帶著問題學 學出問題來
——“函數的概念”教學實錄與反思

桂 弢

(江蘇省清河中學 223001)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自江蘇省四星級高中普通班,基礎一般,有一定的數學抽象、邏輯推理、數學建模及數學運算素養．

1.2 教材分析

所用教材為蘇教版《普通高中教科書·數學(必修第一冊)》,“函數的概念”是第5章《函數概念與性質》的第1節第1課時,第2課時是“函數的圖象”．函數是本章的核心概念,也是中學數學中的基本概念．

函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型,函數法是解決眾多實際問題的有效手段,故高中階段十分重視對函數知識的學習．在概念定義上,著力于高視點下的認知,從描述性定義上升到公理化定義,不僅把函數看成是變量之間的一種依賴關系,還用集合與對應的語言來刻畫函數．在內容學習上,除了將學習一般函數的普遍性質,還將學習冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等具體函數及其復合函數．在方法運用上,函數的思想方法將貫穿于整個高中數學課程．因此,教學中應重視知識的生成與發展教學,要引導學生從實際問題中抽象概括出函數的概念,體驗從特殊到一般、再由抽象到具體的思維過程,感悟認識事物的一般推理方法,養成用函數眼光認識世界的意識．

教學目標 (1)理解函數的概念,體會函數是一種描述變量之間依賴關系的數學模型;(2)了解構成函數的三要素——定義域、對應關系和值域,會求一些簡單函數的定義域和值域;(3)通過函數概念的學習,提升數學學科核心素養．

教學重點 函數概念的建構及概念辨析．

教學難點 對函數概念的理解．

2 教學過程

2.1 問題情境

師:在現實生活中,我們可能會遇到下列問題(多媒體展示),下面分別請同學讀題．

生1:問題1“人口問題”．表1是1979—2014年我國人口數據資料表(年末),你能說出人口數與相應年份之間的關系嗎?

表1 1979—2014年我國人口數據

師:你是豎著讀的,說明它們有什么關系?

生1:對應關系．

師:很好!請下一位同學讀第2題．

生2:問題2“自由落體問題”．一物體從靜止開始下落,下落的距離y(單位:m)與下落時間x(單位:s)之間近似地滿足關系式y=4.9x2．若一物體從靜止開始下落2 s,你能求出它下落的距離嗎?

師:下落的距離是多少?

生2:是……是19.6 m．

師:你是將2 s代入關系式心算出來的,很好!請第三位同學讀第3題．

生3:問題3“氣溫問題”．圖1為淮安市今冬某天24 h內的氣溫變化圖．(1)上午6時的氣溫約是多少?全天的最高氣溫、最低氣溫分別是多少?(2)在什么時刻,氣溫為0℃?(3)在什么時段內,氣溫在0℃以上?

圖1

師:請你回答．

生3:(1)上午6時的氣溫約是-1℃,全天的最高氣溫、最低氣溫分別是9℃,-2℃;(2)在 7時和23時,氣溫為0℃;(3)在(7,23)時段內,氣溫在0℃以上．

師:你是根據圖1中橫坐標與縱坐標的對應關系回答的,很好!

設計意圖課本是最重要的學材,3個問題情境均來自于課本,這樣做的目的是便于學生課后看書復習．另外,讓學生讀題也是指導其審題的過程,不要事事都由教師包辦．

2.2 學生活動

師:恩格斯認為,數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學,上面3個問題的描述方法各不相同,但都涉及數量關系,故成為我們研究的對象．它們有什么共同特點?

生4:都含有兩個變量,當一個變量的取值確定后,另一個變量的值隨之唯一確定．這就是它們的共同特點．

師:讓我們來看一看,第1個問題中含有年份與人口兩個變量,年份確定后,人口數唯一確定;第2個問題中的兩個變量是時間與距離,時間確定后,距離唯一確定;第3個問題也是如此．很好!在初中,這種依賴關系稱為什么?

生4:函數．

師:非常好!有變量就應該有范圍,范圍通常會用什么來表示?

