基于計(jì)數(shù)單位 促進(jìn)教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化
——從“二次根式的運(yùn)算”教材編排順序談起

高凱亮 (郵編:210031)

江蘇省南京江北新區(qū)浦口外國(guó)語(yǔ)學(xué)校

胡歧曦 (郵編:210044)

江蘇省南京市旭東中學(xué)

1 研究緣起

1.1 “二次根式的運(yùn)算”研究順序的困惑

初中學(xué)段學(xué)生會(huì)經(jīng)歷兩次數(shù)域擴(kuò)充,第1次是在七年級(jí)初期引入負(fù)數(shù)后,將數(shù)系擴(kuò)充至有理數(shù)域,第2次是在八年級(jí)引入無(wú)理數(shù)后,將有理數(shù)域擴(kuò)充至實(shí)數(shù)域. 將數(shù)域擴(kuò)充后,也隨之推動(dòng)著數(shù)的運(yùn)算發(fā)展,現(xiàn)行不同版本教材中有理數(shù)、整式、分式的運(yùn)算研究順序?yàn)橄燃訙p后乘除,這與小學(xué)研究的整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的運(yùn)算順序一致。但是,“二次根式的運(yùn)算”編排順序都是先乘除后加減,先研究二次根式乘除的目的是將二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式,為二次根式的加減“服務(wù)”,但是學(xué)生沒(méi)有這樣的認(rèn)知基礎(chǔ),這便讓學(xué)生感覺(jué)無(wú)理數(shù)(式)的運(yùn)算與有理數(shù)(式)的運(yùn)算是割裂的,造成它們各成一派的錯(cuò)覺(jué),沒(méi)有較好的體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的整體性、一致性.

1.2 “最簡(jiǎn)二次根式”編排位置的困惑

綜上所述,制定最簡(jiǎn)二次根式的標(biāo)準(zhǔn)主要有兩種方式:第一,通過(guò)化簡(jiǎn)后的結(jié)果,歸納出最簡(jiǎn)二次根式的標(biāo)準(zhǔn),但是,化簡(jiǎn)到什么標(biāo)準(zhǔn)呢?化簡(jiǎn)方向是不明確的;第二,感受滿足最簡(jiǎn)二次根式部分條件的合理性,隨后直接給出最簡(jiǎn)二次根式的標(biāo)準(zhǔn),對(duì)照著標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行化簡(jiǎn). 無(wú)論哪一種方式,學(xué)生都是被動(dòng)接受,沒(méi)有較好地體現(xiàn)最簡(jiǎn)二次根式的來(lái)龍去脈,沒(méi)有從真正意義上讓學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)發(fā)生,給學(xué)生學(xué)習(xí)造成障礙.

2 “二次根式的運(yùn)算”的教學(xué)思考

2.1 從運(yùn)算類型視角看“二次根式的運(yùn)算”

