不定方程13x2-11y2=2和48y2-13z2=35的公解

朱文娜,牟全武

(西安工程大學(xué)理學(xué)院, 陜西 西安 710048)

0 引言

不定方程是數(shù)論研究的重要對象,為了研究實(shí)二次域的Gauss類數(shù)問題,人們需要求解一類特殊的二次不定方程—Pell方程。自20世紀(jì)40年代至今,關(guān)于兩個(gè)Pell方程的公解問題已有大量研究(如文獻(xiàn)[1-7]),這使得一些特殊的二元四次不定方程得到完全解決。從研究方法上看,除了綜合運(yùn)用遞推序列及二次剩余等初等方法[8-9],還可以借助Gel’fond-Baker方法及Diophantus逼近等高等方法[10-11]。

設(shè)a1,a2,a3為正整數(shù),且滿足任意兩數(shù)之積與1的和為完全平方數(shù)。關(guān)于不定方程組

(1)

的求解引起不少人的興趣。1969年,Baker和Davenport[2]證明了當(dāng)(a1,a2,a3)=(1,3,8)時(shí),不定方程組(1)僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(1,1,1),(11,19,31);1997年,陳志云[12]給出了當(dāng)(a1,a2,a3)=(7,9,32)時(shí)不定方程組(1)的正整數(shù)解的上界;2008年,鄭兆順[13]給出了當(dāng)(a1,a2,a3)=(9,11,40)時(shí)不定方程組(1)的正整數(shù)解的上界;2022年,李楊[14]給出了當(dāng)(a1,a2,a3)=(8,10,36)時(shí)不定方程組(1)的正整數(shù)解的上界。2011年,賀臘榮[15]證明了當(dāng)(a1,a2,a3)=(11,13,48)時(shí)不定方程組(1)的正整數(shù)解滿足x<0.92×2418393,y<2418393,z<1.92×2418393。本研究的目的是改進(jìn)文獻(xiàn)[15]中的結(jié)果,利用Gel’fond-Baker方法及Diophantus逼近方法,我們證明了

定理1不定方程組

(2)

的全部解為(x,y,z)=(±1,±1,±1),(±551,±599,±1 151)。

1 預(yù)備工作

x2-Dy2=M

(3)

x2-Dy2=1

(4)

x1x2-Dy1y2≡0(mod|M|),x1y2-x2y1≡0(mod|M|)．

且方程(3)的屬于結(jié)合類K的全部解可由

表出。

方程組(2)可化為

將13x與13z分別視作x,z,則只需求解方程組

(5)

(6)

(7)

或

(8)

由以上分析,只需要分別考慮式(6)和式(7)同時(shí)成立或者式(6)和式(8)同時(shí)成立這兩種情形。當(dāng)m=0時(shí),由式(6)得(x,y)=(13,1),代入方程組(5),得到(5)的一組正整數(shù)解(x,y,z)=(13,1,13);當(dāng)m=1時(shí),由式(6)得(x,y)=(299,25),代入方程組(5),無解;當(dāng)m=2時(shí),由式(6)得(x,y)=(7 163,599),代入方程組(5),得到式(5)的一組正整數(shù)解(x,y,z)=(7 163,599,14 963)。故當(dāng)0≤m≤2時(shí)得到方程組(2)的兩組正整數(shù)解(x,y,z)=(1,1,1),(551,599,1 151)。下文中將證明m≥3時(shí),式(6)和式(7)不能同時(shí)成立,式(6)和式(8)亦不能同時(shí)成立,故此種情形下方程組(2)無解。我們采用反證法,僅對式(6)和式(7)同時(shí)成立的情形進(jìn)行詳細(xì)討論,對式(6)和式(8)同時(shí)成立情形的討論是完全類似的,故略去。

2 Gel’fond-Baker方法的應(yīng)用

注意m≥3,n∈。為敘述方便,令

經(jīng)計(jì)算知P>28 700,Q>1。根據(jù)式(6)及式(7)得

故P>Q且

(9)

由式(9)推出

即

(10)

用下述引理3證明若式(10)成立,則必有m<1027。

這里d=[(α1,α2,…αk):

引理3的證明見文獻(xiàn)[17]第20頁。

令

(11)

(12)

(13)

(14)

顯然d=[(α1,α2,α3):]=[]=4。

容易驗(yàn)證代數(shù)數(shù)α1,α2,α3所滿足的極小多項(xiàng)式分別是

這給出A1=24,A2=50,A3=813 120。又由式(13)得B=max{m,n,1}=m。根據(jù)引理3推出

-ln|Λ|<19210ln(24)ln(50)ln(813120)ln(m)

(15)

由式(14)及式(15)知

但當(dāng)m≥1027時(shí)此不等式不成立,故必有m<1027。

3 Diophantus逼近方法的應(yīng)用

(16)

則不存在整數(shù)m,n同時(shí)滿足

(17)

|mθ-n+β|

(18)

引理4的證明見文獻(xiàn)[2]第133～134頁。

令

這里α1,α2,α3由式(11)給出。由式(12)得 |mθ-n+β|<0.1C-m

(19)

設(shè)

θ0=0.812 019 300 234 695 763 189 497 317 209 119 603 268 924 900 197 531 476 104 505,

取p/q為θ0的漸近分?jǐn)?shù),q≤1031且q最接近1031。根據(jù)Dirichlet逼近定理得|qθ0-p|≤10-31。經(jīng)計(jì)算知

注意

根據(jù)引理4,當(dāng)26≤m<1027時(shí)式(19)不成立。故只需考慮3≤m≤25的情形。

θ有連分?jǐn)?shù)的漸近分?jǐn)?shù)序列

取q=117,p=95,φ=qθ-p。經(jīng)計(jì)算知

|φ|=0.006 258 13…,‖qβ‖=0.475…

(20)

由式(19)得

|m(p+φ)-qn+qβ|<0.1qC-3<0.002.

故當(dāng)3≤m≤25時(shí),有

‖qβ‖=‖m(p+φ)-qn+qβ-mφ‖

≤‖m(p+φ)-qn+qβ‖+m‖φ‖

=|m(p+φ)-qn+qβ|+m|φ|

<0.002+25×0.007

=0.177,

這與式(20)矛盾。

綜上討論,m≥3時(shí)式(6)和式(7)不能同時(shí)成立,同理可證式(6)和式(8)也不能同時(shí)成立,故定理1得證。