例談小學(xué)數(shù)學(xué)“問題解決”的教學(xué)

摘 要：小學(xué)數(shù)學(xué)“問題解決”的教學(xué)尤其需要促進(jìn)主體探究和結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)。為此，需要注意：做鋪墊，讓學(xué)生突破解題的困難；模型化，讓學(xué)生把握問題的本質(zhì)；做變式，讓學(xué)生建立問題的聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；問題解決；應(yīng)用題；主體探究；結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)

小學(xué)數(shù)學(xué)中的“問題解決”是指應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，即傳統(tǒng)所謂的“解應(yīng)用題”。其內(nèi)容分散在小學(xué)數(shù)學(xué)教材各個(gè)年級(jí)的分冊(cè)中，有著千變?nèi)f化的情境背景，并隨著學(xué)生“數(shù)與運(yùn)算”知識(shí)的學(xué)習(xí)，蘊(yùn)含著越來越復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系本質(zhì)。

相比于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，“問題解決”內(nèi)容有著更明顯的主體探究特征，需要學(xué)生分析解決問題；同時(shí)，有著更隱蔽的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)特征，需要透過表象看到本質(zhì)。從這個(gè)角度看，“問題解決”的教學(xué)尤其需要促進(jìn)主體探究和結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)。為此，需要注意：

一、 做鋪墊，讓學(xué)生突破解題的困難

有時(shí)，因?yàn)閱栴}有一定的難度，或者學(xué)生（尤其是部分“學(xué)困生”）的知識(shí)基礎(chǔ)和思維能力較薄弱，學(xué)生很難自主探究解決問題。這時(shí)，教師可以對(duì)要解決的問題做鋪墊，讓學(xué)生能探究解決鋪墊問題，并在此基礎(chǔ)上解決原問題。

例如，解決“小青第一天寫了15個(gè)大字，第二天比第一天多寫5個(gè)大字，兩天一共寫了多少個(gè)大字？”這樣的整數(shù)兩步加減計(jì)算問題時(shí)，針對(duì)知識(shí)基礎(chǔ)和思維能力較薄弱的學(xué)生，教師可以設(shè)計(jì)“小青第一天寫了15個(gè)大字，第二天寫了20個(gè)大字，兩天一共寫了多少個(gè)大字？”這樣的整數(shù)一步加減計(jì)算問題作為鋪墊，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)原問題蘊(yùn)含的兩個(gè)數(shù)量關(guān)系以及它們之間的關(guān)系，從而解決原問題。

二、 模型化，讓學(xué)生把握問題的本質(zhì)

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生需要掌握的實(shí)際問題類型有很多，如行程問題、植樹問題、“雞兔同籠”問題等。決定實(shí)際問題類型的其實(shí)不是問題的外在形式，即情境背景，而是問題的內(nèi)在本質(zhì)，即數(shù)量關(guān)系。將具體的數(shù)量關(guān)系一般化，可以得到數(shù)量關(guān)系模型，如加法模型“總量=分量+分量”、乘法模型“總量=單位量×數(shù)量”及其派生模型。“問題解決”教學(xué)中，尤其是遇到比較復(fù)雜的問題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)量關(guān)系模型，把握問題本質(zhì)，從而利用同類問題的解題經(jīng)驗(yàn)，解決新的問題。

例如，解決“兩個(gè)車站相距80公里。某一時(shí)刻，兩列火車分別從兩個(gè)車站出發(fā)，相向而行。同時(shí)，一只鳥從第一列火車出發(fā)，飛向第二列火車，到達(dá)第二列火車后，飛回第一列火車，如此反復(fù)，直到兩車相遇。若第一列火車的速度是每小時(shí)18公里，第二列火車的速度是每小時(shí)22公里，小鳥飛行的速度為每小時(shí)40公里，請(qǐng)問：在兩車相遇前，小鳥飛行了多少公里？”這個(gè)問題時(shí)，學(xué)生會(huì)想到：算出飛去與飛回的距離，然后相加。可是，在計(jì)算飛去（飛回）的距離時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)：無法算出飛去（飛回）的時(shí)間。這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)量關(guān)系模型：小鳥飛行的距離=小鳥飛行的速度×小鳥飛行的時(shí)間，小鳥飛行的時(shí)間=第一次飛去的時(shí)間+第一次飛回的時(shí)間+…+第n次飛去的時(shí)間+第n次飛回的時(shí)間+…，即乘法與加法復(fù)合模型。然后發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)所在：小鳥飛行的時(shí)間無法用加法模型計(jì)算。由此，教師便可引導(dǎo)學(xué)生想到，將小鳥飛行的時(shí)間轉(zhuǎn)化為與之相等的時(shí)間，即兩列火車從出發(fā)到相遇的時(shí)間。學(xué)生便可基于解題經(jīng)驗(yàn)，利用相遇時(shí)間的算法解決本題。

再如，解決“一個(gè)旅游小隊(duì)去爬山，上午8時(shí)上山，平均每小時(shí)行3千米，到達(dá)山頂后休息1小時(shí)，下山時(shí)平均每小時(shí)行5千米，下午2時(shí)到達(dá)山底。全程共行19千米。上山和下山的路程各是多少千米？”這個(gè)問題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)量關(guān)系模型，發(fā)現(xiàn)其與“雞兔同籠”問題的數(shù)量關(guān)系模型一致（都是“知道兩個(gè)量的和以及兩個(gè)量分別乘兩個(gè)已知的單位量得到的量的和，求兩個(gè)量”），從而利用“雞兔同籠”問題的解法解決本題。

三、 做變式，讓學(xué)生建立問題的聯(lián)系

建立問題的聯(lián)系即明確問題的系統(tǒng)地位，能形成有關(guān)問題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更好地理解問題、解決問題。“問題解決”教學(xué)中，教師可以對(duì)已解決的問題做擴(kuò)展變式（擴(kuò)展數(shù)量關(guān)系）、逆向變式（變問題為條件）、情境變式（改變情境背景，但不改變數(shù)量關(guān)系）等變式，從而引導(dǎo)學(xué)生在“變與不變”中，比較不同的問題，建立問題的聯(lián)系。

例如一個(gè)簡單的求兩個(gè)數(shù)量和的問題：一件上衣200元，一條褲子150元，上衣和褲子一共多少元？教學(xué)中，可以進(jìn)行如下變式：（1） 擴(kuò)展變式。如變?yōu)榍髢煞e之和的問題：每件上衣200元，每條褲子150元，買3件上衣和2條褲子，一共花多少元？（2） 逆向變式。如將擴(kuò)展變式中求出的900元作為已知條件：買3件上衣和2條褲子一共花900元，每件上衣200元，每條褲子多少元？（3） 情境變式。如將購物情境變?yōu)榭磿榫常河幸槐緯∶髅刻炜?0頁，看了3天，小紅每天看40頁，看了4天，兩個(gè)人一共看了多少頁？

此外，特別需要注意通過變式，引導(dǎo)學(xué)生形成利用一步運(yùn)算解決實(shí)際問題的基本認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如：求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少用乘法，求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍用除法，“已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)”用除法；求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少用乘法，求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾用除法，“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”用除法。

（焦歡歡，江蘇省南京市百家湖小學(xué)。）

*"本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2024年度課題“全景式浸潤：小學(xué)數(shù)學(xué)文化實(shí)踐活動(dòng)的構(gòu)建與實(shí)施”（編號(hào)：C/2024/03/39）、江蘇省南京市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度課題“蘊(yùn)趣交融：指向?qū)W科育人的小學(xué)數(shù)學(xué)新實(shí)踐研究”（編號(hào)：L/2023/079）的階段性研究成果。