單元循同構 類比漸生長
——以滬科版“一元一次不等式與不等式組”章節起始課為例

劉維全 (郵編:230000)

安徽省合肥市合肥一六八玫瑰園學校

大單元教學早已為教師熟知,但現實仍然停留在“以賽促研”的推動階段,實際的教學中,教師固守教材,無動于衷的不乏其人.尤其是對章節的起始課關注不夠,對結構教學還不能駕馭.課堂組織者應該以整冊書或者整個學段的視角統籌設計,使得節與節、章與章、冊與冊形成貫通的知識結構體系,這樣培育數學核心素養才更有現實意義.數學核心素養的成分隱藏在知識體系、知識結構之中,難以在單個的知識點上表現出來[1].因此,開展大單元教學是形成數學核心素養的必然選擇,筆者結合自己上過的一節新授課,從學段的角度,重構單元教學,通過類比遷移的思想呈現知識與能力共生長的課堂.

1 基于課標,整體規劃

1.1 課標對“一元一次不等式與不等式組”這部分內容的確定

(1)結合具體問題,了解不等式的意義,探索不等式的基本性質.

(2)能解數字系數的一元一次不等式,并能在數軸上表示出解集;會用數軸確定兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集.

(3)能根據具體問題中的數量關系,列出一元一次不等式,解決簡單的問題[2].

其中目標1和2貫穿于不等式學習的始終,是后續學習函數,理解函數與方程、不等式之間關系的基礎,通過解不等式,體會其中蘊含的化歸思想.目標3是核心素養落實的著眼點,通過問題情境、數學建模、問題解決的過程,感受數學的價值,從具體的實際問題出發,教會學生用數學的思維看待生活,理解不等式,理解數學.

1.2 章引言 章頭圖的解讀

章引言是全章的開篇概述,是開門見山的導引,是“未成曲調先有情”的樂章.學生沿著該序曲能夠先行統覽,提前預知本章學習的地位和作用,進而激活探索欲,喚醒內驅力,激發學習場.

章頭圖展示的是一架傾斜的天平,結合生活感悟,天平聯想到公平和正義,從數學的眼光可以理解為“相等”關系.傾斜的天平,告訴我們平等和自由之外還有法制和邊界.預示著數學中的“不等”關系也普遍存在.對于等量關系,可以用方程、方程組來刻畫,對不等量之間的關系引入不等式、不等式組來刻畫就順理成章.

1.3 教材內容分析

教材分為3大節和一個綜合實踐(排隊問題);第一節是不等式及其性質;第二節是一元一次不等式;第三節是一元一次不等式組;本章是學生學習過實數的大小比較之后的新的章節,已經涉及到數的相等和不等關系,通過數與式的同構關系,類比一元一次方程(組)學習的基礎上將對不等關系進行探討.教科書從生活實際問題出發,讓學生通過觀察、思考、探究等活動,了解到現實世界中除了相等關系之外,還有不等關系,要想合理的解釋這些現象,就需要對不等關系進行學習和探討.數學知識的學習都有它內在的規侓,方程是等量關系的模型,不等式是不等關系的模型.通過類比,由舊知遷移到新知,在溫故的基礎上新知自然生長.章頭圖天平秤重物,簡明扼要的點明數學與生活的聯系,教材的選材都與我們的生活息息相關,體現了數學的應用價值,一個個實際問題的解決增強了數學的應用意識.本章安排了觀察、思考、探究、交流及數學活動為學生的數學思考、解決問題、情感態度的發展提供了空間,讓學生擁有了自主思考的空間.通過解決實際問題中的“審”“設”“列”“解”“驗”“答”環節,領悟不等式模型化思想,體會符號化意識.理解轉化思想的必要,借助數軸求不等式組的解集,再次感悟數形結合的思想.

基于課標的界定,統覽現行的滬科版教材,對本章做出如下整體規劃:

單元起始課:利用知識遷移,類比形成本章的知識結構(充分利用章引言和章頭圖及相關情景形成本章學習的知識結構體系,把本章學習的層次性凸顯出來,形式知識結構(圖1),其中包括不等式、不等式的性質,一元一次不等式(組)的具體知識.

