高帶寬壓電片變形鏡的動(dòng)力學(xué)仿真與優(yōu)化方法研究

楊開科， 羅俊鵬， 馬文靜， 耿遠(yuǎn)超， 王德恩， 袁 強(qiáng)

（中國(guó)工程物理研究院 激光聚變研究中心， 四川 綿陽(yáng) 621900）

復(fù)雜時(shí)變的大氣環(huán)境易對(duì)精密光機(jī)系統(tǒng)探測(cè)光、發(fā)射激光的空間傳輸產(chǎn)生高頻的隨機(jī)擾動(dòng)，導(dǎo)致傳感圖像清晰度下降及激光聚焦形狀潰散，極大地降低了作用效果[1-3]。利用波前校正器可對(duì)空間光束的波前畸變進(jìn)行自適應(yīng)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償，從而顯著提高圖像探測(cè)精度和激光傳輸性能。典型的波前校正器包括液晶空間相位調(diào)制器、機(jī)械式變形鏡和壓電變形鏡（壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的可變形反射鏡）等。其中，壓電變形鏡的工作響應(yīng)頻率最高，可達(dá)數(shù)千赫茲，且能夠承載高功率密度激光，其具有廣闊的應(yīng)用前景。根據(jù)鋯鈦酸鉛（PZT）或鈦酸鋇等陶瓷作動(dòng)器的結(jié)構(gòu)形式和驅(qū)動(dòng)方式，壓電變形鏡可以進(jìn)一步分為壓電疊堆變形鏡、壓電片變形鏡和MEMS（microelectro mechanical systems，微機(jī)電系統(tǒng)）壓電微變形鏡等。其中，壓電疊堆變形鏡的制作工藝復(fù)雜且成本高昂。目前，壓電疊堆變形鏡的核心器件——壓電疊堆作動(dòng)器的成熟供應(yīng)商主要為德國(guó)物理儀器（Physik Ⅰnstrumente）集團(tuán)、日本東京電氣化學(xué)工業(yè)株式會(huì)社（Tokyo Denki Kagaku）等。在國(guó)內(nèi)，中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所、上海硅酸鹽研究所和南京航空航天大學(xué)等針對(duì)自主可控的壓電疊堆作動(dòng)器的制備技術(shù)等進(jìn)行了深入研究[4-5]。壓電片變形鏡以單層或雙層的薄片狀壓電陶瓷作動(dòng)器作為驅(qū)動(dòng)單元，具有極致輕量化、集成度高、制作工藝簡(jiǎn)單和成本較低的優(yōu)點(diǎn)，其已成為自適應(yīng)光學(xué)波前校正器領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。王德恩等[6]對(duì)方口徑壓電薄膜變形鏡的響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行了計(jì)算并對(duì)其電極尺寸參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。張晉弘等[7]基于有限元方法研究了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)MEMS 壓電微變形鏡校正性能的影響。朱衡[8]對(duì)壓電傾斜鏡的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了仿真分析，并提出了針對(duì)大口徑、大角行程、高速壓電傾斜鏡的優(yōu)化設(shè)計(jì)措施。程罡[9]利用壓電雙晶片執(zhí)行器響應(yīng)帶寬高、質(zhì)量小的特點(diǎn)，對(duì)其在高旋飛行器姿態(tài)調(diào)整中的應(yīng)用進(jìn)行了研究。然而，目前針對(duì)壓電片變形鏡的研究主要關(guān)注其在較低頻率下（百赫茲以下）的工作性能，仍缺乏面向高工作頻率下壓電片變形鏡的高效動(dòng)力學(xué)仿真分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[10]。壓電片變形鏡具有多層復(fù)合薄殼結(jié)構(gòu)，其在較高頻率的控制電壓激勵(lì)下工作時(shí)易受到機(jī)械共振、位移-電壓相位遲滯等動(dòng)力學(xué)效應(yīng)的影響，難以獲得較高的形狀控制精度[11]。

為此，筆者基于壓電片變形鏡的參數(shù)化有限元模型，提出了一種高效、高精度的電-力耦合動(dòng)力學(xué)仿真分析方法，通過正交遍歷搜索含光學(xué)反射鏡材料、壓電陶瓷材料、復(fù)合材料層厚度和固定方式等參數(shù)的全設(shè)計(jì)空間，探索多維設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)壓電片變形鏡的固有頻率與鏡面驅(qū)動(dòng)位移的影響規(guī)律，以優(yōu)化得到具有預(yù)期高帶寬的壓電片變形鏡設(shè)計(jì)方案。最后，基于所制備的壓電片變形鏡原理樣件，開展動(dòng)態(tài)形狀控制特性驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。

