新型3PRPaR并聯(lián)機(jī)器人的設(shè)計與多目標(biāo)優(yōu)化

張發(fā)海,李麗紅,朱 磊

(1.江蘇安全技術(shù)職業(yè)學(xué)院智能制造與應(yīng)急裝備學(xué)院, 江蘇 徐州 221011)

(2.中國礦業(yè)大學(xué)材料與物理學(xué)院, 江蘇 徐州 221116)

三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有操作空間大、動態(tài)性能好、制造成本低、無支鏈干涉等優(yōu)點[1-2],廣泛應(yīng)用于裝配、包裝和食品加工等工業(yè)領(lǐng)域[3-4]。

近年來,越來越多的學(xué)者對這類機(jī)構(gòu)進(jìn)行了構(gòu)型綜合和結(jié)構(gòu)優(yōu)化。文獻(xiàn)[5]設(shè)計了一種低耦合度三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu),根據(jù)單開鏈的奇異性分析方法得到奇異位形存在條件。文獻(xiàn)[6]研究不同驅(qū)動類型的Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu),并建立剛度指標(biāo)和綜合靈巧度指標(biāo),研究結(jié)果表明,工作空間體積相同時,直線驅(qū)動型Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比轉(zhuǎn)動驅(qū)動型Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度性能更好,而轉(zhuǎn)動驅(qū)動型Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動性能更為突出。文獻(xiàn)[7]提出一種弱耦合2RRPaR+PPaP并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)。以上文獻(xiàn)僅進(jìn)行了工作空間性能的優(yōu)化。文獻(xiàn)[8]提出一種改進(jìn)的Delta機(jī)構(gòu),通過性能對比分析表明改進(jìn)的Delta機(jī)構(gòu)運動性能較好。文獻(xiàn)[9]研究一種具有較大操作空間、位置正解解析式、運動解耦特點的三平移并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[10]采用動平臺支鏈的演化方法,提出一種末端鉸接的空間三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu),并建立靈巧度和工作空間雙目標(biāo)優(yōu)化模型,此文獻(xiàn)僅考慮了靈巧度和工作空間的優(yōu)化。

綜上所述,目前大部分目標(biāo)優(yōu)化是單目標(biāo)優(yōu)化,多目標(biāo)優(yōu)化也僅涉及工作空間和靈巧度,而忽略了全域性能波動指標(biāo)對機(jī)構(gòu)運動的重要性。本文以三維移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象,研究了操作空間的形狀和大小以及運動性能靈巧度、奇異性等特性。考慮全域性能波動指標(biāo)對運動性能的影響,選擇經(jīng)典的NSGA-Ⅱ算法完成多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化,得到滿足各項性能指標(biāo)的Pareto解。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浞治?/h2>

1.1 機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計

圖1、2為3PRPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖、三維圖,P表示移動副,R表示轉(zhuǎn)動副,Pa表示由4個轉(zhuǎn)動副互相平行且連接平行四邊形機(jī)構(gòu)。單開鏈結(jié)構(gòu)為{(Pi)⊥(Ri1⊥P4R)⊥Ri2},i=1,2,3,其中Ri1∥Ri2。機(jī)構(gòu)的主動副位移定義為(q1,q2,q3),移動副移動長度為L,平行四邊形長邊長為l1,動、靜平臺外接圓半徑分別為r、R。

圖1 3PRPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

圖2 3PRPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維圖

1.2 方位特征集分析

動平臺的運動輸出特性可根據(jù)方位特征集理論計算得到[11]34-47,每條支鏈方位特征集(POC)Mbi為:

(1)

式中:t表示移動副,r表示轉(zhuǎn)動。

機(jī)構(gòu)的POC集Mpa(1-2-3)計算結(jié)果為:

(2)

1.3 自由度分析

自由度計算公式有很多,可參考文獻(xiàn)[11]85-90方位特征集分析中的計算公式:

(3)

(4)

式中:F為自由度;m為機(jī)構(gòu)運動副數(shù);v為機(jī)構(gòu)獨立回路數(shù)目,v=m-n+1,其中n為機(jī)構(gòu)運動副構(gòu)件個數(shù);fi為支鏈第i個運動副的自由度個數(shù);ξLj為第j個回路的獨立位移方程數(shù);Mb(j+1)為第(j+1)條支鏈POC集。

