羅馬尼亞數學雜志問題1132的再研討

許衛國 (郵編:241070)

安徽省蕪湖市善瑞中學

1 引言

設a,b,c,ra,rb,rc,wa,wb,wc,R,r,s分別△ABC的三個內角A,B,C所對的三邊長,旁切圓半徑,內角平分線,外接圓半徑,內切圓半徑與半周長,Σ,Π分別表示循環求和與循環求積.

2022年羅馬尼亞數學雜志《Romanian Mathematical Magazine》刊登了由羅馬尼亞人MarinChirciu提供的問題1132如下.

問題1132在△ABC中,證明:

①

印度人Soumava Chakrarborty Kolkata給出了不等式①的一個證明.[1]文[2]給出了不等式①的一個加強與逆向.

定理1在△ABC中,有

②

對問題 1132進行再研討,我們得到不等式②的一個再加強.

定理2在△ABC中,有

③

等號成立當且僅當△ABC為正三角形.

2 兩個引理

為證明不等式③,先給出兩個引理.

引理1[3]在△ABC中,有

等號成立當且僅當△ABC為正三角形.

引理2[4]在△ABC中,有

等號成立當且僅當△ABC為正三角形.

3 主要結論的證明

應用引理2,有

由引理1、引理2等號成立的條件知,不等式③等號成立當且僅當△ABC為正三角形.

4 討論

因為

≥0.

≥0.

所以定理2是定理1的加強.

≥0.

所以,定理2有如下推論.

推論在△ABC中,有

④

由歐拉不等式知,不等式④是不等式①的簡潔、優美的加強.