圖1

第一節新授課前復習等式的概念和性質,類比遷移得到不等式及其基本性質.回憶已經學習過的不等號“>”“<”,通過問題1弄清“≥”“≤”的意義.不等式的五條基本性質依然選擇類比等式的性質進行比較,充分利用教材的數學活動,通過觀察、實驗、猜測、交流讓學生親自體驗從動手實驗到實驗操作,從數字驗證到數字抽象的過程.

第二節一元一次不等式的學習通過與方程的類比,依然可以知道不等號兩邊是整式,含有一個未知數,未知數的次數是1.區別就在不等式的解有解可能有多個,一元一次方程有解最多只有一個.利用數軸把不等式的解集表示出來,學生形象的看到不等式的解集一般是一個區間,教學中讓學生熟練的進行符號語言和圖形語言的互譯.這節教材安排了大量的與生活實際聯系緊密的例題、練習、習題,可鼓勵學生挖掘身邊的教材,自己編制一些一元一次不等式有關的題目,同學之間相互交流,共同解答,增強學習的主動性.

第三節解一元一次不等式組,就是求不等式組中每個不等式的公共部分,如何解不等式學生已經熟悉,因此,本節的重點是在解集的確定上,教學中,借助數軸的直觀性將公共部分表示出來,表示不等式的解集也是教學的難點,利用數軸來解決難點是行之有效的方法.滬科版教科書第37頁“交流”的內容,給學生充分討論,教學中可引導學生根據字母a,b的大小將a,b在數軸上表示出來.轉化的思想在一元一次不等式組學習中繼續呈現,教學中引導學生合作交流,在主動學習、探究學習的過程中獲得知識,培養能力,進一步提高對“解不等式(組)中蘊含的轉化思想”的認識.

除了前三節內容,還一個綜合實踐,它還原生活中的排隊問題,利用不等式的知識呈現顧客排隊等待和排隊現象何時消失等問題的探討,涉及到方程與不等式的綜合,探究的思維含量很大.教材中安排4組問題供學生探究,讓學生經歷從具體到抽象的思維過程,考察學生的閱讀能力,數學應用意識等,滲透建模思想、歸納思想、分類討論思想,增強分析問題、解決問題的能力,通過活動,了解數學的價值,提高學生學習數學的興趣,增強學好數學的信心,具有初步的創新意識和科學態度.

2 單元循同構,類比漸生長

2.1 教學目標

(1)了解不等式的意義,理解不等式的解和解集的意義.

(2)探索不等式的基本性質;能運用不等式的基本性質探究一元一次不等式的解法.

(3)掌握一元一次不等式的解法;會用數軸確定不等式的解集,并能體會解法中蘊含的化歸思想.

(4)了解一元一次不等式組及其解集;會解一元一次不等式組;會用數軸求出不等式組的解集;了解數形結合的方法.

(5)經歷“問題情景、數學建模、問題解決”的學習過程,感受數學的應用價值;能根據具體問題中的數量關系,列出一元一次不等式,解決簡單的問題[3].

2.2 教學重難點

重點:不等式的基本性質、解一元一次不等式(組).以一元一次不等式為工具分析問題、解決實際問題以及建立不等式過程中蘊含的建模思想和解不等式(組)過程中蘊含的轉化思想.

難點:對不等式的基本性質的正確理解,尤其是基本性質3;不等式(組)解集的準確表達;由實際問題建立不等式的數學模型.

2.3 教學過程設計

2.3.1 從方程到不等式,初成結構

問題1:

師:同學們!還記得七年級上學期數學的前三章的標題嗎?

生:有理數、整式的加減、一元一次方程(組)

師:這幾個章節的內容之間有怎樣的邏輯關系呢?它與今天要介紹的新課有何聯系?請同學們先在小組內分享自己在課前梳理的關系結構圖(圖2),并派小組代表進行展示.

圖2

預設通過小組代表交流,形成結構,教師點撥,逐漸梳理出本章知識學習的路徑.

問題2:

師:下列方程那些是一元一次方程,判斷一元一次方程的關鍵是什么?

生: ①③是一元一次方程,判斷的關鍵是只含有一個未知數,未知數的次數是1,等號兩邊都是整式.

