基于“教學評一體化”的數學整體思維的培養
——以2023年新高考Ⅱ卷第21題為例*

沈 臻

(江蘇省常州市北郊高級中學 213031)

王 強

(江蘇省常州市第二中學 213003)

在教育改革不斷深化的背景下,“教學評一體化”越來越受到關注．教學評一體化是指在教育過程中,教學、學習和評價應相互協調,共同完成教育目標．其中,教學是手段,學習是過程,評價是反饋,三者形成一個完整的教育系統．在數學教學中,這種一體化思想對于培養學生整體思維具有重要意義．通過適切的教學行為,教師可以引導學生掌握數學知識、發展思維能力,同時利用評價手段及時獲得教學反饋,不斷完善教學方式．

章建躍博士指出:數學中的整體性既體現在代數、幾何、三角等各部分內容之間的相互聯系上,也體現在同一部分內容知識的前后邏輯關系上．“整體性”一詞在課程標準中共出現16次,主要聚焦于數學課程內容、數學核心素養的培育、數學教材編寫、數學教育評價等方面[1]．培根曾說“數學是思維的體操”.整體思維是指將數學知識和方法作為一個整體來理解和把握,發現其中的內在聯系,形成全面的、多角度的思考方式．新高考中壓軸題的突破同樣需要整體思維,如函數中的同構、解析幾何中的齊次化等．本文以2023年新高考Ⅱ卷第21題的根與系數關系不對稱問題為例,基于教學評一體化就解析幾何教學中如何培養學生的整體思維,談一點我們的思考,懇請讀者不吝賜教．

1 創建適切環境,觀察整體結構

崔允漷教授基于教學評一致性設計出一個由六大要素構成的教師教學行為框架[2]．六大要素分別是:創建促進學習的環境;研究并理解學生;明晰目標與組織內容;提供多樣的學習機會;促使學生學會學習;持續的教學反思與創新．良好的課堂氛圍可以促進教學評一體化的實現,教師需要關注學生的情感需求和體驗,營造積極和諧的課堂氛圍．解析幾何教學中,利用信息技術創建探究環境可以豐富教學內容和形式,幫助學生確立研究方向．

解析幾何中的運算是建立在幾何背景下的代數運算,所以先用幾何眼光觀察、分析幾何圖形的要素及其基本關系再用代數語言表達,在運算過程中時刻注意利用圖形的幾何特征及圖形間的關系來簡化運算,這是解析幾何教學中突破運算難點的關鍵舉措[3]．橢圓、雙曲線和拋物線本身關于坐標軸對稱,利用圖形的整體結構(對稱性),通過動態幾何軟件的直觀呈現,可以明確運算方向．

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于點P,證明:點P在定直線上．

2 組織有效活動,實施整體運算

組織有效的學習活動是教師教學關鍵行為,包括教學目標落實、教學內容處理、教學活動實施三個方面．明確的教學目標是教學評一體化的基礎,解題教學的目標不能局限于得到正確答案,還應關注方法的掌握程度(一題多解)和靈活運用(多題一解)．教學內容是培養學生數學整體思維的核心,教師應注重知識的縱橫聯系和拓展延伸,幫助學生建立知識的網絡結構．教學活動的有效實施是實現教學評一體化的關鍵,教師需要積極采用啟發式、探究式、合作交流等方式,引導學生主動參與到學習活動中．

3 進行持續反思,培養整體視角

多元化評價是教學評一體化的重要環節,包括學生自評、學生互評、師評等．教師要熟練掌握各種評價方法,靈活運用在教學過程中．教學評一體化強調評價的實時性,教師要根據學生的課堂表現進行適當反饋和評價,為學生提供針對性的指導,同時反思教學過程并及時調整教學策略．教師應注重評價的育人導向功能,堅持以評促教、 以評促學,還應引導學生及時反思自己的學習過程,評估自己的學習成果,從而認識自己的優點和不足．

章建躍博士指出:“對數學對象的研究,要注重讓學生經歷以‘一般觀念’(big idea)為引導發現規律、獲得猜想,并通過數學的推理、論證證明結論(定理、性質等)的過程,提升邏輯推理、數學運算等素養．”[5]將原問題進行推廣、類比、特殊化、聯系是進一步研究問題的一般觀念,教學中應培養學生從聯系的、整體的視角看問題．可設計學生活動,對2023年新高考Ⅱ卷第21題這類定值問題進行推廣,合作探究,得到其在雙曲線中的一般化結論即定理1,并進一步將結論類比推廣到橢圓得到定理2,推廣的過程中可應用動態幾何軟件GeoGebra進行輔助驗證．

定理2的證明與定理1的證明相似,由定理2令a=b也容易推得圓中的相關結論．

用整體的眼光進一步看問題,定理1和定理2都是由定點得到定直線,那么自然思考交換條件和結論,由定直線能否得到定點呢?經過學生課后進一步探究,可得到定理3和4,證明過程不再贅述．

4 結束語

解析幾何是運用代數運算解決幾何問題,涉及到“形”與“數”的合理轉化、“數”與“式”的靈活整合．在運算的設計階段,我們需要用好圖形的整體結構如充分利用圓錐曲線的對稱性輔助解題,也需要結合所求問題分析式子的代數結構進行整體處理,從而明確更簡便的運算方向．在運算的實施階段,我們需要圍繞代數結構和圖形結構從多角度實施整體運算,感受整體運算的簡便性,形成整體運算的成功體驗．在運算的反思階段,我們需要利用“推廣、類比、特殊化、聯系”的一般觀念進一步研究問題,從解“一道題”向解“一類題”轉變,提高從整體角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力．應在運算的各階段加強整體思維的培養,從而幫助學生積累數學運算活動經驗,增強數學運算的信心,提升數學運算素養．

教育的根本任務是落實立德樹人,發展學生的學科核心素養．教師作為教學過程中的組織者、指導者和引領者,要確定課堂教學“教什么”“怎么教”,要指導學生“學什么”“怎么學”,最后通過評價知曉學生“會什么”的最終效果．基于教學評 一體化的數學整體思維培養是一項系統的工程,教師在教學過程中不斷探索和實踐．通過“創建適切環境,觀察整體結構”“組織有效活動,實施整體運算”“進行持續反思,培養整體視角”等教學措施,可以有效地培養學生的數學整體思維,提升他們的數學素養和創新能力,為提高數學教學質量和培養創造型人才奠定堅實的基礎．