生5:區間……不對,應該是集合．

師:對．集合論是現代數學的基礎,是數學不可或缺的描述工具．同學們能否站在集合論的高度,用集合的語言來闡述范圍呢?就以人口問題為例,誰來說一說?

生6:兩個集合:A={1979,1984,1989,1994,1999,2004,2009,2014};B={975,1 044,1 127, 1 199,1 258,1 300,1 335,1 368}．

師:很好!要表示函數,似乎還缺了什么?

生7:對應關系．

師:(追問)怎么對應?

生7:1979對應到975,1984對應到1 044,……,2014對應到1 368．

師:很好!上面的對應關系也可以說成:輸入1979,輸出975;輸入1984,輸出1 044;……;輸入2014,輸出1 368．這是與時俱進,與計算機語言一致．為了便于書寫并與國際接軌,可以簡記為1979→975,1984→1 044,…,2014→1 368．

這樣,我們就可以用箭頭圖來清晰地表示這種對應關系(見屏幕,略)．可以看出,這種對應具有“一個輸入值對應到唯一的輸出值”的特征．其余兩個問題也有這樣的特征．

設計意圖引導學生站在一個高度(集合論的高度),用新的視角(集合的視角)、新的語言(集合與對應的語言)來審視和描述舊的事物,這既是一種學習方法,也是一種研究方法．

2.3 意義建構

師:從特殊到一般是人們認識事物的一種常見推理方法．現在,假如你是數學家,你能用集合與對應的語言給函數下一個定義嗎?請思考．(板書課題:函數的概念)

(先讓學生獨立思考2～3 min,后合作交流 2～3 min)

師:好,你心中的函數定義是什么樣的呢?誰來說?沒有人說?都不會?(進行激勵)

生8:有兩個集合A和B,對于集合A中的每一個元素x,在集合B中都有唯一的元素y和 它對應,那么就稱這種對應為從A到B的一個函數．

師:(先記后問)有要補充的嗎?

生9:集合A和B應該非空．

生10:對應關系可以用箭頭來表示:x→y．

生11:應該交代x∈A,y∈B．

師:還有沒有要補充的?沒有?好,在同學們的共同努力下,新的函數定義已經產生了,只是它能行嗎?讓我們來看看課本又是如何定義的,請一位同學讀一下．(屏幕顯示)

生12:一般地,給定兩個非空實數集合A和B,如果按照某種對應關系f,對于集合A中的每一個實數x,在集合B中都有唯一的實數y和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數,記作y=f(x),x∈A．其中,x叫作自變量,集合A叫作函數的定義域．若A是函數y=f(x)的定義域,則對于A中的每一個x(輸入值),都有一個y(輸出值)與之對應．我們將所有輸出值y組成的集合{y|y=f(x),x∈A}稱為函數的值域．

師:相較于同學們給出的定義,課本的定義只是多了一些名稱和符號,這說明同學們還是很厲害的,有成為數學家的潛質．今后就應該這樣來學習,在看書之前應有自己的思考,要帶著想法、帶著疑問學．為了能更深刻地理解函數概念,我們先看幾個概念辨析題．

函數概念辨析(見屏幕):

(1)根據函數的定義,定義域中的任意一個x可以對應著值域中不同的y．( )

圖2中能表示函數關系的是．

圖2

(2)任何兩個集合之間都可以建立函數關系．( )

表2是高一年級某次月考部分學科的年級均分,這種對應關系是函數嗎?

表2 高一年級部分學科月考年級均分

(3)對應關系相同、定義域相同的兩個函數就是同一個函數．( )

下面的說法對不對?

函數y=x2(x∈(0,+∞))與函數s=t2(t∈(0,+∞))是同一個函數．

(4)在函數的定義中,集合B是函數的值域．( )

(多選) 已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={y|0≤y≤4},則下列對應關系中,可看作是從A到B的函數關系的是( )．

師:請同學來回答．

(師生互動略)答案:(1)×,①②④;(2)×,不是;(3)√,對,不對;(4)ABC．

師:通過對上面幾個問題的辨析,我們對函數的認識是不是又有提高?誰來說說?

