基于素養(yǎng)導向的新高考復習創(chuàng)新教學實踐
——讓學生由“做題者”向“命題者”轉變

徐 樸 (郵編:230071)

安徽省合肥市第八中學

張永超 (郵編:230071)

安徽省合肥市教育科學研究院

隨著《深化新時代教育評價改革總體方案》和《中國高考評價體系》的貫徹落實,“改變相對固化的試題形式,增強試題開放性,減少死記硬背和‘機械刷題’現(xiàn)象”“強化基礎考查,突出關鍵能力,加強教考銜接,服務‘雙減’政策實施,助力基礎教育提質(zhì)增效”,已成為高考命題的顯著特點.

為了積極應對素養(yǎng)導向的命題要求,契合教考銜接的命題趨勢,在高考復習時,必須重視課本的基礎性作用,深入挖掘教材內(nèi)涵,引導學生加強對教材典型例習題、復習參考題和高考真題的分析研究;必須變革教師一言堂的高三復習教學模式,圍繞主干知識和核心內(nèi)容設計問題串,按照學生的認知基礎與思維特點設計教學,讓學生通過閱讀理解、深度思考和自主探究,尋求解決問題的思路和方法,全面提升學生的“四基”“四能”.

在高考復習教學中,應該注重引導學生對典型問題進行深度挖掘,讓他們嘗試對例習題的條件、結論作必要的拓展和變化,努力讓學生從被動的“做題者”轉變?yōu)橹鲃拥摹懊}者”,不斷發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng),形成主動提煉、善作變式、自覺挖潛的學習習慣,為此,我們作了如下一些有益的實踐和探索.

1 教師選定母題,學生改編拓展

用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是高考的必考內(nèi)容,既是重點也是難點,為此,在進行《導數(shù)在函數(shù)中的應用》復習時,一方面注重知識結構的梳理和完善,重視一般思路與方法的理解和應用;另一方面注重對課本經(jīng)典例習題的內(nèi)涵挖掘與利用,努力讓學生在吃透原題情境與考查要點的基礎上,對原題條件和待求結論進行變化和改進、拓展和延伸,通過設計一個個開放性問題,探究新問題的解題方法與策略,并與原題及其解法進行對照,發(fā)現(xiàn)異同,總結提煉.

母題1求函數(shù)f(x)=x2-2lnx的單調(diào)區(qū)間.

引導1回顧用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的解題步驟,將問題改造成含一個參數(shù)的求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題.

師: 若在函數(shù)解析式中適當添加一個參數(shù)a,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,你將如何改編、如何解答?

變式1求函數(shù)f(x)=ax2-2lnx(a∈R)的單調(diào)區(qū)間.

變式2求函數(shù)f(x)=x2-2alnx(a∈R)的單調(diào)區(qū)間.

變式3求函數(shù)f(x)=x2-2lnx+a(a∈R)的單調(diào)區(qū)間.

課堂上學生給出了多個變式,這里只選取了具有代表性的三個變式,供同學們在課堂上研究解答,其他變式由學生課后作為作業(yè)或小組討論解決.

設計意圖添加一個參數(shù)后,引導學生深入體會參數(shù)在解析式中不同位置帶來的函數(shù)單調(diào)性的變化,進一步提升學生的數(shù)形結合意識和分類討論能力.

引導2對調(diào)母題1的條件和結論,改造成一個已知函數(shù)的單調(diào)性,逆求參數(shù)范圍的問題.

師:對于變式2,如果已知函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上的單調(diào)性,你能求得什么?

變式4已知函數(shù)f(x)=x2-2alnx(a∈R)在區(qū)間(0, 1)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.

引導3讓學生嘗試用不同的方式表述條件,加強多種語言的轉換表達能力.

師:對于變式4中的條件“在區(qū)間(0, 1)上單調(diào)遞減”,你能否換一種方式表述?請嘗試給出表述.

變式5已知函數(shù)f(x)=x2-2alnx(a∈R),且f′(x)≤0在區(qū)間(0, 1)內(nèi)恒成立,求a的取值范圍.

設計意圖讓學生學會運用多種不同的方式表述函數(shù)的單調(diào)性,考查學生對函數(shù)的單調(diào)性定義的理解和表示能力.在學生有了變式5這種不同表述后,就可能會想到把問題改成變式6,這是課堂上生成的新問題,體現(xiàn)了學生思維的靈活性和發(fā)散性.要相信學生能夠命好題,要敢于放手讓他們自己去探索.

