基于非線性MPC的電動(dòng)賽車驅(qū)動(dòng)防滑控制

吳勃夫, 徐 曉, 陳自強(qiáng), 孫 亮, 吳姚燁

(合肥工業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

相較于傳統(tǒng)汽車,電動(dòng)車具有能量轉(zhuǎn)換效率高、環(huán)境負(fù)面影響小、車身噪音低等優(yōu)點(diǎn)[1]。本文電動(dòng)方程式賽車由本研究團(tuán)隊(duì)自主設(shè)計(jì)、加工和調(diào)試,賽車需滿足比賽規(guī)則和行駛安全性,同時(shí)在加速、剎車、操作性等方面性能優(yōu)異且穩(wěn)定[2]。

電動(dòng)賽車電機(jī)布置形式為四電機(jī)分布式輪邊驅(qū)動(dòng),輪邊減速形式選用2Z-X(B)型行星齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)以提高傳動(dòng)效率。輪邊電機(jī)分布式驅(qū)動(dòng)與中央驅(qū)動(dòng)、電動(dòng)驅(qū)動(dòng)不同,輪邊電機(jī)裝配在電動(dòng)賽車的每個(gè)輪邊立柱上,充當(dāng)動(dòng)力輸出,其布置形式可以提供更好的控制性,以改善車輛動(dòng)態(tài)性能。

電動(dòng)賽車更加注重加速性能、縱向穩(wěn)定性和橫向穩(wěn)定性。為了發(fā)揮四電機(jī)優(yōu)勢(shì),驅(qū)動(dòng)防滑控制策略可以輔助賽車充分發(fā)揮輪胎附著性能,保持更好的抓地力和減少能量損耗。

車輛驅(qū)動(dòng)防滑功能實(shí)現(xiàn)和穩(wěn)定的關(guān)鍵在于滑移率控制[3]。驅(qū)動(dòng)防滑控制方法主要包括比例積分微分(proportional integral derivative,PID)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、模糊控制、非線性反饋增益控制和模型預(yù)測(cè)控制(model predictive control,MPC)等[4]。只采用PID控制算法可以簡單實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)防滑功能,但其控制參數(shù)不具備跟隨工況改變的適應(yīng)性,魯棒性也得不到有效保證。文獻(xiàn)[5]提出模糊PID驅(qū)動(dòng)防滑控制算法,模糊PID控制器不僅具有PID控制器的穩(wěn)定性和較高的控制精度優(yōu)點(diǎn),還具備非線性和時(shí)變性優(yōu)點(diǎn);文獻(xiàn)[6]提出在模糊化時(shí)對(duì)滑移率進(jìn)一步細(xì)化處理可以提升路面滑移率的識(shí)別精度。模糊控制系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性、適應(yīng)性和抗干擾能力,常被用于非線性、時(shí)變及純滯后系統(tǒng)的控制,如對(duì)非線性輪胎驅(qū)動(dòng)防滑的分析上,但需要憑借實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)建立控制系統(tǒng)的模糊規(guī)則。

文獻(xiàn)[8]通過非線性MPC實(shí)現(xiàn)四輪電動(dòng)汽車的驅(qū)動(dòng)防滑,增加對(duì)松弛變量的懲罰,以確保驅(qū)動(dòng)防滑功能的可行性;文獻(xiàn)[9]提出基于四輪電動(dòng)汽車的快速M(fèi)PC分配方法,并改進(jìn)延拓/廣義最小殘差(C/GMRES)算法解決MPC分配中計(jì)算量大的問題;文獻(xiàn)[10]提出加入了具有標(biāo)準(zhǔn)滑模控制增益的積分項(xiàng)來優(yōu)化模型控制,提高了電動(dòng)汽車的動(dòng)力性。

