在預應力作用下彈性波在準晶體結構中的影響

唐楷棋

（中鐵第五勘察設計院，北京 102627）

1 簡介

近年來，準晶體結構在周期材料力學和固體物理領域得到了廣泛的應用。它通常用于對非周期結構系統(tǒng)進行建模和分析。它是一種介于晶態(tài)和非晶態(tài)之間的固體。由于其獨特的特性和特性，一般將其作為超材料來分析，而斐波那契結構是一種特殊類型的準晶體結構，即結構中的元素排列在一個或多個空間維度組成 ，通過傅里葉變換可以得到排列的離散值。 當引入彈性波時，結構會根據不同頻率的波紋表現(xiàn)出不同的獨特特性。這些特性也可以用準周期性表述。

在接下來的研究中，在一維設置中標準化準周期結構，該結構由基本單元的重復序列組成，形成無限梁或桿。長和短這兩個不同的元素分別用L和S表示（S、L、LS、LSL、LSLLS）。其中，準晶體獨特的特性，其結構可以使一定頻率的彈性波被阻擋在結構中，而另一部分則被允許通過。 通過測試和研究在準晶體結構中傳播的波的類型來分析此類結構的特征。因此，該功能可用于各種發(fā)現(xiàn)和應用，例如濾波器、聲學濾波器、噪聲換能器阻擋和設計、諧振器和波導設計、聲學透鏡、聲音保護裝置和地震屏蔽。這些成果被廣泛應用于工業(yè)界和學術界，在日常生活中隨處可見。

2 方法論

2.1 分析計算

通過比較參考的論文，準晶體的基本概念是相同的，即波在晶體棒中傳播。但進行結構實驗所采用的方法不同，從不同方面評估波在結構中的傳播能力。根據上述斐波那契數列生成的準晶體結構，引入一維無限長梁桿系統(tǒng)。假設該結構由兩個不同的基本單元L和S重復組成，并采用斐波那契數列規(guī)則排列。

圖1所示為預應力條件下的準晶結構。 A和B是兩個不同的系統(tǒng)。研究它們需要不同的公式和計算方法。文章分析計算的是圖2的簡化版本，即由L和S交替排列組成的準晶棒。而需要研究的是圖1中的系統(tǒng)，即系統(tǒng)a，圖2中的準晶棒中有一個彈簧支撐。

圖1 L和S準晶結構中施加預應力；a：添加彈簧，b：添加了支持。（M..Gei，2010）

圖2 由 L和 S 兩種元素按順序排列組成的準晶棒

L和S是構成準晶棒的兩個基本元素，LS是基本單位，它們的長度分別為lL和lS。其中，由于L和S材料相同，所以具有相同的梁截面積、楊氏模量、各單元單位長度的密度，由A、E、ρ來表示。 根據Gei的論文，然后確定沿桿的位移函數u（z），其中z是垂直軸，因此軸向力N（z）=EA u（Z）。 諧波的場方程為：

式中Q=ρ/EA，ω為波的頻率，可得：

由該式可以得到該周期桿的頻散圖，右邊界處的位移和軸力分別為ul和N

其中Uj= [uj Nj]T并且是小區(qū)Fi的傳輸矩陣。這個矩陣就是乘積的結果，S}）是傳遞矩陣，它是單個跨度上的相關量，我們可以得到：

根據Floquet-Bloch條件，Ur = exp（iK）Ul，因此，加上（4），可得色散方程：

從圖3中可以看到，這是通過上面的公式和各種參數得到的色散圖，阻帶是x軸值為3到5、9到11時的區(qū)間，而通帶是 x軸的值是2.5到3、5到6.25、7.5到9、11到12.5的范圍。如果改變施加在系統(tǒng)中準晶棒上的預應力，色散圖中的通帶和阻帶應該隨著適應而變化。

圖3 軸向波的色散圖（L. Morini、M. Gei，2018）

4 分析與結果

MATLAB編碼后，輸入參數即可得到如下色散圖，如下圖6所示。當l=0.3 m，s=0.01 m，其他參數不變時，可以看到圖4中的通帶和阻帶。圖中到達了y=π，y=0的線，也就是說這部分是阻帶。而y的值從0～π，這部分是通帶。可以用表格來表示通帶和阻帶對應的頻率范圍，如下表1所示。

表1 當l為0.3，s為0.01時，由圖6所示阻帶范圍

圖4 當l為0.3，s為0.01，其他參數不變時，波在結構中傳播的色散圖

從圖表中得到了阻帶頻率的大致范圍，顯然兩個相鄰的頂部頻帶之間是通帶。接下來，改變L的長度，從而使半徑l/s發(fā)生變化，分別比較l/s為15、30、60情況下彈性波穿過準晶棒的效果。然后運行代碼，我們可以得到圖5。

圖5 當l=0.15、0.6時，波在結構中傳播的色散圖

當l=0.15，s=0.01時，比值l/s=15，其他參數不變，藍線顯示，只有一個阻帶，x值從2.98～4.32。當l=0.6，s=0.01時，比值l/s=60，其他參數不變，黃線顯示，有6個阻帶。

從圖5可以看出，當l/s的值越大，其他參數不變時，其所處的止損帶越多，頂帶的范圍是一個較小的趨勢，即止損帶越短。阻帶是。反之，當l/s的值越小時，其所處的阻帶越少，其范圍越大。同樣可以看出，通帶隨著阻帶的增大而減小，隨著頂帶的減小而增大，這表明通帶和阻帶是相互影響的。很明顯，當l/s的比值越大時，在一維準晶棒中阻擋的波的頻率就越高。接下來改變Spring的剛度系數，以R1為變量，其他參數不變，比較R1=15、20、40時準晶棒中彈性波的通帶和阻帶，比較L時 類比之前的/S比率，如下圖6所示。

圖6 當R1=15、40時，波在結構中傳播的色散圖

從圖6可以看出，當R1變化時，色散圖的通帶和阻帶也發(fā)生變化。R1值越大，其阻帶范圍越大，表明波通過準晶棒被阻擋的頻率越高。反之，阻帶范圍越大，通帶范圍越小，這與比率l/s具有相同的相關性。

5 結論

本文基于斐波那契數列規(guī)則，對由L和S基本單元重復排列組成的準晶棒進行了建模和分析，由于準晶對于彈性波周期性濾波波傳播的特性， 通過Matlab建模計算研究波在準晶體中的傳播效應，以確定相關色散圖中通帶和阻帶的位置。針對該問題，通過改變L/S比值和彈簧剛度系數R1的值，對色散圖中的通帶和阻帶進行定量分析。通過分析上述圖表，當L/S值較大時，色散圖中的頂帶會明顯增加，說明波在準晶棒中傳播被阻擋的頻率范圍也較多，對應的頻率通帶的值較小。如果L/S值較小，則與上述理論相反。當彈簧剛度系數的值發(fā)生變化時，色散圖中通帶和阻帶的位置也會發(fā)生變化。當彈簧剛度系數R1變大時，比值l/s變大，色散圖中頂帶的范圍變大，波穿過準晶棒組織的頻率也越高。所以從上面的例子可以推斷，彈性波在準晶棒中傳播，并且停止的頻率范圍與l/s和彈簧剛度系數正相關。