引導4接著讓學生變換不同的條件,使得問題條件的指向多元.

師:對于變式2,你能否改造成已知函數(shù)的一個性質(zhì),逆求參數(shù)范圍的問題?

生:可以是已知函數(shù)的極值、最值或零點,不等式恒成立、能成立等問題 .

變式7已知函數(shù)f(x)=x2-2alnx(a∈R)在區(qū)間(0, 1)內(nèi)存在極小值,求a的取值范圍.

變式8已知函數(shù)f(x)=x2-2alnx(a∈R)在區(qū)間(0, 1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.

變式9已知函數(shù)f(x)=x2-2alnx(a∈R)在定義域內(nèi)有兩個零點,求a的取值范圍.

變式10已知函數(shù)f(x)=x2-2alnx(a∈R)在定義域內(nèi)恒不小于0,求a的取值范圍.

設計意圖改編問題時,要提醒學生不必拘泥于函數(shù)的單調(diào)性,可以命制考查函數(shù)的所有性質(zhì)問題.在創(chuàng)設開放的復習情境中,有的學生可能會命制已知函數(shù)的奇偶性或周期性求參數(shù)的問題,即使學生提出的問題可能存在錯誤,但通過探討可以發(fā)現(xiàn),根據(jù)二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的特點無法命制涉及這類性質(zhì)的問題,從而加深了學生對基本初等函數(shù)性質(zhì)的理解.

對于初次嘗試命題的學生,教師可以讓他們從簡單題改編開始,降低命題難度.改編命題不只是改動幾個數(shù)字,而要進行全面審視與內(nèi)涵挖掘,如以上問題改編,有設置字母參數(shù),改變問題表述方式,對調(diào)或改變條件與結論,使得命題難度由淺入深,讓不同層次的學生都能進行命題.在命題的過程中,教師要善于引導,精心點撥,及時進行評價,使學生在不斷調(diào)整已知、未知關系過程中命出滿意的問題.以上命制的這組題涵蓋了含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的判斷,已知單調(diào)性逆求參數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、零點,以及不等式恒成立等問題,學生通過自主命題,自己解答,不僅夯實了“四基”,極大地提升了“四能”,同時也獲得了學好數(shù)學的自信心和內(nèi)驅力,享受命題的快樂.

2 教師確定方向,學生發(fā)散新編

在高考復習教學中,教師可以進一步放手,給學生以更大的思維空間,讓他們不斷積累命題經(jīng)驗.教師可以只給定知識與方法的拓展方向,或是給定一個研究的專題,而不給具體的求解目標,讓學生自主探究、發(fā)散設計新的問題,進入開放的、自主的命題境界.

引導1本題的條件是什么?在命制新問題時,為了簡化運算,給定什么形式的橢圓方程比較合適?

師:根據(jù)橢圓的定義,橢圓上的點P滿足|PF1|+|PF2|=2a,當P,F1,F2構成三角形時,我們可以研究這個三角形中的一些幾何問題,請你給橢圓選定一個具體的方程．

引導2在焦點三角形△PF1F2中,你認為可以求解哪些幾何問題?

(以上問題具有開放性,有的學生可能想求△PF1F2的邊長,有的可能想求△PF1F2的面積、內(nèi)角等)

師:給出橢圓的方程后,可以求出△PF1F2的哪些幾何量?

生:求△PF1F2的周長.

師:大家認為前面給出的方程中,用哪一個方程求對應的△PF1F2的周長最簡便?

經(jīng)過啟發(fā)引導,學生命制出如下問題:

引導3根據(jù)學生想求解的結果,引導學生繼續(xù)添加或轉變條件,進行多個變式,舉一反三.

師:除了求△PF1F2的周長外,你還想求解這個三角形的哪些幾何量呢?

生:求△PF1F2的面積.

師:只給出橢圓的方程,能否求出△PF1F2的面積?隨著點P的移動,顯然△PF1F2的面積在變化,求△PF1F2的面積的條件不夠,還需要提供什么幾何條件?

生:可以給出三角形的一條邊或一個內(nèi)角,有三個獨立條件,就可以解三角形了,進而可求△PF1F2的面積.