非線性模型預(yù)測(cè)是為了處理系統(tǒng)存在非線性而提出的,該方法常被用來解決模型非線性問題和復(fù)雜的約束問題。本文采用非線性MPC方法來實(shí)現(xiàn)輪邊驅(qū)動(dòng)電動(dòng)賽車的加速滑移控制,結(jié)合賽車特性提升賽車在加速時(shí)的加速性能和穩(wěn)定性。首先采用CarSim與Simulink軟件聯(lián)合仿真,驗(yàn)證該方法的可行性;其次在輪邊臺(tái)架試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。輪邊試驗(yàn)臺(tái)由電機(jī)、減速器、扭矩轉(zhuǎn)速傳感器、測(cè)功機(jī)和上位機(jī)等組成,主要功能是實(shí)現(xiàn)電機(jī)的穩(wěn)定性測(cè)試和整車控制器(vehicle control unit,VCU)的算法模型調(diào)試與驗(yàn)證。

1 系統(tǒng)建模

本文分析的車輛模型為輪邊電機(jī)分布式驅(qū)動(dòng)電動(dòng)賽車,電動(dòng)賽車分布式驅(qū)動(dòng)示意圖如圖1所示。相較于電動(dòng)汽車,電動(dòng)賽車的最大特點(diǎn)是裝備了空氣動(dòng)力學(xué)套件,在加速、過彎時(shí)空氣動(dòng)力學(xué)套件可以將風(fēng)阻轉(zhuǎn)換成下壓力,增加輪胎的抓地性能。

為了研究電動(dòng)賽車的驅(qū)動(dòng)防滑控制,模型構(gòu)建上采用基于車輛動(dòng)力學(xué)的非線性打滑控制系統(tǒng)模型,主要包括車輛動(dòng)力學(xué)模型、輪胎模型和輪邊電機(jī)模型。本文研究重點(diǎn)是滑移率控制對(duì)賽車縱向運(yùn)動(dòng)性能與動(dòng)力輸出響應(yīng)的影響,因此未考慮車身的俯仰和側(cè)傾動(dòng)力學(xué),而是結(jié)合賽車在直線加速時(shí)的運(yùn)動(dòng)特性。

1.1 滑移控制模型

1.1.1 車輛動(dòng)力學(xué)模型

本文研究目標(biāo)為構(gòu)建控制模型對(duì)滑移進(jìn)行控制,以提升賽車縱向性能,因此采用的車輛動(dòng)力學(xué)模型主要包括車輛的縱向運(yùn)動(dòng)和4個(gè)車輪的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。車輛相關(guān)參數(shù)見表1所列。

表1 整車參數(shù)

表1中:m為整車質(zhì)量;a、b分別為從重心到前、后軸的距離;hCG為重心高度;lf、lr分別為車輛前、后輪距;re為車輪半徑;g為重力加速度;Jω為車輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

整車變量參數(shù)設(shè)置如下:v為車速;ax、ay分別為縱向、橫向加速度;Fxi為四輪縱向力;Fzi為四輪垂直力;ωi為四輪轉(zhuǎn)速;Tmi為四電機(jī)輸出扭矩;κi為四輪縱向滑移率;Mair、fair、froll分別為下壓力、空氣阻力、滾動(dòng)阻力。整車動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示。

圖2 整車動(dòng)力學(xué)模型

車輛的縱向運(yùn)動(dòng)和輪胎滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程[11]描述如下。

車輛縱向受力為:

(1)

其中:Fxi為輪胎縱向所受到的力,i=1,2,3,4分別代表左前輪、右前輪、左后輪、右后輪;fair為空氣阻力大小;froll為滾動(dòng)阻力大小。本賽車的空氣阻力主要來自于車身和空氣動(dòng)力學(xué)套件。

車輪滾動(dòng)阻力為:

(2)

其中:Jω i為4個(gè)車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,由于輪輞質(zhì)量與胎壓相差微小,4個(gè)車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)為一樣;Tbi為4個(gè)車輪的機(jī)械制動(dòng)力矩大小,本文主要研究滑移率控制對(duì)賽車加速性能的影響,故機(jī)械制動(dòng)力矩Tbi=0。