師:如果把一元一次方程中的等號換成不等號連接,這樣的不等式又該如何命名?

生:一元一次不等式.

師:說出一元一次不等式的定義.

追問:一元一次不等式組的又如何定義?

生:由幾個含有同一個未知數的一元一次不等式組成的不等式組.

問題3:

追問:上述等式性質中的等號換成不等號后,不等式兩邊“加”“減”“乘”“除”相同的數(式)呢?,不等號仍然成立嗎?

生1:應該可以吧!

生2:要分類討論,看具體情況才能確定不等號的方向.

問題4:

師:解一元一次方程的步驟是什么?

生1:去分母、去括號、移項、合并同類項、化系數為1

生2:“消元”轉化為一元一次方程

師:解一元一次不等式呢?如何解一元一次不等式組呢?

生:步驟和方法是相通的!

問題5:

師:利用一元一次方程解決實際問題的步驟是什么?

生:“審題”“設元”“列方程”“解方程”“檢驗”“作答”.

師:解決實際問題的一般思路都可以按照下面(圖3)的步驟來進行!涉及到不等關系的實際問題應該如何解決呢?

圖3

生:應該也是遵循這樣解決問題的路徑.

師:數式可以同構,不等式的學習也可以和方程一樣開展類比性學習,從這章開始我們將學習“數與代數”模塊中的不等關系的數學模型(教師板書:不等式及不等式組)

設計意圖為了讓類比思想在這節課貫穿始終,課前對數、式、方程的結構進行了梳理,具體到等式的性質、解一元一次方程和列一元一次方程解決實際問題的每個步驟.課中,師生合作,同伴互助形成共識,為接下來的學習培根固源,因為這樣遷移學習更有力量.通過典型例題,喚醒學生的前概念,激活學生的類比思維.基于數與式的同構,方程和不等式也具有相同或相似的特征,在方程學習結構的基礎上,引導學生,梳理出不等式學習的整體結構.由此及彼,借方程之石,攻不等式之玉,方程和不等式是“數與代數”中類比推理和類比思維的重要素材,在數學發展的歷史長河中,占據舉足輕重的作用,必須認真審視和對待他,最終實現數學學習中的“前后一致,邏輯連貫,一以貫之”.

2.3.2 類比轉換 循序生長

師:下列式子哪些是不等式?哪些是一元一次不等式?

12x<20;②-2<0;③x=1;④x2-xy;⑤x-3<0;⑥x-1

生:①②⑤⑥都是不等式,①⑤是一元一次不等式

師:請同學們嘗試列式表達下列數量關系

(1)a與1的和是正數:______;(2)a與3的和小于-3:______;

(3)a與-2的差不大于5:______;(4)a的5倍不小于10:______;

(5)某種植物生長的適宜溫度不能低于18℃,也不能高于22℃,若設該種植物生長的適宜溫度為x℃,則有不等式:______;

生:a+1>0,a+3<-3,a-(-2)≤5,5a≥10,18≤x≤22

設計意圖把數、式用不等號連接起來,表示不等關系的式子叫做不等式,通過辨析,初步了解一元一次不等式.通過實際問題,把文字語言轉化成符號語言,體會文字中不等關系對應的不等號,理解不等關系的關鍵詞“大于”“超過”“高于”“小于”“不足”“低于”“正數”“負數”等對應的不等符號.學生的思維被喚醒后,逐漸在頭腦中形成不等式的學習結構,后續學習同類知識和相關概念也會在類比、遷移、同化中自然生長.

2.3.3 類比嘗試 同構生長

師:解下列不等式(組),并把解集在數軸上表示出來．

設計意圖本題作為例題示范,喚醒學生解一元一次方程的思想和方法,帶領學生一起完成解答全過程,讓學生在對比中發現解一元一次方程和一元一次不等式(組)的解法上的相同點和化系數為1的不同.在數軸上表示一元一次不等式(組)的解(集),直觀的呈現方程的解與不等式的解的區別.同時讓學生理解不等式的解集端點處的實心還是空心,初步感悟“若邊界點含于解集為實心點,不含于解集即為空心點”這一教學難點.