師:分三組合作探究,請第一組同學給出一條邊|PF1|的長度,第二組同學給出內(nèi)角∠F1PF2,第三組同學給出內(nèi)角∠PF1F2,分別求△PF1F2的面積.

師:對于變式2,若∠F1PF2=90°,能否求出△PF1F2的面積?請同學們試一試.

師:若∠F1PF2=90°,你能求出|PF1|, |PF2|的長度嗎?

生:因為m2+n2=4,m2+(4-m)2=4,所以m2-4m+6=0,△=16-24=-8<0,m沒有實數(shù)解(無解).

引導4由問題無解自然引出求范圍問題,引導學生探究,設計求長度和角度等幾何量的最值或取值范圍問題時,需要關注其存在性,從而拓展命題的廣度和深度.

師:當我們發(fā)現(xiàn)|PF1|, |PF2|的長度無解時,說明∠F1PF2的大小變化有范圍限制.為了避免命制錯題,我們有必要研究∠F1PF2的范圍.請命制一個與∠F1PF2的大小變化相關的問題.

師:根據(jù)對變式4的研究,在命題時,給出∠F1PF2的大小不能超過多少度?

生:不能超過60°.

師:通過研究發(fā)現(xiàn),當點P位于短軸頂點時,∠F1PF2取得最大值.除∠F1PF2外,你覺得△F1PF2中還有哪些幾何量存在最值?

生:邊長、面積等.

引導5讓學生用類比的方法,對上述討論的△PF1F2作變式與拓展,提出并解決新問題.

師:我們已經(jīng)研究了△PF1F2的相關幾何量,我們能否研究與橢圓C相關的其他三角形的周長、面積等問題?

師:還記得橢圓這一章一道課后習題嗎?如果我們延長PF1交橢圓C于點Q,連接QF2,線段QF1與QF2長度有什么關系?參照前面的問題設計,請你命制出新的問題.

讓學生自己給出橢圓方程,命制有關焦點三角形的幾何元素求解問題,具有較大的開放性,學生需要根據(jù)自己對橢圓的定義、標準方程及其幾何性質(zhì)的掌握和熟練程度,以及相關的解題經(jīng)驗進行命題,綜合性、應用性都很強,難度也更大,所以開展這種形式的問題探究和命題活動,適宜在高考二輪復習時進行.

教師在組織學生開展這類具有發(fā)散性的命題活動時,需要為學生搭建好“腳手架”,布置學生課前作好專題知識、方法和典型試題的回顧復習工作,做到目標明確,針對性強.在課堂復習教學時,教師要根據(jù)預設的主題,讓學生盡情展示,發(fā)散新編,必要時給予精妙的點撥和引導,切忌越俎代皰,欲放不忍.

以上討論的是橢圓的焦點三角形問題.我們還可以讓學生課后繼續(xù)研究雙曲線的焦點三角形問題等.

3 教師約定要求,學生創(chuàng)新挖潛

數(shù)學試題的價值體現(xiàn)在它的綜合性、應用性和創(chuàng)新性.若想命制一道體現(xiàn)“四層四翼”要求,考查多個知識模塊或系列知識,考查數(shù)學學科核心價值、學科素養(yǎng)、關鍵能力和必備知識的綜合題,需要教師在復習教學時,精選例習題,精準指出挖潛改編方向,讓學生由淺入深地探索母題涉及知識和方法的橫、縱向聯(lián)系,不斷提高學生的命題和解題能力.

在基本不等式復習時,由于基本不等式背景豐富,應用廣泛,現(xiàn)選擇了一道可以用基本不等式求解的最值問題,引導學生結合數(shù)學知識和方法的不同應用設置不同的問題背景,讓學生從不同的角度辨析和理解問題,打通知識間的相互聯(lián)系,取得了不錯的教學效果.

引導1從長度、角度、面積等幾何角度,引導學生給題目的條件設置不同的背景命制試題.

師:這是一道考查用基本不等式求最值的典型問題.條件是一個代數(shù)等式,我們能否賦予條件以幾何背景,變成一個考查幾何要素的新問題呢?

師生合作討論,教師適當給予點撥,學生陸續(xù)命制出如下試題:

問題1在Rt△AOB中,|OA|=a, |OB|=b,過斜邊AB上一點P分別作OA,OB的垂線,垂足分別為C,D,若|OC|=2, |OD|=1,求|OA|+|OB|的最小值.