2.2 “二次根式的運(yùn)算”的研究順序

現(xiàn)行各版本教材對(duì)有理數(shù)、整式的運(yùn)算研究順序都分別是加、減、乘、除,乘方,筆者建議二次根式的運(yùn)算也按照該順序進(jìn)行研究,以“實(shí)數(shù)的運(yùn)算”統(tǒng)領(lǐng)課為載體,先構(gòu)建出實(shí)數(shù)的運(yùn)算類型,分別是實(shí)數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算,依據(jù)有理數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),將問(wèn)題先聚焦到實(shí)數(shù)的加法,實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算分為3種類型,“有理數(shù)+有理數(shù)”“有理數(shù)+無(wú)理數(shù)”“無(wú)理數(shù)+無(wú)理數(shù)”. 通過(guò)列舉一些實(shí)數(shù)的加法算式,學(xué)生易于感知到有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的加法“不好算”,其本質(zhì)原因是計(jì)數(shù)單位不同,隨后將問(wèn)題聚焦到“無(wú)理數(shù)+無(wú)理數(shù)”,感知二次根式與三次根式也“不好”相加,但是,發(fā)現(xiàn)有的二次根式之間能進(jìn)行加法運(yùn)算,有的二次根式之間又不能進(jìn)行加法運(yùn)算,觀察得出“被開方數(shù)”相同的二次根式才便于進(jìn)行加法運(yùn)算. 接下來(lái),讓學(xué)生自主列舉出一些能夠相加的二次根式,在舉例的過(guò)程中開啟二次根式的運(yùn)算之旅,了解二次根式運(yùn)算的來(lái)龍去脈. 在舉例中感知“二次根式的加法”需要具有相同的計(jì)數(shù)單位(同類二次根式)才能夠進(jìn)行運(yùn)算,后續(xù)探究中發(fā)現(xiàn)應(yīng)用二次根式的乘除法法則能夠?qū)Χ胃竭M(jìn)行化簡(jiǎn),而化簡(jiǎn)后的部分二次根式能夠進(jìn)行加減運(yùn)算,明晰二次根式是否能夠進(jìn)行加減運(yùn)算需要先進(jìn)行化簡(jiǎn),那么后續(xù)對(duì)如何制定最簡(jiǎn)二次根式的“標(biāo)準(zhǔn)”便會(huì)合情合理,體會(huì)學(xué)習(xí)最簡(jiǎn)二次根式及制定最簡(jiǎn)二次根式“標(biāo)準(zhǔn)”的必要性與合理性.

事實(shí)上,二次根式的統(tǒng)領(lǐng)課應(yīng)該從第一節(jié)課開始,從“定義——性質(zhì)——運(yùn)算——應(yīng)用”四個(gè)方面展開研究,但是一節(jié)課的時(shí)間有限,第一節(jié)課僅搭建出本章的研究框架,對(duì)本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容有初步的了解,學(xué)生對(duì)二次根式的定義、性質(zhì)有深刻的理解之后,筆者建議,對(duì)二次根式的運(yùn)算進(jìn)行“溯源”,在二次根式的運(yùn)算統(tǒng)領(lǐng)課上從“實(shí)數(shù)的運(yùn)算類型”切入,目的有四個(gè):第一,了解二次根式運(yùn)算的來(lái)龍去脈;第二,感受二次根式運(yùn)算的研究順序與有理數(shù)、整式的運(yùn)算研究順序的一致性,引發(fā)知識(shí)正遷移;第三,基于計(jì)數(shù)單位,感悟有理數(shù)(式)與無(wú)理數(shù)(式)運(yùn)算方法的一致性;第四,以問(wèn)題為導(dǎo)向,體會(huì)學(xué)習(xí)最簡(jiǎn)二次根式及制定最簡(jiǎn)二次根式“標(biāo)準(zhǔn)”的必要性與合理性;下面,呈現(xiàn)出“二次根式的運(yùn)算”統(tǒng)領(lǐng)課教學(xué)設(shè)計(jì),與各位同仁交流、研討.

3 教學(xué)過(guò)程

3.1 構(gòu)建實(shí)數(shù)的運(yùn)算類型

引入初中階段,我們對(duì)數(shù)進(jìn)行了兩次擴(kuò)充,數(shù)域的擴(kuò)充也隨之推動(dòng)著數(shù)的運(yùn)算發(fā)展,本節(jié)課我們研究“實(shí)數(shù)的運(yùn)算”.

核心問(wèn)題“實(shí)數(shù)的運(yùn)算”應(yīng)該如何展開研究呢?

追問(wèn)1“實(shí)數(shù)的運(yùn)算”之前研究過(guò)嗎?能舉些例子嗎?(有理數(shù)的運(yùn)算,根據(jù)運(yùn)算之間的關(guān)系,加法是運(yùn)算的“根”,將問(wèn)題聚焦到實(shí)數(shù)的加法)

追問(wèn)2“實(shí)數(shù)的加法”還有哪些類型呢?(形成結(jié)構(gòu)化的板書(圖1))

圖1

活動(dòng)1觀察下列實(shí)數(shù)的加法算式,你認(rèn)為哪些能進(jìn)行運(yùn)算,并嘗試寫出運(yùn)算結(jié)果.