2.3.4 梯度進階 再度生長

師:為落實“五育”并舉工作,某中學以體育為突破口,準備從體育用品商場一次性購買若干個足球和籃球,用于學校球類比賽活動．每個足球的價格都相同,每個籃球的價格也相同．已知籃球的單價比足球單價的2倍少30元,用相同的費用,購買的足球數量與購買的籃球數量之比為3∶2．

(1)足球和籃球的單價各是多少元?

(2)根據學校實際情況,需一次性購買足球和籃球共200個,但要求足球和籃球的總費用不超過15500元,學校最多可以購買多少個籃球?

設計意圖第一問是列方程解決實際問題,第二問是列不等式解決實際問題.通過對比,了解何時建立一元一次方程和一元一次不等式的數學模型,理解解題的關鍵是找清楚各數量之間的關系,正確列出對應的關系式.

5.反芻結構,設計作業(略)

3 反思評價

3.1 循序同構 類比貫通

數學教學必須超越"碎片化教學",幫助學生建構起整體性的認識,包括很好地掌握知識的整體性結構,并能逐步學會從層次的角度進行分析和思考[4].方程和不等式是“數與代數”領域中的兩大模型,整體性需要建構、層次感有待挖掘.它們都在大概念“函數”的統領之下.隨著后續對函數圖象的認識,我們知道,函數圖象與坐標軸的交點坐標對應著方程的解,與坐標軸交點以外的點的集合對應著不等式的解集.方程表示數量關系中的相等關系、不等式表示數量關系中的不等關系,函數是描述數量的變化關系.三者構成了“數與代數”中的核心大概念,彼此相輔相成,彼此補充,自成體系又和互為核心,數學思想上從特殊到一般,又從一般回到特殊,方法上互相借鑒,彼此正向遷移,是數與代數中類比、遷移學習中的經典案例.

在數學學習中,開展類比性學習,處處可見,大到學科間的互融,學段的螺旋上升,單元的層次遞進,小到概念的同化,性質定理的比較,結論命題的推演.教學中,要適時抓住每一個教學契機,帶領學生進行知識、方法、結構上的類比,牢牢抓住知識銜接點、教材結構連接處,學段的延伸枝,梳理出學習的“模式”,長時間的開展專長訓練,練就學生觸類旁通、遷移轉換、主動建構的能力,以此來融會貫通學科知識,提升數學學科素養.

3.2 變構教材 循脈生長

教學主線是教師整節課或整個單元、章節謀篇布局的某種思路,是課堂教學中各個教學點連續互動、有效交融后構建起來的教學形態,決定著課堂教學活動的方向和有效性[5].現行每一套版本的教材都有自己的教材編寫理念,章節間、學段間都有內在的教學主線和邏輯關系.但也有不盡完美的地方,需要教師帶領學生一起讀懂教材、讀懂結構、循脈探路.按照知識生長的脈絡,充分考慮學生的學情,對教材進行有規律的變構,再此基礎上,學生才能更好的適應教學節奏,找到知識生長的本源.

數學的學習,思想的引領始終是一條暗線,促進著學生的學科素養的養成.對教材的變構,依然遵循這一規律,從特殊到一般,又從一般回到特殊.由數及形,由形及數.厘清數量之間的關系,體現分類的思想,潛意識中進行提煉,外顯后形成分類標準.站在學段的高度,以數學思想為統領,循通性通法而生長,在散落的章節中找規律,逐漸形成數學學習的一般規律,培養數學學習的學科素養.

3.3 融合技術 設計作業

大單元教學中,信息技術的融合不可或缺,“雙減”背景下的作業的設計也占據著重要的一環.怎樣更準確的了解學生,實現精準教學,課后作業的質量,決定數學核心素養的豐富內涵.在現有的條件下,將信息技術與課堂深度融合,在課后作業環節中通過技術反饋問題,用大數據解釋行為,智能推送并自適矯正偏差,進而掌控后續課堂的節奏,以此減少倒追原因所產生的沉重代價,通過優質的作業練習,學生形成抽象能力、推理能力和模型觀念.發展幾何直觀和運算能力都會有較大的提升.