)合同一工況下不同轉(zhuǎn)移通道對應(yīng)的PSDT函數(shù),成功辨識出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。在此基礎(chǔ)上,Yan等[13-14]提出了一系列改進方法,降低了PSDT方法辨識虛假極點的風(fēng)險。目前,PSDT方法在工程中廣泛運用,但其原理為PSDT矩陣的秩在模態(tài)頻率處為1,非模態(tài)頻率處大于1,因此該方法在以下情況失效:①結(jié)構(gòu)受到諧波激勵;②結(jié)構(gòu)僅在一個位置受到非白噪聲激勵;③結(jié)構(gòu)在多個位置受到非白噪聲激勵,但各位置處的非白激勵是相關(guān)的。此外,PSDT類方法也無法識別結(jié)構(gòu)密集模態(tài)。為解決上述問題,本文提出融合多工況功率譜密度(power spectral density ,PSD)函數(shù)的工作模態(tài)分析方法,并通過理論分析和試驗驗證,驗證了該方法的有效性。

1 FDD方法原理

FDD法基本思想是先計算出響應(yīng)的PSD矩陣,而后對矩陣進行奇異值分解(singular value decomposition,SVD),將多自由度系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為單自由度系統(tǒng)的疊加,從而識別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。本章簡要概述FDD方法的原理,詳細推導(dǎo)見文獻[15-16]。

結(jié)構(gòu)激勵PSD函數(shù)矩陣和響應(yīng)的PSD矩陣的關(guān)系可表示為

Sxx(iω)=H*(iω)Sff(iω)HT(iω)

(1)

式中:上標“*”和“T”分別為矩陣的共軛和轉(zhuǎn)置;i為虛部單位;ω為圓頻率;Sff(iω),Sxx(iω)分別為結(jié)構(gòu)激勵和響應(yīng)的PSD矩陣。在比例阻尼的假設(shè)下,結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)(frequency response function,FRF)矩陣H(iω)可以用部分分式的形式表示為

(2)

式中:Nm為結(jié)構(gòu)模態(tài)的階數(shù);λr為第r階模態(tài)極點;Rr為第r階模態(tài)留數(shù)矩陣,可表示為

(3)

式中,φr和γr分別為第r階模態(tài)振型和模態(tài)參與因子向量。假設(shè)結(jié)構(gòu)激勵為白噪聲,則激勵PSD矩陣Sff(iω)在所有頻率下為常數(shù),將式(2)代入式(1)可得

(4)

式中:上標“H”為矩陣共軛轉(zhuǎn)置;Ar為響應(yīng)PSD的留數(shù)矩陣,可表示為

(5)

式中,C表示與激勵PSD矩陣相關(guān)的常數(shù)Hermitian矩陣。在結(jié)構(gòu)阻尼為小阻尼的假設(shè)下,第r階模態(tài)極點可表示為

(6)

式中,ωn,r和ξr分別為第r階無阻尼模態(tài)頻率和相應(yīng)的阻尼比。在小阻尼情況下,σr?ωd,r,則第r階留數(shù)矩陣Ar可簡化為

(7)

進一步式可近似為

(8)

考慮關(guān)心頻帶內(nèi)的所有結(jié)構(gòu)模態(tài),則式(8)可表示為

(9)

式中:ψ=[φ1φ2…φNm]為模態(tài)振型矩陣;diag(·)為對角矩陣;Re(·)為取復(fù)數(shù)實部。當頻率接近第r階有阻尼模態(tài)頻率ωd,r時,其他模態(tài)可忽略,式(9)可簡化為

(10)

對進行SVD可得

Sxx(iω)=UΣUH

(11)

式中:U為酉矩陣,各列為奇異向量且相互正交;Σ為由奇異值組成的實對角矩陣。

在第r階有阻尼模態(tài)頻率ωd,r附近,響應(yīng)PSD矩陣Sxx(iω)可由式(10)近似,此時Sxx(iω)的第1階奇異值遠大于其余奇異值,矩陣U的第一列與模態(tài)振型成比例。因此,可通過Sxx(iω)第1階奇異值的峰值位置確定模態(tài)頻率,根據(jù)矩陣U第一列估計模態(tài)振型。當結(jié)構(gòu)中存在密集模態(tài)時,模態(tài)頻率處第1階和第2階奇異值均會出現(xiàn)峰值,此時密集模態(tài)的模態(tài)振型可通過矩陣U的第一列和第二列估計。