1 壓電片變形鏡動(dòng)力學(xué)分析方法

壓電片變形鏡主要由壓電陶瓷作動(dòng)器、光學(xué)反射鏡和電壓控制通道等組成，其工作原理如圖1所示：利用逆向壓電效應(yīng)將控制電壓轉(zhuǎn)換為壓電陶瓷材料的輸出位移。壓電片變形鏡借助不同電壓控制通道的分立作動(dòng)單元實(shí)現(xiàn)對(duì)光學(xué)反射鏡形狀的精確控制[12]。

圖1 壓電片變形鏡工作原理示意Fig.1 Schematic of working principle of unimorph piezoelectric deformable mirror

本文結(jié)合電-力耦合的壓電陶瓷材料本構(gòu)方程，基于模態(tài)加速度法提出了適用于壓電片變形鏡的高效、高精度動(dòng)力學(xué)分析方法，涉及公式如下：

式中：σ、c和ε分別為機(jī)械應(yīng)力張量、彈性張量和機(jī)械應(yīng)變張量，e、E、D和κ分別為壓電應(yīng)力常數(shù)張量、電場(chǎng)向量、電位移向量和介電常數(shù)張量[13-15]，M為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣，C為結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，Kuu為結(jié)構(gòu)剛度矩陣，u(t)、Fpzt(t)分別為結(jié)構(gòu)位移向量和壓電驅(qū)動(dòng)力向量，KuV為壓電陶瓷材料的電-力耦合矩陣，V為所有控制通道的電壓向量，j、ω和t分別為虛數(shù)單位、角頻率和時(shí)間，φi、wi和yi(t)分別為第i階結(jié)構(gòu)模態(tài)振型向量、第i階諧振頻率和第i階模態(tài)振型的參與因子，l為低階模態(tài)的數(shù)量，n為所有模態(tài)的數(shù)量。

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論，由多層材料組成的壓電片變形鏡的動(dòng)態(tài)形狀控制性能受到光學(xué)反射鏡材料、壓電陶瓷材料、光學(xué)反射鏡幾何尺寸、壓電陶瓷幾何尺寸、變形鏡固定方式和驅(qū)動(dòng)電壓等設(shè)計(jì)參數(shù)的共同影響[16-17]。壓電片變形鏡的幾何模型和電極布局如圖2所示。為滿足45°入射角下50 mm有效口徑的通光尺寸，選定壓電陶瓷和光學(xué)反射鏡的平面尺寸分別為65 mm×90 mm和86.8 mm×124 mm，則幾何設(shè)計(jì)參數(shù)主要為復(fù)合材料層的厚度。同時(shí)，假設(shè)驅(qū)動(dòng)電場(chǎng)強(qiáng)度為500 V/mm，19 個(gè)電極均可加載滿幅度的驅(qū)動(dòng)電壓。

圖2 壓電片變形鏡的幾何模型和電極布局Fig.2 Geometric model and electrode layout of unimorph piezoelectric deformable mirror

2 壓電片變形鏡多維設(shè)計(jì)參數(shù)的優(yōu)化方法

圖3所示為壓電片變形鏡的多維設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化流程，主要由設(shè)計(jì)參數(shù)正交遍歷取樣、電-力耦合動(dòng)力學(xué)仿真分析和基于仿真性能的設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)選三個(gè)步驟組成。壓電片變形鏡的多維設(shè)計(jì)參數(shù)包括：1）光學(xué)反射鏡的材料（K9 玻璃、熔石英、碳化硅）；2） 壓電陶瓷材料（PZT-5H、PZT-5X）；3）固定方式（三點(diǎn)夾持、周圈多點(diǎn)夾持）；4）復(fù)合材料層厚度（光學(xué)反射鏡厚度為1～5 mm、壓電陶瓷厚度為0.1～1 mm）。構(gòu)建圖4(a)所示的壓電片變形鏡有限元模型[18-19]，在19 個(gè)控制通道同時(shí)加載靜態(tài)驅(qū)動(dòng)電壓的情況下，開展電-力耦合仿真求解，得到變形鏡的典型驅(qū)動(dòng)位移云圖，如圖4(b)所示。需要注意的是，在設(shè)計(jì)參數(shù)正交遍歷取樣及電-力耦合仿真階段，為了減少計(jì)算量，采用靜態(tài)驅(qū)動(dòng)位移和固有頻率來描述壓電片變形鏡的動(dòng)態(tài)形狀控制性能。

圖3 壓電片變形鏡多維設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化流程Fig.3 Optimization flow for multi-dimensional design parameters of unimorph piezoelectric deformable mirror

圖4 壓電片變形鏡有限元模型及其驅(qū)動(dòng)位移云圖Fig.4 Finite element model of unimorph piezoelectric deformable mirror and its actuation displacement nephogram