1.1.2 輪胎模型

輪胎是連接車輛和地面的唯一橋梁,本文采用的賽車輪胎為大陸公司的C19方程式熱熔胎,熱熔胎增加了賽車與路面的接觸面積,因此增加了賽車的抓地力。輪胎模型是系統(tǒng)輸入和賽車縱向運(yùn)動(dòng)的連接媒介,本文采用的輪胎模型是Pacejka開發(fā)的“魔術(shù)公式”[12],在該模型中,可利用三角函數(shù)組合精確地表示輪胎力。輪胎縱向力被描述為縱向滑移和輪胎垂直載荷的復(fù)雜非線性函數(shù),即

Fxi=Dxsin(Cxarctan{Bxkxi-

Ex[Bxkxi-arctan(Bxkxi)]})+Sv

(3)

其中:Bx、Cx、Dx、Ex、Sv分別為剛度、形狀、峰值、曲率因子和曲線的垂直方向漂移;kxi為縱向滑移率。基于輪胎模型的輪胎滾動(dòng)阻力計(jì)算公式為:

Mroll=r0Fzi[qSy1+qSy2Fx/Fz0+

qSy3|Vx/Vref|+qSy4(Vx/Vref)4]

(4)

froll=Mroll/re

(5)

由輪胎文件可知:qSy1取-0.023;qSy2、qSy3、qSy4均取0。

1.1.3 電機(jī)模型

本文賽車采用AMK公司的競(jìng)賽電機(jī)(AMK.DD5-14-10-POW),該電機(jī)參數(shù)見表2所列。其中:Tmax為最大扭矩;Tn為額定扭矩;Pn為額定功率;Nn為額定轉(zhuǎn)速;N0為無負(fù)載轉(zhuǎn)速。

表2 電機(jī)參數(shù)

電機(jī)的扭矩輸出受其輸入電壓和電機(jī)內(nèi)部磁場(chǎng)變化影響。電機(jī)扭矩輸出隨輸入電壓的降低而降低,電機(jī)的最大扭矩值隨磁場(chǎng)減弱而下降。為了保證電機(jī)扭矩輸出的穩(wěn)定性,該賽車電機(jī)控制器采用567 V輸入電壓,并保持良好的散熱性能,以避免高溫導(dǎo)致電機(jī)磁場(chǎng)衰弱現(xiàn)象。

電機(jī)輸出軸連接著輪邊減速器,實(shí)現(xiàn)增扭降速功能,由電機(jī)輸入到輪胎的扭矩計(jì)算公式為:

Ti=riTmi

(6)

其中,ri為減速比,由圈速仿真結(jié)果計(jì)算得到賽車的四輪減速比為13.5。

1.2 求解模型

1.2.1 滑移率求解模型

賽車輪胎的附著系數(shù)與滑移率在低滑移率區(qū)間呈線性正相關(guān)關(guān)系,如圖3所示。在滑移率增長的同時(shí)路面附著系數(shù)也在增加,當(dāng)縱向附著系數(shù)達(dá)到峰值,即峰值路面附著系數(shù)μmax,此時(shí)所對(duì)應(yīng)的滑移率即為最優(yōu)滑移率κopt。當(dāng)滑轉(zhuǎn)率繼續(xù)増加時(shí),路面附著系數(shù)將減小,同時(shí)車輛的加速性能也在減小。

圖3 賽車輪胎的附著系數(shù)與滑移率關(guān)系曲線

輪胎與地面間的側(cè)向附著系數(shù)隨著滑移率增加而迅速降低,為了使車輛具備優(yōu)秀的加速性能和側(cè)向性能,需要控制賽車加速時(shí)的滑移率保持在最佳滑移率,即

κ=κopt

(7)

車輪縱向滑移率求解公式[5]如下:

(8)

根據(jù)式(8),由縱向速度和車輪轉(zhuǎn)速可以求得每個(gè)輪胎的縱向滑移率。為了防止賽車起步時(shí)縱向速度接近于0而導(dǎo)致滑移率計(jì)算值趨近于無窮大,在滑移率計(jì)算公式的基礎(chǔ)上增加了防劇增因子ε=0.1 m/s。根據(jù)“輪胎魔術(shù)公式”[12]得出輪胎縱向力與滑移率的關(guān)系為:

Fxi=Kxiκxi

(9)