生13:A,B是非空的實數集合．

生14:實數x、實數y比元素x、元素y更具體．

生15:函數有三種表示:f:A→B,或f:x→y,x∈A,或y=f(x),x∈A．

生16:對應關系有方向性,是從A指向B,且y∈B．

生17:集合A是函數y=f(x)的定義域,但集合B不一定是函數的值域,值域是集合B的一個非空子集．

生18:一對一、多對一是函數,一對多、一對空不是函數．

師:同學們的看法很有道理!老師舉雙手贊成!老師也就順便解釋一個問題:為什么會用“函數”一詞來表示這種對應關系呢?原來“函數”一詞是由我國清朝數學家李善蘭在翻譯時創造的,另外像“代數”“方程”“細胞”等也都是他在翻譯時根據自己的理解而創造出來的名詞．怎么樣,不簡單吧?“函”的本意是盒子,這里的“函”是包含的意思．故函數就是y中有x,y包含x的意思,是不是很貼切?而f(x)中的f是函數的英文單詞的第一個字母,今后還會用g(x),h(x)等來表示函數．

設計意圖從特殊到一般,是人們認識事物的一種常見推理方法．通過讓學生自主建構函數概念,以培養學生的數學抽象、邏輯推理和數學建模素養．由于個體的差異,學生的認識還有深有淺,有快有慢．為了不讓一個學生掉隊,筆者在函數的概念形成后又安排了概念辨析活動．另外,也適時地滲透了一些數學文化知識．

2.4 數學運用

師:從抽象到具體是人們進一步認識事物的一種推理方法．現在,你能用剛才所學的知識解題嗎?(限于篇幅,師生互動略)

例1(口答)判斷下列對應是否為函數:

(2)x→y,這里y2=x,x∈N,y∈R;

(3)當x為有理數時,x→1,當x為無理數時,x→0．

例2(口答)下列各組函數表示同一個函數的是．(填序號)

(3)f(x)=2x+1與g(x)=2x-1．

例3求下列函數的定義域:

例4求下列函數的值域:

(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};

(2)f(x)=(x-1)2+1;

(3)f(x)=x2+2x+3．

師:求函數的定義域應該注意什么?求值域呢?你能編幾個這方面的題目嗎?

設計意圖4個例題是圍繞函數的定義及三要素來設計的,目的是通過應用來鞏固新知、發展數學核心素養．讓學生自主編題,既是了解學生掌握新知的一種手段,也是引導學生開展數學學習的一種方式．

2.5 回顧與反思

請你總結(過程略):(1)這節課你學到了什么?(2)學了這節課你會解決哪些問題?(3)課后你準備再去研究哪些問題?

師:最后,老師談談自己對函數的理解．函數是什么?函數就是一種關系,一種對應關系,是連接兩個非空實數集合的有方向的對應關系,是多對一關系或一對一關系,是一個輸入值對應到唯一的輸出值關系．是不是?

3 回顧與反思

3.1 教學立意

教什么?如何教?為什么要這樣教?

本節課的課題是“函數的概念”．課堂教學設計了兩條線:一條是知識線,按照“問題情境—學生活動—意義建構—數學運用—回顧反思”的邏輯順序推進;另一條是認識線,按照“由特殊到一般—由表象到本質—由抽象到具體”的認知規律展開．兩條線一明一暗,相輔相成,即在函數概念的學習中發展學科素養,在學科素養的提升中促進對函數概念的理解．

筆者最近一年走訪過三所普通高中,發現非畢業年級都在用導學案上課,學校的要求也基本是“不預習不聽課,不復習不作業”,至于如何預習,則要求不明或要求不嚴．

學生是如何預習的呢?由于導學案大都用的是電子版,很像復習課的學案,一開始就羅列定義、定理、公式、法則等知識點,故學生普遍的做法是先翻書查找這些知識點,然后按照導學案上的要求填寫相關內容,接著就開始做題．至于這些知識點是怎么來的,則幾乎無人問津．

教師又是怎么教的呢?不少教師一開始就是讀導學案上羅列出來的知識點,遇到填空處就問一下學生,有時會解釋一下(遇到比較繁難的一般就作罷,認為沒什么意思,講也是白講).讀完了,再讓學生背一背,這樣新知識教學就完成了,下面就進入講題、做題環節．