2 FDD方法性能分析

2.1 FDD方法性能影響因素分析

由第1章分析可知,在非密集模態(tài)頻率處,結(jié)構(gòu)響應(yīng)PSD矩陣的秩為1,此時結(jié)構(gòu)模態(tài)振型可由左奇異矩陣第一列估計;若結(jié)構(gòu)在某一頻率出現(xiàn)兩階密集模態(tài),PSD矩陣的秩則為2,此時密集模態(tài)振型可由左奇異矩陣的第一列和第二列分別估計。因此,PSD矩陣的秩是影響FDD方法識別精度的決定性因素。本章通過對響應(yīng)PSD矩陣秩的影響因素進行分析,揭示FDD方法在非白激勵下存在的不足。

為表述簡便,本章公式中略去虛部單位i。結(jié)構(gòu)響應(yīng)PSD矩陣可表示為如下分量形式

(12)

rank(H(ω))=min(No,Ni,nm(ω))

(13)

式中:nm(ω)為頻率ω處的主要模態(tài)階數(shù);rank(·),min(·)分別為取矩陣的秩和最小值。

在實際應(yīng)用中,響應(yīng)PSD函數(shù)通過Welch方法計算,以減小統(tǒng)計誤差[18]。Welch方法首先將測量的響應(yīng)信號分割成多個數(shù)據(jù)段,然后對每個數(shù)據(jù)段加窗函數(shù)(Hanning窗、Hamming窗等)后計算PSD,最后所有數(shù)據(jù)段平均得到PSD估計值。如果將信號分割成Nw段,則PSD矩陣Sff(ω)可由下式計算

(14)

式中,f(ω)為第i個窗口激勵向量,且F(ω)=[f1(ω)f2(ω) …fNw(ω)]。假設(shè)在結(jié)構(gòu)上存在Nμ個不相關(guān)的激勵源,且Nμ≤Ni,則式(14)中F(ω)的秩為Nμ。由于在環(huán)境激勵中Nw個數(shù)據(jù)段近似不相關(guān),F(ω)為列滿秩矩陣,則

rank(F(ω))=min(Nw,Nμ)

(15)

結(jié)合式(13)和式(15),且考慮Nμ≤Ni,響應(yīng)PSD矩陣Sxx(ω)的秩可表示為

rank(Sxx(ω))=min(No,Nμ,Nw,nm(ω))

(16)

由式(16)可以看出,響應(yīng)PSD矩陣Sxx(ω)的秩滿足以下性質(zhì):

(1)響應(yīng)PSD矩陣Sxx(ω)的秩等于響應(yīng)個數(shù)No、不相關(guān)激勵源數(shù)Nμ、分割窗個數(shù)Nw、主導(dǎo)模態(tài)階數(shù)nm(ω)中的最小值。

(2)響應(yīng)PSD矩陣Sxx(ω)的秩與激勵個數(shù)Ni無關(guān)。

(3)在非密集模態(tài)處,矩陣的秩為1。在密集模態(tài)處主導(dǎo)模態(tài)階數(shù)nm(ω)≥2,則矩陣的秩>1。

你知道這個現(xiàn)象背后的意義嗎？現(xiàn)在很多早教中心都已經(jīng)把這個現(xiàn)象發(fā)展為一個特定的親子游戲了，其背后的理論就是認為寶寶照鏡子是在認識自己，這是一種以感官體驗建立與周圍事物聯(lián)系的訓(xùn)練方法。

2.2 FDD方法的不足

如第1章所述,FDD方法的基本思想是結(jié)構(gòu)受白噪聲激勵以及結(jié)構(gòu)小阻尼的前提下,通過PSD矩陣的秩來識別結(jié)構(gòu)模態(tài)以及判斷結(jié)構(gòu)中是否存在密集模態(tài)。但結(jié)構(gòu)受到非白噪聲激勵的情況下,由于非白噪聲激勵的功率譜不是平譜,在其激勵主頻處存在峰值。此時,結(jié)構(gòu)響應(yīng)PSD函數(shù)在激勵主頻處也會出現(xiàn)峰值,響應(yīng)PSD矩陣的秩在激勵主頻處將由不相關(guān)非白激勵源的個數(shù)決定。因此,FDD方法在非白噪聲激勵下存在的問題可歸納如下:

