數學教學中真實情境應用標準的研究
——基于章建躍先生講座中對基本不等式的分析

張晨曉 陳漢君 (郵編:300382)

天津師范大學教育學部

章建躍教授擔任過《普通高中課程標準實驗教科書數學》(人教A版)的副主編,文章也多次在全國重點期刊發表,在教育工作和科研等領域也很有影響力.在天津師范大學數學班“國培計劃(2022)”——學科培訓團隊研修項目中,章建躍先生進行了題為“核心素養導向的數學教學變革”的講座,深度闡述了數學教學與落實核心素養的關系,并結合基本不等式分析了數學教學中利用真實情境開展的教學活動,為落實核心素養與教好數學之間提供了橋梁.

1 提出問題

為貫徹落實黨的十八大、十九大精神,全面落實立德樹人基本任務,教育部已制定了2022年版的全國義務教育階段課程標準,并要求學校大力推進教學改革,主動轉變教學模式,切實改善基礎教育質量[1].在此背景下,落實核心素養成為了數學教學的重中之重,如何通過數學學科體現核心素養的問題也備受教育學者的關注.

在初高中的學習中,數學學科知識有著緊密的聯系,學生的核心素養發展也是一脈相承的.所以,義務教育課標的改革已經說明了高中課程必須培育學生核心素養的緊迫性,高考數學課程在各個環節的實施中,都應該以培育學生數學的核心素養為重點和目標.《普通高中數學課程標準(2017年版2020修訂)》則認為“基于數學課程核心素養的課程必須把握數學的本質,通過創設適宜的課程情境、進行適當的數學課程,啟迪學習者思考與交流,以此形成和發展數學課程的基本品格.”[2]章建躍先生也提出,數學學科知識存在核心素養的問題,核心素養也離不開數學學科知識.數學課程中實現學生核心素養發展的關鍵,主要包括學科主線構成、學生在數理學科中的一般觀念、學生提高“四能”水平,即培養學生邏輯推理能力與創新意識等,但所有的開展方式都有一個共同的理論基點:以具體的教學素材為載體創設真實情境,提供對學生思維發展具有挑戰性的問題串,并引導學生開展系列化數學學習活動.既然學生核心素養的發展離不開真實情境在數學課堂的應用,那么數學學科的真實情境是什么,什么樣的真實情境是好的問題有待進一步研究.

2 真實情境的含義及標準

PISA在現代教育框架下,將在個體情境中所出現問題的情況通稱為真實情境,具體內容又可分為個人情境、職業情景、社會情境、科學情景等.《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》則將真實情境與問題界定為能反映在數學課程中知識內容的四個領域之中,并指出真實情境主要分為現實情境、數學情景、科學情境等,而問題則主要是指學習者在真實情境中所出現的數學問題等.[2]章建躍教師在教學中認為,現實情境是最切合學習者真實狀態的環境,學生在周圍認識的事物或是學生已經了解過的知識,都可以作為構成真實情境的主要材料.數字教育背景是豐富多彩的,所以初中階段的孩子在數字教育的問題導入時,往往需要創設現實情境,也因此在初中階段的數、式、方程、不等式、函數、幾何圖形、統計、概率等要有強烈的現實語境.在教育和學科形成、發展過程中的學習者,要提高對數字教學中出現問題的思考能力,多用特殊性、比較、引申等的思考方式[4].基于以上理論,數學課堂中的真實情境是有助于發展學生核心素養的教學素材,這種素材是學生所接觸的真實世界,并且應用這種素材時學生能在其中提出數學問題并逐步解決.

真實情境之所以稱為“真實”,是因為學生在真實情境中學習的新知識是生動活潑的,“真實”也就是章先生強調的“學生現實”.章建躍先生認為,一節數學課的主體是數學知識,那么數學知識的產生和發展也必須同時呈現給學生,這就需要情境引入.將學生的現實生活與真實情境聯系起來,并且學生能夠在其中感受到數學知識產生的必然性,這才是好的情境引入.因此,數學課堂應用的真實情境首先要具備真實性,這也是教師應用情境進行教學的首要標準.

其次,隨著“雙減”政策的頒布,國家依據教育規律,計劃逐漸為學生減負,并以學校本身為主來提升加強教育教學質量,進一步減輕校外負擔,推動學生的學習任務逐步向校內集中,但集中不是增負,還要簡化校內的冗雜教學活動.在具體的教學設計中,教師需要設計各式各樣、種類繁多的環節,這就要求教師在創設情境時,設計簡約的真實情境,以投入最小的精力來取得更大的教學效果.章先生也多次提到落實核心素養的教學要做到精準教學、達成減負增效,真實情境的簡約性能避免教師對于情境引入的過度開發,符合減負的要求.真實情境的簡約性標準的重要性在今年的高考就已經有所體現,盡管基本上每個家長和學校教師都認為問題難、試題偏,不過如果學校老師在平時的課堂注重于基礎知識的教育,高考問題實際上也是可以化解的.章建躍先生則認為,不少教師在平時教學中太不把基礎教材當回事,也沒有將所有精力都花在幫助學生系統了解的“四基”上,搞了太多的花樣,讓學生做了大量無用功.教師需要從“四基”角度加強理解,平時在“培養學生學習能力,促進學生系統掌握各學科基礎知識、基本技能、基本方法”上多下功夫,重視基礎課程,才有助于學校系統建立良好的現代數學教育認識結構[5].真實情境的應用也同時適應于上述的理論,情境的建立是直接聯系基礎知識的,在此基礎上潤色情境的技巧都是附屬品,在建立情境的過程中聯系“四基”“四能”是最重要的.

