探究遞推數列與概率的交匯問題

趙 偉 (郵編:443501)

湖北省長陽縣第一高級中學

《普通高中數學課程標準(2017年版》將“高中數學課程以學生發展為本,落實立德樹人根本任務,培育科學精神和創新意識,提升數學學科核心素養”作為課程的基本理念[1].

2019年頒布實施的《中國高考評價體系》,明確“四翼”考查要求立足于素質教育應達成的內容表現與形式表現,在強調命題基礎性的同時,特別提出綜合性、應用性和創新性的試題命制要求[2].因而,素養導向和能力立意是高考數學命題的鮮明特征,在不同章節、不同學科知識的交匯點處設計題目,是高考命題的基本點,也是高考命題的熱點.

遞推數列背景下的概率問題,是高中數學重難點之一.遞推數列就是用遞推關系表達數列,此類問題綜合性強、思維量大,需要學生能夠從背景中準確提取信息,建立數列遞推關系式,將概率問題轉化為數量關系的數列問題.問題類型多種多樣,如線性遞推、二次遞推、指數遞推等.了解遞推數列的概念,掌握不同類型的遞推數列,能夠幫助學生更好地理解遞推數列的規律和解題方法,能夠鍛煉學生的數學思維,提高學生對轉化與化歸、分類討論等數學思想的運用,有利于培養學生的分析問題、解決問題的能力,提升數學建模、邏輯推理、數據分析、數學運算等核心素養.

概率與其他數學知識的交匯點主要體現在隨機過程、數理統計、馬爾科夫鏈等領域.例如在數理統計中,我們通常利用概率知識來描述隨機變量的分布規律;在馬爾科夫鏈中,我們利用概率知識來描述狀態轉移的過程.了解這些交匯點,能夠幫助學生更好地理解概率在數學和其他學科中的應用,加強學科之間的融合,提高學生的綜合實踐能力.

文章采擷一些近年的高考真題和模擬題,以此為例闡述遞推數列與概率交匯問題的一般解法.

1 遞推數列與概率交匯問題歸納與分類解析

1.1 一階線性遞推數列an+1=pan+q(pq≠0,p≠1)型

2023年新高考Ⅰ卷第21題以概率統計為背景,分別考查了全概率公式和數列遞推式,試題特色鮮明,導向明確.

例1(2023年新高考Ⅰ卷第21題改編)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規則如下:若命中則此人繼續投籃,若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．

(1)略;(2)求第i次投籃的人是甲的概率;(3)略．

分析第(2)問遞推關系為:若第i+1次投籃的人是甲,有兩種情況:

(1)第i次投籃的人也是甲,且投籃命中;

(2)第i次投籃的人是甲,且投籃未命中,第i+1次換為甲投籃;

根據全概率公式得到pi+1=0.4pi+0.2及遞推數列知識,構造等比數列即可解決問題.

解(2)記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai,“第i次投籃的人是乙”為事件Bi,

設P(Ai)=pi,依題可知,P(Bi)=1-pi,根據全概率公式,則

P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)

=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi),

即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)

=0.4pi+0.2,

構造等比數列{pi+λ},

評注由全概率公式構造概率遞推關系式,其本質上就是由第n-1次的各種試驗結果,結合全概率公式去計算第n次試驗中某事件發生的概率.本題是一階線性遞推數列,an=pan-1+q型,第二問的解題關鍵是根據題意找到遞推關系式,然后根據數列知識求解．

高中數學教科書(2019年人教A版)選擇性必修三第91頁第10題即是問題的原型:甲、乙、丙三人相互做傳球訓練,第1次由甲將球傳出,每次傳球時,傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人,求n次傳球后球在甲手中的概率[3].

此題是一階線性遞推數列,是經典的傳球模型.本題結合實際生活模型,需要學生具備一定的數學建模能力,對數列的通項與求和計算能力要求較高,重點考查數學建模、數學運算等核心素養.