(1)當結(jié)構(gòu)單個點受到非白環(huán)境激勵或結(jié)構(gòu)多個點受到相關(guān)的非白環(huán)境激勵時,響應(yīng)PSD矩陣在非白激勵主頻處的秩為1,此時FDD方法會將非白激勵主頻誤識別為結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率。

(3)若結(jié)構(gòu)受到諧波激勵作用,當采用Welch方法估計響應(yīng)PSD矩陣時,由于各個時間段內(nèi)的諧波響應(yīng)總是相關(guān),因此得到的PSD矩陣在諧波激勵頻率處的秩總為1[19],此時FDD方法會將諧波頻率誤識別為結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率。

3 融合多工況功率譜密度函數(shù)的OMA方法

第2章中,FDD方法假設(shè)結(jié)構(gòu)所受激勵為白噪聲隨機激勵,當結(jié)構(gòu)受到非白激勵時,FDD方法會將激勵主頻錯誤識別為結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率。

由式可知,當輸出通道數(shù)No與分割窗口個數(shù)Nw足夠大時,響應(yīng)PSD矩陣Sxx(ω)秩等于不相關(guān)激勵源數(shù)目Nμ,且在模態(tài)頻率處等于此頻率處結(jié)構(gòu)模態(tài)階數(shù)nm。根據(jù)該性質(zhì),本文提出一種融合多個激勵工況下響應(yīng)PSD矩陣的OMA方法,解決第2.2節(jié)中指出的傳統(tǒng)FDD方法存在的不足。所提方法核心思想是:通過不同激勵工況下的響應(yīng)PSD矩陣構(gòu)建增廣PSD矩陣,隨后進行奇異值分解,在第1階奇異值峰值處比較單工況響應(yīng)PSD矩陣的秩與增廣PSD矩陣的秩,當秩相同時表明該峰值由結(jié)構(gòu)模態(tài)引起,否則由非白激勵引起,同時密集模態(tài)可由PSD矩陣秩的大小確定。

選擇多個不相關(guān)激勵工況下的響應(yīng)和判斷奇異值峰值處PSD矩陣的秩是所提方法應(yīng)用的關(guān)鍵。第3.1節(jié)介紹所提方法的原理及流程,第3.2節(jié)重點討論如何定量判斷所選激勵工況的不相關(guān)性,第3.3節(jié)給出確定PSD矩陣秩的定量準則。

3.1 方法原理及流程

由式可知,響應(yīng)PSD矩陣在結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率處與相應(yīng)的模態(tài)振型向量成比例。由于結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)屬于結(jié)構(gòu)固有屬性,因此在任何激勵條件下響應(yīng)PSD矩陣均具有該性質(zhì)。然而,在非白環(huán)境激勵的主頻處,響應(yīng)PSD矩陣的秩將會隨激勵作用方式的改變而改變。基于上述特性,本文提出融合多工況響應(yīng)PSD矩陣的FDD方法。

不同于傳統(tǒng)FDD方法僅利用單一激勵工況下的響應(yīng)PSD矩陣,本文方法首先將不同激勵工況下估計的響應(yīng)PSD矩陣組合為如下增廣PSD矩陣

(17)

(1)在模態(tài)頻率處等于此頻率處結(jié)構(gòu)模態(tài)階數(shù)nm,因此與單一激勵工況下PSD矩陣Sxx(ω)的秩相同;

(2)在其他頻率處,等于所有激勵工況下不相關(guān)激勵源數(shù)目之和,因此與Sxx(ω)的秩不同。

本文所提方法主要包括以下五個步驟:

步驟1不同激勵工況下響應(yīng)PSD矩陣估計

測量Nc(Nc≥2)個不同激勵工況下的結(jié)構(gòu)振動信號,并利用Welch方法估計各工況下的響應(yīng)PSD矩陣。為定量區(qū)分不同環(huán)境激勵工況,本文利用工況區(qū)分準則(load difference indicator,LDI)[20]對環(huán)境激勵工況進行區(qū)分,LDI準則的原理及表達式見第3.2節(jié)。

