Gergonne線平方和的上下界估計

姜衛東 (郵編:264210)

威海職業學院藝術學院

△ABC的內切圓與三邊BC,CA,AB的切點分別為D,E,F,則AD,BE,CF交于一點J,稱此交點J為Gergonne點,AD,BE,CF稱為過J點的Gergonne線.如圖1所示.

圖1

文[1]給出了Gergonne點與Kooi不等式的一個關系,文[2]建立了Gergonne點到三角形三邊距離的幾個恒等式和不等式.記AD=ga,BE=gb,CF=gc,文[3]得到如下的不等式

①

②

①和②形式簡潔,但是下界卻不能令人滿意.本文首先給出①和②上界的改進,并給出①和②的下界的估計,我們的主要結果如下.

定理1在△ABC中,有

③

其中等號當且僅當△ABC為正三角形時取得.

證明由斯蒂瓦特定理;AB2·CD+AC2·BD=AD2·BC+BD·CD·BC,可得

④

同理可得

⑤

⑥

⑦

∑a5=(a+b+c)∑a4-∑a3∑bc+abc∑a2可得

⑧

由三角形中熟知的恒等式

abc=4Rrs,

∑bc=s2+4Rr+r2,

∑a2=2(s2-4Rr-r2),

∑a3=2s(s2-6Rr-3r2),

∑a4=2s4-4(3r2+4Rr)s2+2r2(4R+r)2,

∑(s-b)(s-c)=4Rr+r2.

以上公式代入⑧⑦,整理可得

⑨

下面先證

⑩

由⑨可知⑩等價于

s2-14Rr+r2≥0

及Gerretsen不等式s2≥16Rr-5r2可知式成立.下面再證

s2≤4R2+6Rr-r2

再由Gerretsen不等式s2≤4R2+4Rr+3r2可知成立,從而定理成立.

定理2在△ABC中,有

其中等號當且僅當△ABC為正三角形時取得.

證明由⑨可知,要證明左端不等式,只需證

經過簡單的計算,上式等價于

(R-2r)s2≥12R2r-21Rr2-6r3

由Gerretsen不等式:s2≥16Rr-5r2,并注意到

(R-2r)(16Rr-5r2)-(12R2r-21Rr2-6r3)=4r(R-2r)2≥0.

從而定理2成立.