例2(2020年江蘇卷第25題)甲口袋中裝有2個黑球和1個白球,乙口袋中裝有3個白球．現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋,重復n次這樣的操作,記甲口袋中黑球個數為Xn,恰有2個黑球的概率為pn,恰有1個黑球的概率為qn．

(1)求p1,q1和p2,q2;

(2)求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系式和Xn的數學期望E(Xn)(用n表示) ．

分析重點考慮第(2)問的遞推關系,若第n次交換后甲口袋中有2個黑球,則第n一1次甲口袋分為兩種情況:有2個黑球或只有1個黑球.

①若有2個黑球,則乙口袋全是白球,此時甲口袋只能抽出白球與乙口袋白球交換;

②若只有1個黑球,此時甲口袋只能抽出白球與乙口袋中唯一的黑球交換.由全概率公式可得

若第n次交換后甲口袋中有1個黑球,則第n一1次甲口袋分為三種情況:有2個黑球、1個黑球或沒有黑球,同上由全概率公式可得

還可以用特征根法解一階線性遞推數列.在數列{an}中,a1已知,且n≥2時,an=pan-1+q(p,q是常數),

①當p=1時,數列{an}為等差數列;

②當p=0時,數列{an}為常數數列;

③當p≠1,q=0時,數列{an}為等比數列;

1.2 二階線性遞推數列an+2=pan+1+qan型

二階線性遞推數列一般可以用待定系數法,實現二階轉化為一階的目的,轉化為特殊數列{an-kan-1}的形式求解．

設an+2-kan+1=h(an+1-kan),比較系數得h+k=p,-hk=q,可解得h、k,于是{an+1-kan}是公比為h的等比數列,這樣就化歸為an+1=pan+q型.

利用全概率公式,我們既可以構造某些遞推關系求解概率問題,還可以推導經典的一維隨機游走模型,即設數軸上一個點,它的位置只能位于整點處,在時刻t=0時,位于點x=i(i∈N+),下一個時刻,它將以概率α或者β(α∈(0,1),α+β=1)向左或者向右平移一個單位.

若記狀態Xt+1=i表示:在時刻t該點位于位置x=i(i∈N+),那么由全概率公式可得:

P(Xt+1=i)=P(Xt=i-1)·P(Xt+1=i|Xt=i-1)+P(Xt=i+1|Xt=i+1)

另一方面,由于P(Xt+1=i|Xt=i-1)=β,P(Xt+1=i|Xt=i+1)=α,代入上式可得:

Pi=α·Pi+1=β·Pi-1.

假設在x=0與x=m(m∈N+)處各有一個吸收壁,當點到達吸收壁時被吸收,不再游走.于是,P0=0,Pm=1.隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.

若點在某個位置后有三種情況:向右平移一個單位,其概率為a,原地不動,其概率為b,向左平移一個單位,其概率為c,那么根據全概率公式可得:Pi=aPi-1+bPi+cPi+1.

例3(2019年全國1卷21題)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗．試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后,再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數多的藥更有效．為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X．

(1)求X的分布列;

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1)．假設α=0.5,β=0.8．

(i)證明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數列;

(ii)略．

分析試驗進行過程中,若某一輪試驗之后,甲的累計得分為i,則下一輪試驗中甲的累計得分有如下可能:

①甲累計得分為i-1,即甲藥得-1分;

②甲累計得分為i, 即甲藥得0分;

③甲累計得分為i+1,即甲藥得1分;

由此可得,pi=api-1+bpi+cpi+1(i = 1,2,…,7) .

由α=0.5,β=0.8結合(1)求得a,b,c的值,代入pi=api-1+bpi+cpi+1,得到(pi+1-pi)=4(pi-pi-1),由p1-p0=p1≠0,可得{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為公比為4,首項為p1的等比數列.

評注本題是函數與數列的綜合題,主要考查數列和函數的應用,考查離散型隨機變量的分布列,根據條件推出數列的遞推關系是解決本題的關鍵．全概率公式出現在高中數學新教材(2019年人教A版)選擇性必修三中,是新高考考查內容.利用全概率公式,我們既可以構造某些遞推關系求解概率,還可以推導經典的一維隨機游走模型.

本題的遞推公式pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)就是基于全概率公式得出的結論,題目根源是具有雙側吸收璧的直線上的隨機游走問題,屬于統計專業所學的隨機過程中的馬爾科夫鏈問題的特殊形式[4].

