“圖形變換” 凸顯 “核心素養(yǎng)”
——2023年溫州市中考數(shù)學(xué)填空壓軸題評(píng)析

朱 光 (郵編:325000)

浙江省溫州市第十二中學(xué)

1 試題呈現(xiàn)

圖1

圖2

2 試題評(píng)價(jià)

2.1 問(wèn)題設(shè)計(jì)新穎,聚焦核心知識(shí)

本題用七巧板圖案巧妙構(gòu)筑了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,它融合等腰直角三角形、平行四邊形、正方形、相似三角形、圓等基本圖形,圖形變換自然．第(1)問(wèn)起點(diǎn)較低,運(yùn)用了垂徑定理、勾股定理和方程思想等核心知識(shí)和方法．同時(shí)第(1)問(wèn)為第(2)問(wèn)做鋪墊,兩問(wèn)聯(lián)系緊密,梯度自然、合理．

2.2 猜想和推理的有效結(jié)合

七巧板由一些特殊幾何圖形構(gòu)成,圓和拼成的“房子”具有很多的對(duì)稱(chēng)關(guān)系,易于學(xué)生在直觀(guān)中發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系．由圖形易產(chǎn)生猜想:圓心是否在中間橫線(xiàn)上?點(diǎn)A和點(diǎn)B是否在“房子”的上下水平延長(zhǎng)線(xiàn)上?點(diǎn)N是否為圓心?猜想是解題的基礎(chǔ),沒(méi)有猜想的引領(lǐng),推理往往會(huì)迷失方向,同時(shí)猜想必須要經(jīng)過(guò)推理論證．本題充分體現(xiàn)猜想驗(yàn)證思想．

2.3 在解決問(wèn)題中凸顯核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,進(jìn)一步加強(qiáng)綜合與實(shí)踐,以解決實(shí)際問(wèn)題為重點(diǎn)．本題在解決問(wèn)題的過(guò)程中,凸顯了對(duì)數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀(guān)、數(shù)學(xué)運(yùn)算、推理能力、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的考查,展現(xiàn)了豐富的文化內(nèi)涵和數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值．

3 解法展示

3.1 求圓的半徑

分析 要求圓的半徑,先要確定圓心．圓心必在弦的中垂線(xiàn)上．

思路1勾股定理+方程思想

解法1如圖3,連結(jié)GH,易證GH=2=GQ,因?yàn)檫^(guò)左側(cè)的三個(gè)點(diǎn)Q,K,L確定一個(gè)圓．QH=HL=4,又NK⊥QL,所以圓心O在KN上,連接OQ,設(shè)設(shè)OQ=r．則OH=r-KH=r-2,在Rt△OHQ中,因?yàn)镺H2+QH2=QO2,所以(r-2)2+42=r2,解得:r=5．

圖3

思路2相似+方程思想

圖4

3.2 求面積

分析在求得半徑的基礎(chǔ)上,對(duì)“點(diǎn)A,N,M在同一直線(xiàn)上”這一關(guān)鍵條件進(jìn)行深度分析．如圖5,可知∠ANS=∠AMP,通過(guò)先猜后驗(yàn)AN=MN,求得OS是關(guān)鍵．

圖5

思路1利用相似(或三角函數(shù))+勾股定理

思路2利用圖形的對(duì)稱(chēng)性

圖6

圖7

圖8

解法4由解法3知MB⊥AB,易知點(diǎn)L,M,B三點(diǎn)共線(xiàn),如圖9,連結(jié)QA,因?yàn)镼L∥AB,所以∠QLB=∠B=90°,因?yàn)锳,Q,L,B由四點(diǎn)共圓,所以∠LQA=90°,且所以四邊形AQLB為矩形,所以AB=QL．又因?yàn)镺S⊥AB,KS⊥QL,所以O(shè)S=OH=3,后面同解法1．

圖9

4 小結(jié)

本題解答思路豐富,還有很多解法不一一呈現(xiàn)．值得注意的是,有不少學(xué)生在求解第二空的過(guò)程中默認(rèn)了L,P,B三點(diǎn)共線(xiàn),或者默認(rèn)點(diǎn)A在“房子”的上邊所在的直線(xiàn)上．這是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?這樣明顯降低了求解的難度,存在運(yùn)氣成分．事實(shí)上,L,P,B三點(diǎn)共線(xiàn)與條件點(diǎn)A,N,M在同一直線(xiàn)上和已知線(xiàn)段的長(zhǎng)度是密切相關(guān)的．