最后,應用真實情境的目的是為了引出問題,讓學生在問題中發現新知識,從而發展學生的創新能力.章建躍先生提出,現今的課程改革是以核心素養為導向的,而我國的數學教學雖然整體效果良好,但在學生發現和提出問題能力的培養上還有待提高.所以,高中數學課程要注意情景和問題的結合,通過提問帶動練習的方法,幫助學生在情景中發掘并提出新問題,要精心設計學生的數學活動流程,讓學生帶著疑問進行探究活動,把轉變學生學習方法落到生活實處[3].教學是從問題開始的,是以問題為起點的,大部分學生的學習過程都是不情愿的,但是通過問題,學生才能夠進一步產生學習的興趣或好奇心,才有所謂學習的“沖動”.這種沖動是自發的,并且是不解決問題不罷休的.采用“情境+問題”的教學,以體現啟發式思想,同時充分利用先行組織者方法,可以使學習者在一般思想引導下自己提出問題、做出猜想,并在此活動中感受現代數學基本理念、總結思考過程與提出問題的方法[6].學生是在探索問題的活動中學習新知識,這就需要真實情境中的新知識都是模糊的,也稱為真實情境的結構不良性.基于以上分析,本文提出了數學課堂中應用真實情境的三項標準:真實性、簡約性和結構不良性.

3 真實情境標準的實例分析

現實世界普遍存在著相等與不等關系,不等式正是解決這些問題的基本數學模型和工具,在現代數學研究和發展中也具有極其重要的地位和作用[2].在不等式體系中,基本不等式是其最重要的組成部分.函數,數列,解析幾何,向量等幾乎所有的數學中都有基本不等式的知識,可以說在高中數學體系中基本不等式有著重要作用.

以“基本不等式”教學中的幾個創設真實情境為導入作為例子,結合章建躍先生講座中關于真實情境的論述,對上述三項應用真實情境的標準進行具體分析.

3.1 真實性

教師在創設情境時,時常是即插即用,直接將情境的素材插入課堂中,并不考慮情境創設好不好、真不真.部分教師將真實情境僅僅定義為學生在生活中親身經歷的情境,這種定義也是有偏差的,生硬的把這種情境嵌套進教學里并不利于學生的發展.

例如在基本不等式的教學中,以不標準的天平問題作為情境引入:小明要去買水果,水果店中有一個臂長不等的天平,老板分別把小明買的水果放在左右兩個盤子上稱了一次,得到了重量a和b,然后將這兩個重量取算數平均數,作為小明買的水果重量,這樣的稱法合理嗎?顯然,上述基本不等式教學應用的情境看似屬于“標準”對情境分類中聯系學生生活的生活情境,可是在學生的現實生活中,學生幾乎不會接觸到有關天平的問題,因此上述情境沒有與真實生活建立實質聯系;其次在上述情境中,學生需要運用物理知識中的杠桿原理解釋天平稱重,介入了與數學課程內容完全不相關的其他學科知識,學生基于此建立的知識體系就會產生混亂.那么,真實情境的“真實”到底如何解釋呢?

真實情境的真實性是來自于學生現實的,因此各種練習素材都應當真實可信.實際情境也要求所設計的問題情境必須客觀存在,所給出的數據令人信服并富有現實意義,且必須證明研究所處理的問題真實存在.[1]真實情境是與學生現實實質聯系的情境,這種聯系即要聯系學生的真實生活,又要聯系學生真實的知識經驗.這就要求教師在設計引入情境時,需要依據一定的層次順序來選擇情境,進而創設具體的情境畫面.教師在數學課堂中要優先利用數學情境的概念,基于學科內部知識體系中的相關知識,創設數學學科內的真實情境.從數學知識的內在邏輯和發生發展過程出發來設定情境,在無形當中強化學生的數學知識結構,這樣的情境才是最真實的.例如在初中階段學習平方差公式時,(a+b)(a-b)就是(a+b)(c+d)的特殊形式,根據這種一般和特殊的關系設置情境,學生在此情境中能夠通過乘法公式,真正理解平方差公式的由來,建立代數公式知識體系.可以看到,代數領域得到的公式,往往都是特殊化的結果,基本不等式也不例外.作為代數范疇中初中和高中銜接的知識點,基本不等式本身就是初高中數學學習的過渡,這就更加要求教師幫助學生建立清晰的數學知識結構.在考慮真實情境中知識體系的完整性后,再思考情境與真實生活的聯系.具體的數學教學案例中,有著大量與生活相關的情境,但學生真正接觸或經常發生在身邊的基于學生現實生活的情境則少之又少.教師要選擇真實的生活題材,讓學生感受到數學與生活的自然聯系,才能促進學生在情境中發現問題,提出問題,進而發展學生核心素養,達到立德樹人的目的.