3.2 聚焦二次根式的加減法

活動(dòng)2寫出一些能夠相加(減)的二次根式算式,并寫出運(yùn)算結(jié)果.

3.3 探索二次根式的乘除法則

追問(wèn)1你有什么發(fā)現(xiàn)?請(qǐng)?jiān)倭信e一些例子驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn),并用字母表示.

追問(wèn)2你能解釋你的發(fā)現(xiàn)嗎?

3.4 制定最簡(jiǎn)二次根式的“標(biāo)準(zhǔn)”

設(shè)計(jì)說(shuō)明活動(dòng)4的目的是應(yīng)用二次根式的乘除法法則化簡(jiǎn)二次根式,判斷兩個(gè)二次根式是不是同一計(jì)數(shù)單位,進(jìn)而判斷是否能夠再進(jìn)行加減運(yùn)算. 本環(huán)節(jié)讓學(xué)生先獨(dú)立嘗試,教師提示學(xué)生可以用二次根式的乘除法法則進(jìn)行化簡(jiǎn),學(xué)生獨(dú)立嘗試后教師進(jìn)行如下追問(wèn).

追問(wèn)6通過(guò)活動(dòng)2,我們知道被開方數(shù)相同的二次根式才能進(jìn)行加減運(yùn)算,通過(guò)活動(dòng)4,你又有哪些收獲?(看似被開方數(shù)不相同的二次根式,部分二次根式應(yīng)用二次根式的乘除法法則化簡(jiǎn)后,也能夠進(jìn)行加減運(yùn)算,引導(dǎo)學(xué)生制定出最簡(jiǎn)二次根式的“標(biāo)準(zhǔn)”)

評(píng)注通過(guò)6個(gè)追問(wèn)讓學(xué)生逐步感受制定最簡(jiǎn)二次根式“標(biāo)準(zhǔn)”的必要性與合理性,即被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù);被開方數(shù)不含分母;分母中不含有根號(hào);并“生長(zhǎng)”出同類二次根式的定義. 第1、2、3題通過(guò)化簡(jiǎn)后都能夠繼續(xù)進(jìn)行加法運(yùn)算,第4題通過(guò)化簡(jiǎn)后,不能夠繼續(xù)進(jìn)行加法運(yùn)算,目的是讓學(xué)生感受到不是所有的二次根式化簡(jiǎn)后都能夠進(jìn)行加減運(yùn)算,后續(xù)為了統(tǒng)一,我們習(xí)慣上都將根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)根式,最簡(jiǎn)根式也是根式的計(jì)數(shù)單位.

3.5 課堂小結(jié),明確研究方向

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),有哪些收獲?你認(rèn)為二次根式的運(yùn)算最重要的是哪一步?(活動(dòng)中學(xué)生易于感受二次根式的運(yùn)算最重要的是判斷兩個(gè)二次根式是不是同類二次根式,所以下節(jié)課我們將重點(diǎn)研究二次根式的化簡(jiǎn))

