問題驅動視角下章末復習課教學設計探究
——以“空間向量與立體幾何”為例*

郝文華

(北京師范大學鹽城附屬學校 224007)

1 引言

近年來,高中數學公開課、優質課、示范課、研討課等教學活動課的選題,不再以常規的新授課為主,而更偏向于單元起始課、章末復習課、大單元主題教學等課型的設置．對于此類課題,教學設計的難度有所增加,對教師整體把握課程內容要求更高,教學設計與課堂實踐存在的問題也較多．特別是章末復習課,不僅具有“綜合性、系統性、 問題性、應用性”等特點,同時還承載著“查漏補缺、凝練提升、拓展遷移”的核心任務.常規意義上的“知識點+練習題”的復習模式問題日益凸顯,難以達成素養要求．張奠宙先生就曾指出:“公開課中難見好的復習課,大多是大容量、快節奏、高密度的解題訓練課．”[1]單元復習課不能單純地上成習題訓練課,不能忽視知識、思想方法間的聯系與整合,更不能忽略學生的自主探索與思考,教學設計需高度立意、整體構建、深挖思想、關注思維．本文以2023年6月中旬筆者執教的一節市級公開課(蘇教版新教材選擇性必修第二冊第六章“空間向量與立體幾何”章末復習課)為例,探討如何從“問題設計”的視角進行章末復習課教學設計．

2 課前思考與教學過程

2.1 課前思考

作為市級公開課,一節課復習一個單元內容,自然會想到留與舍、主與次的問題,雖不能面面俱到,卻不失結構性與連續性,這就需要整體把握教材內容,提煉數學本質,發掘邏輯關系,構建結構體系,設計授課主線．

(1)教材導引

在高一學習“平面向量”和“立體幾何初步”的基礎上,繼續學習“空間向量與立體幾何”．類比平面向量的研究過程,體會平面向量與空間向量的共性和差異．運用向量法研究空間基本圖形位置關系及測量問題,感悟向量是研究幾何問題的有效工具．

(2)新課標要求

理解空間向量的概念、運算、背景和作用,能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關系的想象力;掌握空間向量基本定理,體會其作用,并能簡單應用;能夠運用空間向量解決一些簡單的實際問題,體會用向量解決一類問題的思路;教學應凸顯“幾何與代數”的數學本質,即用代數方法研究幾何問題,并給出代數結論合理的解釋．本章主要培養直觀想象、數學建模、數學運算三大學科素養．

(3)學情分析

通過必修第二冊“立體幾何初步”章節相關基礎知識的學習,學生已經具備用判定定理和性質定理來證明平行和垂直問題、用傳統方法來求比較基礎的空間角問題、用等體積法來求空間距離的能力;通過必修第二冊“平面向量及其應用”及選擇性必修第二冊中“空間向量與立體幾何”的學習,學生已經初步掌握了用空間向量解決立體幾何問題的基本路徑及方法,但對整體把握向量的工具性作用及稍復雜的空間角及距離的求解還需進一步加強．

(4)課時目標

能夠正確選擇解決空間幾何問題的方法(幾何法、圖形向量法、坐標向量法);能夠用向量法解決空間基本位置關系和度量問題．

(5)教學策略

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》也指出,高中數學教學以發展學生學科核心素養為導向,創設合適的教學情境,啟發學生思考,引導學生把握數學的本質[2]．作為一節單元復習課,為了促進學生形成完整的知識體系,形成教—學—評完整閉環,筆者計劃站在大單元的高度組織復習內容,以向量的工具性作用為主線,以合理的問題串驅動教學,通過引導學生自主探討來促使其進一步掌握用向量解決問題的基本路徑,踐行“教思考、教體驗、教表達”的教學理念．

2.2 教學過程

問題1為什么要引入空間向量?空間向量的主要作用是什么?

設計意圖如圖1,通過回顧平面向量在平面幾何中的應用及立體幾何初步的學習,引導學生發現:平面向量解決空間立體幾何問題具有很大的局限性,這就要求我們引入空間向量,充分體現引入空間向量的必要性．繼而回顧利用空間向量解決立體幾何問題的兩個方向:一個是研究空間中點線面的位置關系,另一個就是求空間中的距離及夾角．

圖1

問題2下列問題所涉及的基礎知識你還記得嗎?

(1)已知a=(0,1,1),b=(1,0,2),c=(1,1,0),則(a·b)c=．

(2)已知空間向量a=(2,-1,1),b=(1,1,2),則|a+b|=;向量a與b的夾角為．

(3)設a=(1,0,1),b=(0,-1,1),c=(1, -2,x),若三向量a,b,c共面,則實數x=．

設計意圖通過4道極為簡單的小題來回顧空間向量的相關概念及線性運算,包括數量積的概念、共線與共面定理以及空間向量的基本定理、坐標表示及運算等,引導學生發現:與高一學習的平面向量相比,除了研究維度不同之外,它們具有高度的一致性,可以認為空間向量是平面向量的一個推廣與延伸,而且這些內容都是后續學習向量在立體幾何中應用的基礎．

問題3如何運用向量方法解決立體幾何中的求解問題?