3.2 簡約性

隨著科技的發展,課堂教學的媒介與手段也發展到了新階段.可是豐富的教學工具卻讓教師在情境創設方面變得無所適從,甚至產生了越復雜的情境越好這樣的觀點.

在基本不等式的教學中存在以下情況:AB為圓的直徑,C為圓上一個點,D為AB上一個點,即CD⊥AB,AC為a,BC為b.你可以利用在這個圖形中,得出一個不等關系嗎?在上述情境中,教師想聯系幾何知識和代數知識,來達到鞏固幾何知識,進而引出基本不等式定義的目的.再結合啟發式教學,讓學生在具體的問題中發現基本不等式的內涵.可是,上述引入情境中,關于圓的幾何知識本就與基本不等式毫無聯系,在引入過程中學生進行了兩次學習,放大了學習壓力;構建情境后的問題,雖然基于發現學習理論,但對于數學學科,完全舍棄間接知識經驗的發現是非常困難的.所以,這些情境并不能調動學生的學習動機,甚至削弱了主動性,增加了學生的學習壓力,這就和情境教育的五要件之一:以激發學生積極性為前提,激發學生主動[7]相背離.

簡約性要求不能給學生增加額外負擔,也不能在其中添加過多知識點.教師在情境引入時,總想在一定的真實情境中,嵌套更多的知識點,以達到復習舊知的作用,這樣的創設方法是錯誤的.創造真實情境,其目的就是充分調動學習者的積極性,從而促使學生主動地了解新東西,逐步地將新內容帶入知識結構,從而改變思維和建立自身的圖式.因此,創設真實情境引出新知識時,要盡可能減少認知上的難點.此外,真實情境是簡約的,但不是簡單的.知識內容的精簡不代表背后應用的學習理論和操作模式的簡化.因此,真實情境還要是可操作的.可操作是指情景設計人員必須根據已結構化的課程內容,對已選實際生活中的具體案例保留關鍵性的事實和特征,并去除細枝末節和不相干信息,再按照課程核心素質培養水平的實際需要,對情景作出復雜程度不同的結構性處理,從而創造信息支持完整的已結構化主題情景設計,以適應教學的實際要求[8].數學教學中的真實情境,要依據發現學習理論和有意義接受學習理論的有機結合,基于學生已有的數學知識經驗和結構重新編排,形成舊知識—真實情境—新知識的聯系鏈條,這樣學生才是真正理解并掌握了新知識.

3.3 結構不良性

引入真實情境作為數學課堂中的首個環節,學生發現、探索新知識的主要途徑是通過問題進行的.在真實情境中,蘊含新知識的問題不是現成的.學習者必須借助線索發現問題的關鍵原因,從而再現問題,也就是真實情景的結構不良性,指的是所提供的場景沒有將問題的關鍵因素暴露出來,以創造一定空間讓學習者自行找到原因[7].《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》中也明確要求了學習者所必須掌握的技能:能夠在相互關聯的環境中,抽象出最基本的數學思想與規律,判斷運動過程與隨機事件,提出問題并發現或轉換為數學現象[2].不同于教師只重視分析問題、解決問題能力的傳統觀念,在真實情境中發現和提出問題的能力與學生的數學創新能力直接相關.

上述情境中運用完全平方式和二個實數大小關系之間的一般關系,用證明二個實數大小關系之間的一種重要方法——作差法,即可推論出a2+b2≥2ab,進而再利用在各種取值時的代數變換,即可得出基本不等式.以代數知識邏輯為主線,通過學生已有的不等關系知識經驗創設情境,學生在這樣的過程中自然而然會發現問題,進而解決問題,并且此情境中的推導過程符合學生的思維,解決問題對于學生而言是可以實現的.教師創設的情境還要對學生產生挑戰,依據最近發展區理論,情境中舊知識和問題的線索要落在最近發展區內,問題本身要超出學生目前的能力,這樣學生在探索問題時就會有更強的挑戰性.上述基本不等式的情境引入中,基本不等式這個新知識點本身對于學生來說是陌生的,但推導的過程和完全平方公式等舊知識經驗完全在學生的能力范圍之內,因此學生可以在超出自己能力的前提下提出問題,最終解決問題.

4 小結

現在,數學學科的教學依據已經從三維目標轉向核心素養.章建躍先生也提到,我們不能離開數學學科知識空談核心素養.同樣,我們也不能離開數學課堂的第一步——真實情境來空談核心素養.結合基本不等式的教學中幾個真實情境構建的實例,教師在創設真正的真實情境,要有真實性、簡約性、結構不良性.基于間接數學知識經驗與學生真實生活建立實質的聯系.還要以結構化的數學知識體系為主,將不重要的信息刪減,簡化知識,加強情境的吸引力.最后,要促使學習者看到問題、指出問題,從而剖析問題、解決問題.創設真實情景,激發數學的內在動力,用新數學方法教育,才能實現減負提質,切實推動中小學生的核心素質發展.