遍歷取樣生成器將全設(shè)計(jì)空間離散成10 920個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)取樣點(diǎn)。隨后，基于壓電片變形鏡的參數(shù)化有限元模型，求解變形鏡在不同設(shè)計(jì)參數(shù)取樣點(diǎn)處的電-力耦合動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，得到所有設(shè)計(jì)方案下壓電片變形鏡的仿真性能（包含固有頻率和鏡面驅(qū)動(dòng)位移），結(jié)果如圖5所示（鑒于散點(diǎn)圖無(wú)法呈現(xiàn)壓電片變形鏡性能隨復(fù)合材料層厚度的變化趨勢(shì)，故圖5(e)采用折線圖形式）。由圖5可知，從整體上看，在電場(chǎng)強(qiáng)度恒定的情況下，壓電片變形鏡的固有頻率與鏡面驅(qū)動(dòng)位移幅值成反比關(guān)系。為滿足壓電片變形鏡在較高頻率下工作的要求，須保證其固有頻率和鏡面驅(qū)動(dòng)位移均較大。結(jié)合圖5(b)至圖5(d)，可采用以下原則對(duì)壓電片變形鏡的設(shè)計(jì)方案進(jìn)行優(yōu)化：1）匹配增大光學(xué)反射鏡和壓電陶瓷的厚度；2）選擇具有高壓電應(yīng)變系數(shù)的壓電陶瓷材料；3）選擇周圈多點(diǎn)夾持的固定方式。考慮到在實(shí)際情況下壓電陶瓷材料的工作電場(chǎng)強(qiáng)度限制（500 V/mm）和使用溫度范圍，選用熔石英作為光學(xué)反射鏡材料，PZT-5H 作為壓電陶瓷材料，并采用周圈多點(diǎn)夾持的固定方式。基于上述條件，分析不同復(fù)合材料層厚度下壓電片變形鏡性能的變化趨勢(shì)，結(jié)果如圖5(e)所示（19個(gè)電壓控制通道同時(shí)加載）。以固有頻率大于4 000 Hz，單通道電壓控制時(shí)鏡面驅(qū)動(dòng)位移大于±1 μm為優(yōu)化篩選條件，根據(jù)圖5(e)結(jié)果，可得到光學(xué)反射鏡厚度為5 mm、壓電陶瓷厚度為1 mm的設(shè)計(jì)方案。此時(shí)，壓電片變形鏡的固有頻率w0=4 129 Hz。在1 號(hào)、3 號(hào)和4 號(hào)電極處分別施加500 V的控制電壓，通過仿真得到最優(yōu)設(shè)計(jì)方案下壓電片變形鏡的驅(qū)動(dòng)位移云圖，結(jié)果如圖6所示，對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)位移最大值分別為1.74，1.72，1.65 μm。

圖5 多維設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)應(yīng)的壓電片變形鏡仿真性能Fig.5 Simulated performance of unimorph piezoelectric deformable mirror corresponding to multi-dimensional design parameters

圖6 單通道電壓控制時(shí)壓電片變形鏡的驅(qū)動(dòng)位移云圖Fig.6 Actuation displacement nephogram of unimorph piezoelectric deformable mirror under single channel voltage control

為了研究不同頻率電壓激勵(lì)下壓電片變形鏡的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，在1號(hào)電極處施加不同頻率的電壓激勵(lì)，并基于式(1)至式(5)計(jì)算得到壓電片變形鏡的鏡面驅(qū)動(dòng)位移，結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同激勵(lì)頻率下壓電片變形鏡的驅(qū)動(dòng)位移幅值Fig.7 Actuation displacement amplitude of unimorph piezoelectric deformable mirror under different excitation frequencies

由圖7可以看出，當(dāng)電壓激勵(lì)頻率低于結(jié)構(gòu)固有頻率w0（4 129 Hz）時(shí)，壓電片變形鏡的驅(qū)動(dòng)位移響應(yīng)主要集中在1號(hào)電極控制區(qū)域。當(dāng)電壓激勵(lì)頻率接近固有頻率w0時(shí)，變形鏡的驅(qū)動(dòng)位移響應(yīng)區(qū)域擴(kuò)大，并產(chǎn)生第一階本征變形模式。當(dāng)電壓激勵(lì)頻率超過固有頻率w0時(shí)，變形鏡的驅(qū)動(dòng)位移幅值與電壓激勵(lì)區(qū)域發(fā)生分離，其驅(qū)動(dòng)位移云圖呈高階振動(dòng)模式，產(chǎn)生了不可控的動(dòng)態(tài)變形。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)避免壓電片變形鏡在接近或超過結(jié)構(gòu)一階固有頻率的條件下工作。