步驟2單激勵工況響應(yīng)PSD矩陣SVD分解

步驟3多激勵工況響應(yīng)PSD矩陣SVD分解

步驟4非白環(huán)境激勵主頻識別

步驟5結(jié)構(gòu)密集模態(tài)識別

所提方法完整流程圖如圖 2所示,其中LDI與DSSV準則分別見第3.2節(jié)和3.3節(jié)。

3.2 不同激勵工況的區(qū)分準則

本文所提方法需要至少兩個不同環(huán)境激勵工況,在選擇激勵工況時要保證不同激勵工況之間有足夠的區(qū)分度,因此定量判斷兩個激勵工況的區(qū)分度對于所提方法十分關(guān)鍵。

從響應(yīng)PSD矩陣出發(fā),若兩個激勵工況相似度較高,則其響應(yīng)PSD函數(shù)圖像在整個頻帶內(nèi)幾乎重合;反之,若兩個激勵工況的激勵作用方式相差較大,響應(yīng)PSD函數(shù)也將存在較大差異。鑒于此,本文采用文獻[20]中的歸一化PSD相對偏差作為LDI,其公式如下

(18)

3.3 響應(yīng)PSD矩陣秩的判斷準則

融合多激勵工況響應(yīng)PSD矩陣的FDD方法,核心是檢測單個激勵工況與多個激勵工況下響應(yīng)PSD矩陣秩的變化,故準確地識別出響應(yīng)PSD矩陣的秩是保證該方法精度的關(guān)鍵。傳統(tǒng)FDD方法通過人為挑選奇異值峰值確定響應(yīng)PSD矩陣的秩,屬于定性方法。已有部分文獻提出了判斷矩陣秩的定量準則,如奇異值熵增準則[21]、奇異值的均值準則[22]等。其中,Zhao等[23]提出的DSSV的概念,它由奇異值序列的正向差分組成,可以描述復(fù)雜信號的奇異值突變狀態(tài);在信號分解、模態(tài)階數(shù)選擇等應(yīng)用中表現(xiàn)優(yōu)異,因此本文采用DSSV作為PSD矩陣秩的確定準則。DSSV定義為奇異值的向后差分,其表達式為

(19)

式中,θi為第i階奇異值。若矩陣的秩等于m,則奇異值θm遠大于θm+1,因此DSSV由θm+1開始趨近于0,根據(jù)該特性即可通過DSSV曲線確定響應(yīng)PSD矩陣的秩。

4 桁架結(jié)構(gòu)仿真算例

本章采用文獻[24]中的桁架結(jié)構(gòu)模型驗證所提方法的有效性。桁架結(jié)構(gòu)模型如圖3所示,彈性模量為6.98×1010Pa,材料密度為2 770 kg/m3,并在節(jié)點1、節(jié)點2、節(jié)點3、節(jié)點4上加入454 kg的額外集中質(zhì)量,Ai為第i根桿件橫截面積,其阻尼矩陣與質(zhì)量矩陣成正比且第一模態(tài)阻尼等于1%,表1給出桁架結(jié)構(gòu)真實模態(tài)頻率和阻尼比。由表1可知,桁架結(jié)構(gòu)模態(tài)3和模態(tài)4相隔較近,模態(tài)5和模態(tài)6幾乎重合,屬于密集模態(tài)。

表1 桁架結(jié)構(gòu)的真實模態(tài)頻率與阻尼比

本算例中采用三種類型的激勵(即白噪聲、諧波激勵和非白噪聲激勵),其中諧波激勵的頻率為12 Hz;非白噪聲激勵由白噪聲經(jīng)過單自由度系統(tǒng)過濾得到,濾波函數(shù)為

(20)

桁架結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)使用方法進行計算,時間步長為1/1 024 s,總時長320 s。隨后對響應(yīng)進行128 Hz重采樣,在重采樣響應(yīng)中加入不相關(guān)高斯序列模擬傳感器測量噪聲,信噪比為20 dB。