例1如圖2所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點A為端點的三條棱長度都為1,且兩兩夾角為60°,求AC1的長．

圖2

變式訓練 求BD1與AC夾角的余弦值．

設計意圖例1主要是通過空間向量“基底法”來解決空間立體幾何中的長度及夾角問題,引導學生通過“找基底—表示相關向量—向量運算—得出結論”的基本程序,體會基底法解決立體幾何問題的一般路徑及向量的工具性作用．

問題4如何運用空間向量坐標法解決立體幾何問題?

例2如圖3,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,點D,E,F分別為棱A1C1,B1C1,BB1的中點．

圖3

(1)求證:直線AC1∥平面DEF;

(2)求平面AC1F與平面DEF夾角的余弦值．

設計意圖第一個小問一般難以采用基底法證明,與例1的方法產生思維沖突,為下一步引出坐標法做鋪墊．當然,對于問題(1),證明方法的選取是靈活的,可以先采用綜合法(即幾何法),然后采用空間向量坐標法,比較兩種方法的異同點,而問題(2)可直接建系解決．對于坐標法解決空間角的求解問題,包含線線角、面面角、二面角、線面角四類,空間距離包括兩點間的距離及點到線、點到面、線到線、線到面、面到面的距離等多種情況,授課中可采用一題多變、追問等方式來實施教學．

(2)若點F是線段BB1的中點,求點A到平面DEF的距離．

(3)若點F為棱BB1上的一動點(不包括兩個端點),求點A1到平面AC1F的距離的取值范圍．

(4)在本題中,找出兩條異面直線,并嘗試利用空間向量坐標法求其夾角及距離．

(5)舉例說明:利用向量坐標法還能解決什么問題?請設置一個線面角求值問題,并解答．

設計意圖此處5個追問并非簡單羅列關系,而是由淺入深、由靜到動、由封閉到開放的遞進關系,意在通過一個題目的變式來回顧總結通性通法,可切實提升授課效率．

問題5通過本節課的復習,你對本章內容是否有了進一步的理解?

設計意圖此問主要用來引導學生發現:空間向量是平面向量從二維空間向三維空間的推廣,為我們解決立體幾何問題提供了新的視角;利用空間向量的坐標表示,可以把向量問題轉化為代數運算,從而建立了幾何與代數的聯系,體現了數形結合的重要數學思想．

追問對用向量法解決立體幾何,你是否有了進一步的感悟?(圖4)

圖4

設計意圖此追問是對向量方法的一個總結,也算是一種課時小結,引導學生發現,利用空間向量解決立體幾何問題大體上分為三個步驟,見圖5．

圖5

3 教學啟示

3.1 注重問題鏈設置的統籌性、連貫性及導向性

單元復習課更應體現前后知識的銜接及思想方法的一致性．通過設置具有一定梯度的問題鏈,引導學生積極思考,逐層深入,在回顧、類比、沖突、探索、歸納中完成對章節內容理解的整體提升．問題設計時要考慮知識之間的復雜聯系,設計的問題應貫穿整個單元的知識內容,并具有一定的指導意義及可操作性,使執教者可以從問題鏈中歸結出授課流程．這就需要教師在教學設計環節統籌把握教學內容,先設置若干個(一般5個左右)提綱挈領的大問題,即教學活動的主線,教師可在這幾個“大問題”的主線下,逐步展開教學,以免偏離復習主題[3]．在每個大問題下均可設置一定數量的小問題(追問、反問等),用來分解部分教學主題或重難點．

3.2 在追問中發展學生的高階思維

思維進階是問題設計的評判標準,即前一個問題的解決能夠對后一個問題的學習提供幫助,體現出層層遞進的關系[4]．本課問題4中設置了5個遞進式的追問,它們既涵蓋了單元復習的知識點及思想方法,又契合了學生的思維水平．追問的設置應遵循“低起點、易入口、上緩坡、漸遞進、有發展”的基本原則,通過追問式的變式教學,多向構建知識體系,提升學生的學習能力,培養高階思維及學科素養．

3.3 積極探索問題驅動下單元復習課新模式

單元復習課不是對知識點的簡單梳理,更不是純粹的解題訓練,而是一種“回顧—貫通—升華”的過程．在理解教材及學情的基礎上,如何通過設置合理的問題情境,設計具有邏輯性和適切性、遞進式的問題鏈,不斷激發學生的深度思考,切實提升章末復習效率,是單元復習教學值得探索的一個問題．