3 壓電片變形鏡面形控制實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出的面向壓電片變形鏡的電-力耦合動(dòng)力學(xué)仿真分析方法的有效性，根據(jù)上文得到的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，研制了圖8所示的壓電片變形鏡原理樣件。

圖8 壓電片變形鏡原理樣件Fig.8 Principle prototype of unimorph piezoelectric deformable mirror

在所研制的壓電片變形鏡原理樣件的1號(hào)、3號(hào)和4號(hào)電極處分別施加500 V的控制電壓，如圖9所示，將光纖激光準(zhǔn)直后變?yōu)槠叫泄馐捎霉芈ㄇ皞鞲衅鳒y(cè)量在單通道電壓控制時(shí)壓電片變形鏡的鏡面驅(qū)動(dòng)位移，結(jié)果如圖10所示。對(duì)比圖6和圖10發(fā)現(xiàn)，通過實(shí)際測(cè)量得到的壓電片變形鏡的位移云圖與對(duì)應(yīng)的仿真位移云圖具有相似的分布形式，3 個(gè)電極分別施加控制電壓時(shí)對(duì)應(yīng)的最大驅(qū)動(dòng)位移分別為1.47，1.86，1.46 μm，實(shí)測(cè)驅(qū)動(dòng)位移與仿真驅(qū)動(dòng)位移的最大值的比值分別為84.6%，107.86%和88.6%，兩者的最大相對(duì)誤差為15.4%。所得結(jié)果驗(yàn)證了壓電片變形鏡電-力耦合仿真模型在預(yù)測(cè)驅(qū)動(dòng)位移幅值及形狀控制效果方面的有效性。

圖9 壓電片變形鏡表面形狀測(cè)量光路Fig.9 Optical path for measuring surface shape of unimorph piezoelectric deformable mirror

圖10 單通道電壓控制時(shí)壓電片變形鏡的實(shí)測(cè)驅(qū)動(dòng)位移Fig.10 Measured actuation displacement of unimorph piezoelectric deformable mirror under single channel voltage control

為進(jìn)一步驗(yàn)證壓電片變形鏡的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，在1號(hào)電極處施加掃頻式電壓激勵(lì)，開展變形鏡的鏡面驅(qū)動(dòng)位移響應(yīng)速度測(cè)量實(shí)驗(yàn)[20]。如圖11 所示，采用信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生不同頻率的正弦電壓控制信號(hào)，電壓控制信號(hào)經(jīng)過高壓放大器后直接加載于壓電片變形鏡的1號(hào)電極處。激勵(lì)電壓幅值固定為±50 V，頻率為0～5 000 Hz。使用激光測(cè)振儀測(cè)量1 號(hào)電極區(qū)域?qū)?yīng)的鏡面驅(qū)動(dòng)位移響應(yīng)速度，結(jié)果如圖12所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)電壓激勵(lì)頻率為3 378 Hz時(shí)，壓電片變形鏡的鏡面驅(qū)動(dòng)位移響應(yīng)速度迅速提高，第一階機(jī)械共振頻率的實(shí)測(cè)值為仿真值4 129 Hz的82%。仿真計(jì)算得到的固有頻率偏高的主要原因是有限元模型中固定邊界條件為理想的剛性位移約束，而在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，壓電片變形鏡的固定夾持結(jié)構(gòu)具有一定的柔度，不可避免地會(huì)造成實(shí)際固有頻率下降。

圖11 壓電片變形鏡驅(qū)動(dòng)位移響應(yīng)速度測(cè)量方案Fig.11 Measurement scheme for actuation displacement response speed of unimorph piezoelectric deformable mirror

圖12 壓電片變形鏡1號(hào)電極處的驅(qū)動(dòng)位移響應(yīng)速度Fig.12 Actuation displacement response speed at the electrode 1 of unimorph piezoelectric deformable mirror

4 結(jié) 論

1）本文基于壓電片變形鏡的參數(shù)化有限元模型，提出了高效、高精度的壓電片變形鏡電-力耦合動(dòng)力學(xué)仿真分析方法。同時(shí)，通過正交遍歷多維設(shè)計(jì)參數(shù)，探索了不同參數(shù)對(duì)壓電片變形鏡動(dòng)態(tài)形狀控制性能的影響規(guī)律。研究發(fā)現(xiàn)，匹配增大壓電陶瓷與光學(xué)反射鏡的厚度、選擇高壓電應(yīng)變系數(shù)的壓電陶瓷材料和采用周圈多點(diǎn)夾持的固定方式能夠同時(shí)提升壓電片變形鏡的固有頻率和驅(qū)動(dòng)位移性能。

2）根據(jù)符合預(yù)期工作帶寬的壓電片變形鏡優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，制備原理樣件并開展面形控制實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提出的壓電片變形鏡動(dòng)力學(xué)仿真與優(yōu)化方法的有效性。