4.1 激勵工況設(shè)置

為驗證提出方法的有效性,本文對各工況中白噪聲、非白噪聲和諧波激勵的工況選擇如下。

工況Ⅰ:節(jié)點1的x、y方向同時作用非白噪聲激勵與諧波激勵,節(jié)點2、節(jié)點3、節(jié)點4的x、y方向同時作用高斯白噪聲激勵。所有非白噪聲激勵與高斯白噪聲激勵均不相關(guān),且沿節(jié)點1的x和y方向的兩個諧波激勵之間的相位差是隨機的。

工況Ⅱ:節(jié)點1的x、y方向同時作用非白噪聲激勵與諧波激勵,且沿節(jié)點1的x和y方向的激勵完全相關(guān),節(jié)點2、節(jié)點3、節(jié)點4的x、y方向同時作用不相關(guān)高斯白噪聲激勵。

工況Ⅲ:在節(jié)點1、節(jié)點2、節(jié)點3的x、y方向同時作用非白噪聲和諧波激勵,且沿x、y方向激勵完全相關(guān)。

工況Ⅳ:在節(jié)點3的x、y方向同時作用非白噪聲和諧波激勵,在節(jié)點1、節(jié)點2、節(jié)點4的x、y方向作用白噪聲激勵,且激勵均不相關(guān)。

在上述四個工況中,工況Ⅰ和工況Ⅱ通過對比驗證式(16)中響應(yīng)PSD矩陣秩的結(jié)論,同時說明經(jīng)典FDD方法在非白環(huán)境激勵下的局限性。設(shè)置工況Ⅲ和工況Ⅳ的目的是將兩個工況分別與工況Ⅰ進行對比,通過式(18)選出區(qū)分度較高的兩個工況,用于驗證所提方法的有效性。

4.2 仿真結(jié)果

4.2.1 經(jīng)典FDD方法辨識結(jié)果

使用Welch方法對響應(yīng)PSD計算,設(shè)置Hanning窗長度為2 048,鄰近的窗采用50%重疊,則響應(yīng)PSD函數(shù)通過39個窗平均估計。通過計算得到桁架結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的PSD矩陣,其對角線元素如圖4所示。圖4中曲線表示各響應(yīng)自由度的PSD函數(shù),圓圈表示此處峰值由非白激勵引起,方塊表示此處包含結(jié)構(gòu)密集模態(tài),豎直的點劃線表示結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率位置。從圖4中可清晰地看出,在諧波頻率12 Hz和有色噪聲激勵主頻40 Hz處均存在峰值;此外,從PSD曲線中難以區(qū)分結(jié)構(gòu)密集模態(tài),尤其在模態(tài)5和模態(tài)6處,兩階模態(tài)PSD曲線幾乎重合。

圖5和圖6分別給出了激勵工況Ⅰ和工況Ⅱ下響應(yīng)PSD矩陣的奇異值曲線,圖中曲線為各階奇異值曲線,數(shù)值表示該階奇異值曲線峰值頻率,單位為Hz,其余圖例含義與圖3相同。在圖5中,第1階和第2階奇異值在非白噪聲激勵主頻40 Hz處均出現(xiàn)峰值,而圖6中僅第1階奇異值在40Hz處出現(xiàn)峰值,原因是工況Ⅰ下作用的兩個非白噪聲激勵不相關(guān),而工況Ⅱ下作用的兩個非白噪聲激勵完全相關(guān);在諧波激勵頻率12 Hz處,均只有第1階奇異值出現(xiàn)峰值,說明響應(yīng)PSD矩陣在諧波激勵處的秩總為1。同時,通過圖5,經(jīng)典FDD方法會將40 Hz識別為結(jié)構(gòu)的密集模態(tài),且將12 Hz識別為結(jié)構(gòu)模態(tài);圖6中,當單工況Ⅱ激勵時,經(jīng)典FDD方法將12 Hz及40 Hz處識別為結(jié)構(gòu)模態(tài),得到明顯錯誤的結(jié)果。