師:在引例中,除了求a+b的最小值外,還可以求哪些最值?

生:求ab的最小值.

師:ab可以看成Rt△AOB中的哪個幾何量?

生:|OA|·|OB|或Rt△AOB面積的2倍.

問題2在Rt△AOB中,|OA|=a, |OB|=b,過斜邊AB上一點P分別作OA,OB的垂線,垂足分別為C,D,|OC|=2, |OD|=1,求△AOB面積的最小值.

引導2讓學生嘗試把幾何圖形放入直角坐標系中,將幾何條件坐標化,命制一道解析幾何問題.

師:如果把Rt△AOB的邊放入直角坐標系中,分別以OA,OB所在的直線為x,y軸,建立平面直角坐標系,此時直線AB的方程是什么?點P的坐標是什么?問題2的條件又可以如何表示?

問題3已知直線l經(jīng)過點P(2, 1),并分別與x,y軸正半軸交于點A,B,求△AOB面積的最小值.

引導3引導學生應用向量設計問題,考查向量的幾何表示和坐標運算.

師:我們能否利用向量的代數(shù)運算和幾何運算,把條件改造成一個考查向量運算的問題呢?

引導4數(shù)學來源于生活又服務于生活,讓學生從實際應用的角度改編試題,展現(xiàn)數(shù)學的應用價值.

師:我們知道,數(shù)學來源于生活,能否賦予問題以生活背景,變成一個應用題呢?

生:行程問題中路程除以速度等于時間,工程問題中工作總量除以工作時間等于工作效率,商品買賣中總價除以數(shù)量等于單價……

問題6小明購買甲、乙兩種糖果共1千克,其中甲糖果每千克a元,花去2元,乙糖果每千克b元,花去1元.如果小明購買甲、乙兩種糖果各1千克,最少需要多少元?

這樣的試題,融幾何、代數(shù)于一體,考查學生對所學知識和方法的融會貫通能力,考查轉化化歸思想、數(shù)形結合思想和邏輯推理能力等.如果能夠堅持讓學生深刻理解題目所蘊含的幾何與代數(shù)關系,不僅可以幫助他們更深刻地認識到試題的結構和命制方法,而且可以突破他們解題、命題的畏難情緒,增強他們的解題能力和學習信心,激勵他們敢于迎接更大的挑戰(zhàn).

以上改編拓展、發(fā)散新編、創(chuàng)新挖潛三種方法,不論是否有母題,只要教師給出明確的命題目標與方向,學生總可以從不同的方向、不同的視角嘗試命制試題,這樣做,不僅有助于學生養(yǎng)成多角度、多方位、多層次認識與探究問題內(nèi)涵的習慣,而且有助于更全面、更深刻地解析知識和方法,構建成完整的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的思維能力體系.

讓學生參與課堂例習題的改編拓展、發(fā)散新編、創(chuàng)新挖潛,是培養(yǎng)學生問題意識與創(chuàng)新能力的重要途徑,也是高考復習的必然要求.若能長期堅持,必將增強學生的命題、解題能力,讓他們既能高效地復習高中數(shù)學主干知識和常用方法,深化對知識和方法相互聯(lián)系的理解,又能讓他們感受到知識與方法的演化和遞進,逐步做到融會貫通、舉一反三,有助于他們養(yǎng)成用聯(lián)系的觀念理解和認識問題的習慣,有利于他們進行知識和方法的縱、橫向比較與綜合,有助于他們將新知識納入自己已有的知識系統(tǒng)中,有利于他們構建知識的整體性,突出了高考復習單元整體教學思想,有助于促進他們學會學習、主動探究、敢于創(chuàng)新,增強學習的自信心.

4 結語

如果我們在高考復習教學時,能夠讓教師由“講題者”變?yōu)椤耙龑д摺?讓學生由“做題者”變?yōu)椤懊}者”,學生真正地成為課堂的主人,真實地經(jīng)歷自主探究的過程,學生就會站在命題者的角度分析思考問題,清晰地解析試題結構,揭示試題考查的知識與方法,準確地找到解題的思路與方法,就會有“會當臨絕頂,一覽眾山小”的感覺,不斷提高自己的解題能力,從而使高考復習教學事半功倍,走向高效、走向成功.