重視結果輕視過程,騰出時間用于解題,將新授課上成復習課,這明顯是一種填鴨式教學．對缺乏自覺性和主動性的學生來說,知識的獲得就是靠死記硬背,而素養的提升就是靠大量刷題．一旦記憶出現障礙,又不清楚知識的來龍去脈,就很容易做錯題,故這種教法很不可取．開展知識的形成過程教學、貫徹啟發式教學思想、突出以學生發展為本才是王道,這就是本節課的教學立意．

3.2 教學反思

教學反思,反思什么?

(1)反思自己的“得”

本節課有哪些收獲呢?

這是一節校內公開課,課前要花大量的時間去準備,課上要承受一定的壓力,課后還會抱著一種忐忑不安的心情去接受同行們的評判．個人認為,能參與這項活動就是最大的收獲,得到大家的肯定和督促是又一大收獲．下面是一些同行的評課摘要:

師1:重視教材,研究教材,吃透教材;重視概念的形成過程教學,關注學生對函數本質的理解,注意發展學生的數學核心素養;啟發式教學思想駕輕就熟、運用自如．

師2:3個問題情境的描述方法各不相同,有利于后面的教學;學生的參與度很高,能大膽發表自己的見解;老師善于表揚、激勵學生;課堂結尾有新意,既結尾又沒結尾,留有余韻．

師3:概念課能重視知識的形成過程教學,引導學生對函數的定義進行探究,從特殊到一般,從表象到本質,先抽象概括,再分解辨析,這有助于學生對函數本質的深刻理解．

師4:平時教學很難像這樣一步步進行概念建構,值得我們學習．亮點有:①讓學生自主建構函數概念;②教學生思維方法;③注意滲透數學文化;④教學過程張弛有度．

師5:能以學生為主體,讓學生去發現問題并解決問題;立足學生的最近發展區,從初中的函數概念入手,引導學生自主探究、合作交流;教學理念新,立足新高考,注意培養學生的數學核心素養．我們平時的教學有刷題的嫌疑,值得反思．有一個小失誤:在函數概念辨析(3)中,有一個不是函數,學生回答錯了,老師好像沒注意．

師6:由舊及新,由表及里,由淺入深,由特殊到一般,再由抽象到具體,引導學生去認識函數;注意把愛國主義教育滲透到課堂教學中去;總結新穎,學生在磕磕碰碰中得到提升,最后知道函數就是“一對一”關系和“多對一”關系．

(2)反思自己的“失”

上面幾位同行的評課,不乏溢美之詞,自己還需冷靜思考,查找不足．

教學語言方面,對如何說話(快慢、高低、頓挫)關注不夠,對如何提問缺乏精心設計,深沉有余而活力不足,偶爾才有激情迸發;教學手段方面,多媒體操作不夠熟練,有兩次切換出現了問題,課件制作也不夠精致;教學節奏方面,有點前松后緊,課堂總結未能全在課內完成,拖了近1分鐘．這些都需要今后加以注意．

(3)反思學生的“好”

本節課學生有哪些閃光點呢?

本節課有近半的學生參與了課堂發言,表現出了很高的學習熱情;參與發言的學生多數精神飽滿,聲音響亮,口齒清楚,思維敏捷,表達流暢,給聽課教師留下了很深的印象;有一些平時表現不起眼的學生也能主動發言,這完全超出了自己的預料．因此,個人認為任何時候都不要小覷學生,學生的潛能是巨大的,關鍵要看教師如何去組織教學．

(4)反思學生的“差”

本節課學生又存在哪些問題呢?

課后了解得知,有部分學生比較拘謹、膽怯,有疑問不敢問,會答的也不愿說;有部分學生數學抽象概括能力不強,還不能給函數下定義;有部分學生跟不上教學節奏,在理解和運用上還存在著一些問題．這些都提醒自己,在今后的教學工作中要認真落實“一個都不掉隊”的教育理念,因材施教,適當開展一些分類指導和分層教學工作．