上述結(jié)果驗證了式給出的響應(yīng)PSD矩陣秩的結(jié)論,同時表明傳統(tǒng)FDD方法在非白環(huán)境激勵下的局限性。

4.2.2 所提方法辨識結(jié)果

(1)不同激勵工況選擇

圖7分別對比了激勵工況Ⅰ和工況Ⅲ,激勵工況Ⅰ和工況Ⅳ下4號節(jié)點y方向位移響應(yīng)的PSD函數(shù)曲線。可以看出,工況Ⅰ和工況Ⅲ之間的差異明顯大于工況Ⅰ和工況Ⅳ之間的差異。為定量比較兩個工況之間的差異,在每個峰值附近取寬度為Δω=4 Hz的窄帶,利用式計算LDI指標,結(jié)果如圖8所示。工況Ⅰ與工況Ⅲ之間LDI最小值為0.305,出現(xiàn)在頻率為40 Hz處,工況Ⅰ與工況Ⅳ之間LDI最小值為0.261,出現(xiàn)在頻率為48.56 Hz處。區(qū)分不同激勵的LDI閾值為15%,則激勵工況Ⅰ與工況Ⅲ,激勵工況Ⅰ與工況Ⅳ均可用于本次驗證試驗,但由圖8可知,除第1階頻率外,工況Ⅰ與工況Ⅲ的LDI值均大于工況Ⅰ與工況Ⅳ,因此本章采用區(qū)分度更高的工況Ⅰ與工況Ⅲ對所提方法進行驗證。

(2)單工況PSD矩陣與增廣PSD矩陣的秩對比

圖9給出了激勵工況Ⅲ下響應(yīng)PSD矩陣的奇異值曲線,可以看出,響應(yīng)PSD矩陣前3階奇異值在非白噪聲激勵主頻40 Hz處均出現(xiàn)峰值,說明在激勵工況Ⅲ中三個不相關(guān)的非白激勵下,響應(yīng)PSD矩陣的秩為3;在諧波激勵頻率12 Hz處,只有第1階奇異值出現(xiàn)峰值,進一步說明響應(yīng)PSD矩陣在諧波激勵處的秩總為1。

圖10分別給出了單激勵工況Ⅰ和工況Ⅲ以及融合工況下頻率為12 Hz和40 Hz處的DSSV曲線。在12 Hz時,圖5中第1階奇異值出現(xiàn)峰值,圖11中第1階和第2階奇異值出現(xiàn)峰值,在圖10中使用一個工況激勵時,第2階DSSV值接近于零,融合兩個工況時,第2階DSSV不為零,第3階DSSV值接近于零,可得在12 Hz處,單個工況激勵時PSD矩陣的秩為1,融合兩個工況激勵時PSD矩陣的秩為2。按照同樣的思路,在40 Hz處,只有工況Ⅰ激勵時PSD矩陣的秩為2,融合兩個工況同時激勵時PSD矩陣的秩增加為4。

圖1 三類典型非白噪聲激勵功率譜密度示意圖

圖2 所提方法流程圖

圖3 桁架結(jié)構(gòu)圖[24]

圖4 僅工況Ⅰ激勵桁架自功率譜密度

圖5 工況Ⅰ激勵PSD矩陣奇異值

圖6 工況Ⅱ激勵PSD矩陣奇異值

圖7 不同激勵工況下的PSD函數(shù)

圖8 不同激勵工況組合下的工況區(qū)分準則

圖9 工況Ⅲ激勵PSD矩陣奇異值

圖10 各工況下奇異值計算得DSSV值

圖11 工況Ⅰ與工況Ⅲ激勵PSD矩陣奇異值

圖5和圖11中諧波頻率12 Hz處和非白噪聲激勵主頻40 Hz處奇異值曲線的峰值數(shù)發(fā)生改變,即PSD矩陣的秩發(fā)生了改變;在其他頻率處奇異值曲線的峰值數(shù)相同,即PSD矩陣的秩在激勵工況Ⅰ和融合激勵工況Ⅰ、工況Ⅲ作用下保持一致,這表明12 Hz和40 Hz處的峰值是由非白激勵引起的虛假模態(tài)。