形如a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常數)的二階遞推數列還可以用特征根法求得通項an,其特征方程為x2=px+q.

若方程有二異根α,β,則可令an=c1αn+c2βn(c1,c2是待定常數)

若方程有二重根α=β,則可令an=(c1+nc2)αn(c1,c2是待定常數)

再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2,進而求得an.

1.3 三階線性遞推數列an+1=pan+qan-1+tan-2型

解決此類問題的一般策略是:

設其特征方程為x3=px2+qx+t.

若方程有三異根α,β,γ,則可令an=c1αn+c2βn+c3γn(c1,c2,c3為待定常數);

若方程有二重根α,β=γ,則可令an=c1αn+c2βn+nc3βn-1(c1,c2,c3為待定常數);

若方程有三重根α=β=γ,則可令an=c1αn+nc2αn-1+n(n-1)c3αn-2(c1,c2,c3為待定常數);

再利用a1=m1,a2=m2,a3=m3,可求得c1,c2,c3,進而求得an.[5-6]

(1)記X表示該團隊一輪答題的得分,求X的分布列及數學期望E(X);

(2)假設該團隊連續答題n輪,各輪答題相互獨立．記Pn表示“沒有出現連續三輪每輪得1分”的概率,Pn=aPn-1+bPn-2+cPn-3(n≥4),求a,b,c;并證明:答題輪數越多(輪數不少于3),出現“連續三輪每輪得1分”的概率越大．

分析(1)略;(2)重點考慮遞推關系:

故Pn+1P3>P4,

則P1=P2>P3>P4>P5>……

所以答題輪數越多(輪數不少于3),出現“連續三輪每輪得1分”的概率越大.

評注本題考查離散型隨機變量分布列、數學期望的求解;第二問處理的關鍵是能夠合理分析第n,n-1,n-2,n-3輪的得分對概率Pn的影響,從而求得遞推關系.還有一些經典的遞推問題,比如“環排列問題”“斐波那契數列”“錯排問題”等,這些問題的處理方式也會給我們在數列遞推和概率問題中帶來啟發.根據遞推數列求通項公式的方法還有不動點法、特征根法等.

2 試題研究對教學及復習的啟示

遞推數列和概率是數學中兩個重要概念,它們在數列基礎知識和運算性質等方面有著密切的聯系和交匯.數列是離散的函數,對學生理解函數及迭代思想有著重要的作用.有些遞推數列具有一些特殊的性質,如周期性、收斂性等,這些性質在數學和實際應用中都有著廣泛的應用,例如計算機科學中的密碼學、數據加密等領域;物理學中描述量子力學、流體動力學等領域中的現象.概率是描述隨機現象的數學模型,為我們認識和解決現實問題提供了思考的方法、重要的工具.

針對遞推數列問題,教學及復習要歸納其基本類型、一般思路和相應的解題方法.例如,線性遞推數列可以采用迭代法求解,而二次遞推數列則需要利用公式進行計算,在解決問題的過程中,要求學生掌握必備的數學知識和技能,如代數運算、數學歸納法等.另外,對遞推數列性質與應用的探究活動進行精心設計,豐富學生關于遞推數列的知識儲備.

在教學及復習過程中,教師要有針對性地設計一些關于“遞推數列與概率交匯問題”的訓練題和作業題,注重引導學生發現和把握問題的交匯點,有意識地加以注意和積累,從而為解決此類問題提供素材和奠定基礎.同時,教師還可以通過典型問題的分析與講解,學生的錯解剖析和錯題訂正等反思性活動,提高學生思維的深刻性和發散性,教給學生思考問題的一般方法,提升學生的數學抽象及邏輯推理能力.幫助學生進行針對此類問題的數學閱讀訓練,在明晰運算對象的基礎上,理解其中的算理并設計相應的算法解決問題,加深對遞推數列與概率交匯問題的理解和掌握.進而,在解決遞推數列與概率交匯問題的過程中,綜合應用相關數學知識,融入不同的數學視角,植入多種數學思想方法,促進學生整體理解遞推數列與概率的交匯問題,切實把握數學內容的本質,從而不斷地提升學生的數學核心素養.