其中,Kxi為縱向滑移剛度,由4個(gè)輪胎相應(yīng)的垂直載荷求解得出。Kxi計(jì)算公式如下:

Kxi=Fzi(pKx1+pKx2Δfzi)exp(pKx3Δfzi)λKx

(10)

(11)

由輪胎文件可知:pKx1、pKx2、pKx3為魔術(shù)公式給出的參考擬合系數(shù),取值分別為81.25、-20.25、0.50;λKx、λFz0分別為滑移剛度和額定載荷的比例系數(shù),2個(gè)比例系數(shù)值均為1;Fz0為標(biāo)稱額定負(fù)載,Fz0=800 N·m;Fzi為輪胎在賽車運(yùn)動(dòng)時(shí)的垂直載荷。Fzi(i=1,2,3,4)計(jì)算公式為:

(12)

(13)

(14)

(15)

其中:空套與車身的下壓力和空氣阻力作用點(diǎn)為風(fēng)壓中心點(diǎn),Mair為車身和空氣套件在加速時(shí)集中作用在風(fēng)壓中心的下壓力,并將下壓力分配到4個(gè)輪胎的垂直載荷上;c、d分別為風(fēng)壓中心到前軸和后軸的距離;hair為風(fēng)壓中心的高度,由圖2可知風(fēng)壓中心比重心靠后,可增強(qiáng)抗側(cè)風(fēng)能力。

空氣套件提供的下壓力可以增強(qiáng)賽車的加速和轉(zhuǎn)彎性能,因此在力學(xué)建模上結(jié)合了賽車空氣動(dòng)力學(xué)模型。由流場(chǎng)分析得到賽車在不同車速下車身和空套所產(chǎn)生的下壓力和空氣阻力,見表3所列。

表3 不同車速下阻力和升力的變化 單位:N

由表3數(shù)據(jù)計(jì)算得到升力系數(shù)和阻力系數(shù)分別為Cl=-3.896、Cd=-1.419,代入升力公式和阻力公式,計(jì)算得出隨車速變化的空氣阻力fair和下壓力Mair。將計(jì)算出的空氣阻力、升力與多組不同車速下的阻力、升力數(shù)據(jù)比較,結(jié)果兩數(shù)值相差微小,因此在建模時(shí)可以用升力公式和阻力公式代替流場(chǎng)分析得到的數(shù)據(jù)。Mair、fair計(jì)算公式[13]如下:

(16)

(17)

其中:ρ為空氣密度;v為賽車行駛速度;S為該賽車行駛方向的投影面積,取S=1.149 m2。

2 基于NMPC驅(qū)動(dòng)防滑控制器設(shè)計(jì)

非線性模型預(yù)測(cè)控制(nonlinear model predictive control,NMPC)驅(qū)動(dòng)防滑控制器的總體設(shè)計(jì)思路如圖4所示。

圖4 加速時(shí)驅(qū)動(dòng)防滑總體結(jié)構(gòu)

通過CarSim軟件搭建輪邊電機(jī)賽車模型,在Simulink上利用賽車模型提供的四輪轉(zhuǎn)速、縱向加速度、橫向加速度和車速計(jì)算4個(gè)輪子的滑移率和4個(gè)電機(jī)的最大扭矩值,驅(qū)動(dòng)防滑控制器通過滑移率和扭矩信息計(jì)算得到4個(gè)輪邊電機(jī)的參考扭矩輸出,并提供給賽車模型以實(shí)現(xiàn)聯(lián)合仿真。

2.1 模型預(yù)測(cè)

為了構(gòu)建求解縱向滑移率和扭矩輸出的狀態(tài)關(guān)系模型,將式(8)滑移率對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得:

(18)

結(jié)合式(1)、式(2)、式(9)得到滑移率與扭矩的關(guān)系為:

(19)

由(19)式可得NMPC的狀態(tài)空間模型公式[8]如下:

(20)

設(shè)x=[κ1κ2κ3κ4]T為狀態(tài)空間模型的狀態(tài)變量,u=[Tm1Tm2Tm3Tm4]T為系統(tǒng)輸入變量,y=[κ1κ2κ3κ4]T為系統(tǒng)輸出變量。