上述結(jié)果驗證了所提方法剔除虛假模態(tài)的有效性;剔除虛假模態(tài)后,觀察圖5中候選模態(tài)頻率,在頻率為28.75 Hz處PSD矩陣奇異值曲線在第1階和第2階均出現(xiàn)峰值,說明響應(yīng)PSD矩陣在頻率為28.75 Hz處的秩為2,結(jié)構(gòu)在這個頻率點處存在密集模態(tài)。結(jié)構(gòu)模態(tài)與非白激勵主頻鑒別結(jié)果如表2所示。該桁架結(jié)構(gòu)的第3階和第4階模態(tài)頻率相差0.38 Hz,在PSD矩陣奇異值曲線中可清楚看到兩個相隔很近的峰值,而第5和第6階模態(tài)頻率相差0.1 Hz,對應(yīng)的兩個峰值在PSD曲線上完全融合在一起,因此在辨識出的第5和第6階模態(tài)頻率均為28.75 Hz。

表2 結(jié)構(gòu)模態(tài)與非白激勵主頻鑒別結(jié)果

所提方法最終辨識出的桁架結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率及百分比誤差如表3所示,表中正值誤差表示辨識值大于理論值,負值表示辨識值小于理論值。綜合表2和表3可以看出,本文所提方法可有效剔除諧波激勵和有色噪聲激勵導(dǎo)致的虛假模態(tài),辨識出的結(jié)構(gòu)真實模態(tài)頻率與理論值非常接近。

表3 桁架結(jié)構(gòu)的理論值與辨識值

5 實例驗證:廣州塔

本文采用中國廣州新電視塔[25]實例對所提方法進行驗證。數(shù)據(jù)采集時在主塔的八個平臺上總共部署20個單軸加速度計,其中加速度計和采集系統(tǒng)的部署位置、方向和標簽如圖12所示;在第四級和第八級布置了四個單軸加速度計,其中兩個用于測量橢圓形內(nèi)部結(jié)構(gòu)短軸方向的加速度信號,另外兩個用于測量長軸方向的加速度信號;在其他六個平臺上,各布置兩個單軸加速度計,一個用于測量橢圓形內(nèi)部結(jié)構(gòu)的短軸方向的加速度信號,另一個用于長軸方向的加速度信號,關(guān)于數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)及位置部署可見參考文獻[26-28]。

圖12 廣州塔上測量系統(tǒng)分布

數(shù)據(jù)測量時間段為2010-01-19 18 ∶00—2010-01-20 18 ∶00,所有單軸加速計測得的加速度響應(yīng)均以4 Hz的頻率重采樣,然后用于識別主塔的模態(tài)參數(shù)。使用Welch方法對響應(yīng)的PSD矩陣進行計算時,設(shè)置Hanning窗長度為1 024,窗與窗之間重疊率為50%。圖13中給出2010-01-20 15 ∶00—16 ∶00時間段內(nèi)響應(yīng)PSD函數(shù)求和圖像。

圖13 2010-01-20 15 ∶00—16 ∶00自功率譜密度之和

在1 Hz頻率內(nèi)對廣州塔的結(jié)構(gòu)模態(tài)進行討論分析,圖13中共有10階模態(tài),其中第2～第9階模態(tài)為文獻[29-31]中識別的結(jié)構(gòu)模態(tài),第1階模態(tài)為環(huán)境非白噪聲激勵引起的虛假模態(tài),本章將用新提出的方法剔除0.043 Hz處的虛假模態(tài)。

如圖14所示,僅用2010-01-20 17 ∶00—18 ∶00時間段測量的數(shù)據(jù)進行計算,在0.043 Hz處圖像出現(xiàn)三個峰值,而其他頻率處僅出現(xiàn)一個峰值,從圖17中DSSV可以得出該時間段內(nèi),在頻率為0.043 Hz處PSD矩陣的秩為3。

圖14 2010-01-20 17 ∶00—18 ∶00測量PSD矩陣奇異值

為定量比較兩個時間段測量數(shù)據(jù)之間的差異,在每個峰值附近取寬度為Hz的窄帶,利用式計算LDI指標,如圖15所示,對比時間段2010-01-20 16 ∶00—17 ∶00與2010-01-20 17 ∶00—18 ∶00的測量數(shù)據(jù),可觀察到頻率為0.043 Hz處LDI的值為3.84,大于區(qū)分不同信號的閾值15%,說明作用于結(jié)構(gòu)的兩不同時間段內(nèi)環(huán)境激勵在0.043 Hz處有足夠的區(qū)分度,可用這兩時間段內(nèi)測量的數(shù)據(jù)進行驗證試驗。