4 總結(jié)與反思

4.1 基于計(jì)數(shù)單位 體現(xiàn)數(shù)的運(yùn)算的一致性

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出“數(shù)的認(rèn)識(shí)是數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ),通過(guò)數(shù)的運(yùn)算有助于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)數(shù)”[1]. 數(shù)是一個(gè)統(tǒng)一體,數(shù)的運(yùn)算也是一個(gè)統(tǒng)一體[2],2022年版新課標(biāo)在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域指出,用計(jì)數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算,要讓學(xué)生感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性,體會(huì)數(shù)的運(yùn)算的一致性,2022年版新課標(biāo)中“計(jì)數(shù)單位”一詞的頻數(shù)高達(dá)8次. 因此,學(xué)生到初中階段也可以延續(xù)用計(jì)數(shù)單位來(lái)統(tǒng)領(lǐng)實(shí)數(shù)的運(yùn)算,體現(xiàn)有理數(shù)(式)與無(wú)理數(shù)(式)運(yùn)算的一致性. 上述“二次根式的運(yùn)算”統(tǒng)領(lǐng)課中,從“實(shí)數(shù)的運(yùn)算”切入,首先讓學(xué)生回顧“實(shí)數(shù)的運(yùn)算”之前研究過(guò)嗎?能舉些例子嗎?引發(fā)學(xué)生將有理數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行正遷移,根據(jù)有理數(shù)加減乘除運(yùn)算之間的關(guān)系,將實(shí)數(shù)的運(yùn)算先聚焦到實(shí)數(shù)的加法,通過(guò)活動(dòng)1感悟到有理數(shù)與無(wú)理數(shù)“不好”進(jìn)行加法運(yùn)算,體會(huì)其本質(zhì)原因是計(jì)數(shù)單位不同,類比異分母分?jǐn)?shù)的加法,首先需要通分,統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位后再進(jìn)行分?jǐn)?shù)的加法運(yùn)算,通過(guò)“實(shí)數(shù)的運(yùn)算類型”進(jìn)行引入,讓學(xué)生對(duì)有理數(shù)、無(wú)理數(shù)有了更深刻的認(rèn)識(shí). 筆者建議,二次根式一章的內(nèi)容學(xué)習(xí)結(jié)束后,復(fù)習(xí)課上引領(lǐng)學(xué)生回顧本章的研究對(duì)象(二次根式)、研究?jī)?nèi)容及研究路徑(定義——性質(zhì)——運(yùn)算——應(yīng)用),并布置學(xué)生對(duì)三次根式展開研究,小組匯報(bào)研究成果,若學(xué)生能夠明確哪些三次根式能夠相加,能夠用三次根式的乘除法法則化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)三次根式,并能夠列舉出一些同類三次根式,說(shuō)明學(xué)生對(duì)二次根式的學(xué)習(xí)是成功的,這樣的學(xué)習(xí)方式也是具有可持續(xù)發(fā)展的;在探究過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到二(三)次根式與偶(奇)數(shù)次根式是“一致”的,有助于學(xué)生對(duì)根式有結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí).

4.2 以問(wèn)題為導(dǎo)向 體會(huì)知識(shí)發(fā)展的必要性

史寧中教授認(rèn)為,基于“四基”的教學(xué)需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的情境,提出合適的問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生思考或者與他人進(jìn)行有價(jià)值的探討[3]. 統(tǒng)領(lǐng)課上以1個(gè)核心問(wèn)題“實(shí)數(shù)的運(yùn)算應(yīng)該如何展開研究”為導(dǎo)向,激發(fā)學(xué)生思考,學(xué)生通過(guò)活動(dòng)1先感知整數(shù)、根式的計(jì)數(shù)單位,筆者認(rèn)為,課堂上不一定要提出計(jì)數(shù)單位這個(gè)術(shù)語(yǔ),但是學(xué)生首先需要明晰怎樣的二次根式才能夠進(jìn)行加減運(yùn)算,這也是后續(xù)體會(huì)學(xué)習(xí)最簡(jiǎn)二次根式及制定最簡(jiǎn)二次根式“標(biāo)準(zhǔn)”的必要性與合理性的重要來(lái)源. 從二次根式的結(jié)構(gòu)上來(lái)看,最簡(jiǎn)二次根式是對(duì)根式分類的結(jié)果,從計(jì)數(shù)方法上來(lái)看,最簡(jiǎn)二次根式能夠直接看出二次根式的計(jì)數(shù)單位,同時(shí)也便于快速判斷幾個(gè)二次根式之間是否能夠進(jìn)行加減運(yùn)算,在探究過(guò)程中多角度感悟制定最簡(jiǎn)二次根式標(biāo)準(zhǔn)的必要性與合理性.