為了解決優(yōu)化控制問題,采用歐拉方法[14]對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型進(jìn)行離散,即

x(k+1|k)=Ax(k)+Bu(k),

y(k)=Cx(k)

(21)

定義Np為預(yù)測(cè)范圍,Nc為控制范圍,預(yù)測(cè)公式如下:

x(k+Np|k)=ANp-1BΔu(k)+…+

ANp-Nc-1BΔu(k+Nc)+BNcx(k)

(22)

2.2 成本函數(shù)設(shè)計(jì)

建立成本函數(shù)的目的是保證賽車在加速時(shí)的最佳滑移率跟蹤性能和扭矩輸出平穩(wěn)性能[14]。成本函數(shù)包含2個(gè)優(yōu)化目標(biāo),主要目標(biāo)為保證滑移率跟蹤性能,次要目標(biāo)為優(yōu)化扭矩變化率。2個(gè)目標(biāo)函數(shù)分別描述如下:

1) 主要目標(biāo)。為了確保賽車在加速過程中可以獲得更好的加速性能,并避免縱向力過大導(dǎo)致車輛不穩(wěn)定,設(shè)置目標(biāo)滑移率跟蹤函數(shù)為:

(23)

其中,yr(k+i)為四輪最佳縱向滑移率。

2) 次要目標(biāo)。為避免扭矩的變化率過大導(dǎo)致賽車在駕駛中出現(xiàn)不穩(wěn)定的加速現(xiàn)象和保證車輛駕駛過程中的平穩(wěn)性,增加成本函數(shù)J2去控制扭矩輸出變化率,即

(24)

以上設(shè)計(jì)目標(biāo)相加組成最終的成本函數(shù)如下:

(25)

其中:n1、n2分別為2個(gè)目標(biāo)的權(quán)重系數(shù),根據(jù)優(yōu)化分析得到權(quán)重系數(shù)分別為1 500、5。

3 測(cè)試結(jié)果

3.1 仿真測(cè)試結(jié)果

由于比賽路面為瀝青路面,賽車直線加速時(shí)沒有轉(zhuǎn)向動(dòng)作參與,基于路況信息在CarSim中進(jìn)行參數(shù)配置。

設(shè)置路面附著系數(shù)為0.8,最佳滑移率為0.10時(shí)仿真結(jié)果如圖5所示。在起步時(shí)輪胎縱向速度與車速相差不大,在0.2 s后縱向滑移率急劇增加,以獲得較大的扭矩輸出,如圖5a所示;由于在加速時(shí)重心后移,為了得到更好的加速性能,采用前兩輪最大扭矩限制,如圖5b所示,在成本函數(shù)J1的控制下,四輪滑移率很快接近理想滑移率κ=0.10;比賽加速成績的評(píng)定依據(jù)為賽車75 m路程的加速時(shí)間,如圖5c所示,賽車完成75 m加速路面仿真時(shí)間為4.909 s,車速由0 km/h增加到111.30 km/h,在成本函數(shù)J2的約束下扭矩增加更加平穩(wěn),保證了加速性能的同時(shí)也保證了扭矩輸出的平穩(wěn)性。

圖5 μ=0.8時(shí)加速驅(qū)動(dòng)防滑仿真結(jié)果

當(dāng)賽道出現(xiàn)積水路況,路面的附著系數(shù)處于0.3～0.5范圍內(nèi)。在CarSim參數(shù)配置中,設(shè)置附著系數(shù)為0.3,最佳滑移率為0.08時(shí),積水路面加速仿真結(jié)果如圖6所示。相較于干燥路面,積水路面防滑控制要在保證賽車加速性能的同時(shí),注重加速時(shí)的驅(qū)動(dòng)防滑性能。

圖6 μ=0.3時(shí)加速驅(qū)動(dòng)防滑仿真結(jié)果

從圖6a、圖6b可以看出,相較于干瀝青路面,為避免扭矩過大導(dǎo)致車輪出現(xiàn)打滑,控制器在積水路況降低了四輪最大扭矩的限制數(shù)值,最佳滑移率跟隨效果和加速性能得到了保證。