圖15 基于歸一化激勵辨識值

如圖16所示,將兩個時間段內(nèi)測量的數(shù)據(jù)融合并進行計算,可觀察到響應(yīng)PSD矩陣的奇異值曲線在0.043 Hz處出現(xiàn)四個峰值,且結(jié)合圖17中DSSV值可得,環(huán)境激勵響應(yīng)PSD矩陣的秩在該頻率處為4,而在其他頻率處均只有第一階奇異值出現(xiàn)峰值,且對比圖14奇異值峰值數(shù)并未發(fā)生改變;通過對比單個時間段和融合兩個時間段響應(yīng)PSD矩陣曲線奇異值峰值階數(shù)的改變以及對比圖17(a)中兩條曲線的DSSV值,說明在頻率為0.043 Hz處,環(huán)境激勵響應(yīng)PSD矩陣的秩發(fā)生改變,而在其他頻率處并沒有發(fā)生改變,證明頻率為0.043 Hz處模態(tài)為環(huán)境非白噪聲激勵產(chǎn)生的虛假模態(tài)。

圖16 合并兩時間段數(shù)據(jù)PSD矩陣奇異值

圖17 不同時間段下奇異值計算得DSSV值

圖17給出不同時間段下奇異值計算得DSSV值,其中圖17(a)為頻率0.043 Hz處單個時間段與融合兩個時間段DSSV的對比圖,觀察可得:取單個時間段時第3階的DSSV不為零,而第4階接近于零,可判斷此時PSD矩陣的秩為3;融合兩個時間段時,第5階DSSV值接近于零,且前4階遠大于第五階,可判斷合并后響應(yīng)PSD矩陣的秩為4;圖17(b)為頻率為0.797 Hz的模態(tài)頻率處對比圖,可觀察到兩條曲線基本重合,且只有第1階DSSV有值,說明在模態(tài)頻率處響應(yīng)PSD矩陣的秩不會隨著外界激勵的改變而發(fā)生改變,且為1。

本文所提方法最終辨識的廣州塔模態(tài)頻率與文獻[29-30]的對比結(jié)果如表4所示。由表4可知,所提方法可有效剔除非白環(huán)境激勵引起的虛假模態(tài),辨識出的結(jié)構(gòu)真實模態(tài)頻率與文獻中的結(jié)果非常接近,證明了所提方法在實際應(yīng)用中的有效性。

表4 各方法識別廣州塔模態(tài)頻率

6 結(jié) 論

針對傳統(tǒng)FDD模態(tài)識別方法不能適用于非白環(huán)境激勵的問題,本文指出響應(yīng)PSD矩陣的秩是FDD方法性能的決定性因素,并提出了一種融合多個激勵工況下響應(yīng)PSD矩陣的模態(tài)識別方法。

本文采用桁架結(jié)構(gòu)數(shù)值算例和廣州塔工程數(shù)據(jù)集驗證了所提方法的有效性,并將所提方法和現(xiàn)有FDD方法進行對比。通過理論和算例分析,本文主要結(jié)論如下:

(1)響應(yīng)PSD矩陣的秩是決定FDD方法性能的決定性因素,也是FDD方法不適用于非白環(huán)境激勵的根本原因。

(2)在非白噪聲激勵下,本文所提方法可有效剔除由諧波激勵和非白噪聲激勵引起的虛假模態(tài)。

(3)本文所提方法需兩個以上不同激勵工況,且需確定響應(yīng)PSD矩陣的秩。本文采用LDI準則從結(jié)構(gòu)響應(yīng)出發(fā)定量描述激勵工況的差異性,并利用DSSV準則定量確定響應(yīng)PSD矩陣的秩,便于方法應(yīng)用。

(4)一般情況下,LDI準則大于15%即可認為兩個激勵工況是不同的;為保證識別精度和DSSV準則的有效性,本文所提方法適用于結(jié)構(gòu)響應(yīng)信噪比大于20 dB的情境。