從圖6c加速結(jié)果可以看出,75 m路程的加速完成時(shí)間為5.789 s,車速從0 km/h加速至96.88 km/h。

3.2 試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果

半實(shí)物硬件在環(huán)試驗(yàn)如圖7所示。模型在快速原型平臺(tái)基礎(chǔ)上進(jìn)行搭建,滿足實(shí)時(shí)計(jì)算性能需求,并通過自動(dòng)代碼生成,將建模與仿真階段所形成的控制算法模型下載到快速原型控制器硬件(RapidECU-U2)中。

1.上位機(jī) 2.電機(jī) 3.電機(jī)控制器 4.電池箱

電腦通過Kvaser CAN與控制器通訊,硬件在環(huán)仿真時(shí),電腦將車輛狀態(tài)參數(shù)發(fā)送到U2,U2根據(jù)控制策略制定扭矩輸出,同時(shí)將電機(jī)實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)矩信息輸入到電腦,用于計(jì)算車輛狀態(tài),通過電腦、U2及臺(tái)架完成半實(shí)物硬件在環(huán)。

由于該試驗(yàn)臺(tái)電機(jī)數(shù)量限制,采用同一工況前、后雙電機(jī)分開試驗(yàn)后,再做數(shù)據(jù)整合。路面附著系數(shù)μ=0.3的半實(shí)物硬件在環(huán)試驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。

圖8 在μ=0.3下的加速驅(qū)動(dòng)防滑試驗(yàn)結(jié)果

由圖8a數(shù)據(jù)計(jì)算得到,臺(tái)架試驗(yàn)上四輪輸出扭矩比仿真結(jié)果減少了3.6%,這是由于試驗(yàn)測(cè)試環(huán)境不同,電機(jī)實(shí)際輸出轉(zhuǎn)速與理想扭矩模型輸出的轉(zhuǎn)速有偏差,再通過模型計(jì)算導(dǎo)致扭矩輸出減少;從圖8b可以看出滑移率的控制保持著良好的魯棒性;從圖8c可以看出,75 m路程的加速完成時(shí)間為5.990 s,這是由于輸出扭矩減少了3.6%,加速時(shí)間慢了0.201 s,最終賽車尾速達(dá)到99.05 km/h。

由試驗(yàn)結(jié)果可知,本文采用的方法在最佳縱向滑移率跟隨性能與縱向加速性能上都具備良好的魯棒性。

4 結(jié) 論

為實(shí)現(xiàn)輪邊驅(qū)動(dòng)的電動(dòng)賽車在直線加速賽道上有良好的動(dòng)力性和穩(wěn)定性,避免起步出現(xiàn)打滑不穩(wěn)定現(xiàn)象,本文采用非線性MPC控制方法,實(shí)現(xiàn)約束條件下的驅(qū)動(dòng)防滑,得到結(jié)論如下:

1) 通過采用非線性模型控制結(jié)合賽車特性,對(duì)輪胎非線性滑移率控制進(jìn)行分析,并搭建滑移率控制扭矩輸出模型。

2) 對(duì)賽場(chǎng)最容易出現(xiàn)變化的賽道附著系數(shù)進(jìn)行設(shè)置,并聯(lián)合CarSim和MATLAB/Simulink軟件進(jìn)行仿真分析。仿真結(jié)果表明,本文控制方法在路面附著系數(shù)為0.8、0.3的路況下,均能有效地將縱向滑移率控制在理想?yún)^(qū)間內(nèi),在提升賽車動(dòng)力性能和驅(qū)動(dòng)防滑性能的同時(shí),保證加速扭矩輸出的平穩(wěn)性。

3) 通過半實(shí)物硬件試驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行路面附著系數(shù)為0.3的路況試驗(yàn),結(jié)果得出,本文控制方法在最佳縱向滑移率跟隨性能與縱向加速性能上均具備良好的魯棒性,扭矩輸出微小偏差主要源于實(shí)際轉(zhuǎn)速輸出與理想模型輸出轉(zhuǎn)速之間的偏差。