1)分析第1條獨立運動回路方程數(shù),計算獨立位移方程數(shù)ξL1:

(5)

2)分析第2條獨立運動回路方程數(shù)ξL2:

(6)

式中:Mpa(1-2)為由支鏈1、2構(gòu)成的方位特征集。

將獨立位移方程數(shù)代入式(3)、(4)計算機(jī)構(gòu)自由度F,得:

(7)

方位特征集分析以及自由度計算表明:經(jīng)理論驗證機(jī)構(gòu)執(zhí)行末端能夠沿著空間x、y、z方向移動。

2 位置分析

2.1 位置逆解分析

在靜平臺A1A2A3中心O點建立靜坐標(biāo)系{O-xyz}。坐標(biāo)原點O建立在外接圓的中心,其中x軸平行于直線A2A3,y軸經(jīng)過OA1,z軸垂直于靜平臺平面。機(jī)構(gòu)的運動學(xué)方程建立過程具體如下:

3)根據(jù)幾何模型圖(圖3),可得:

圖3 幾何模型圖

R1iR2i=(OP+PR2i)-(OAi+AiR1i)

(8)

4)利用矢量法將R2i、R1i坐標(biāo)點代入式(8)中,推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)運動方程模型:

(9)

將驅(qū)動副位移變量分離,得到逆解表達(dá)式:

(10)

2.2 驅(qū)動副運動性能仿真

設(shè)計平臺的螺旋運動軌跡為:

(11)

式中:t為時間。

運動軌跡如圖4(a)所示,參數(shù)取值為L=2 m、l1=0.8 m、r=1.2 m、R=1.5 m,通過機(jī)構(gòu)仿真得到機(jī)構(gòu)驅(qū)動副位移變化軌跡,如圖4(b)所示。平臺軌跡沿著等距螺旋線上升時,驅(qū)動副位移呈現(xiàn)不同相位的正弦上升趨勢,具有連續(xù)和穩(wěn)定的特點。

圖4 螺旋運動軌跡和驅(qū)動副位移變化軌跡

圖5 動平臺驅(qū)動軌跡

2.3 驅(qū)動副正解性能

采用2.2節(jié)的參數(shù),未限定L值。

由此可以得到動平臺在x、y、z軸方向上的驅(qū)動軌跡,如圖 5 所示。可以發(fā)現(xiàn)動平臺位置變化平穩(wěn),表明機(jī)構(gòu)的傳遞性能優(yōu)良,和2.2節(jié)中的分析結(jié)果一致。

3 奇異性分析

3.1 機(jī)構(gòu)雅可比矩陣

對式(9)分別求導(dǎo)和作分離變量處理,根據(jù)方程(12)計算得到逆雅可比矩陣Jx、正雅可比矩陣Jq。

(12)

(13)

3.2 逆解奇異性分析

機(jī)構(gòu)逆解奇異條件為det(Jq)=0且det(JX)≠0。使得det(JX)=0的條件是:1)z=q1,支鏈1驅(qū)動副位移和動平臺在同一高度。2)z=q2,支鏈2驅(qū)動副位移和動平臺在同一高度。3)z=q3,支鏈3驅(qū)動副位移和動平臺在同一高度。因此以上3種邊界奇異應(yīng)盡量避免。

3.3 正解奇異性分析

機(jī)構(gòu)正解奇異條件為det(JX)=0且det(Jq)≠0。由det(JX)=0可得:

det(JX)=(q3-z)n3-(q2-z)n2-(q1-

z)n1=0

(14)

使得det(Jq)=0的條件是:1)q1=q2=q3=z,此時支鏈1、2、3的移動副的垂直高度和動平臺高度末端完全一致。在這種情況下必然要求r+L=R,因此在設(shè)計機(jī)構(gòu)時,可以控制r+L>R,這樣就能完全遠(yuǎn)離這類奇異位形點。2)h=R-r=0,即動靜平臺的半徑相同,此時平行四邊形無法安裝,為了避免這種奇異出現(xiàn),應(yīng)合理設(shè)置機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù),使r+L>R。

4 機(jī)構(gòu)的工作空間分析

工作空間是指機(jī)構(gòu)執(zhí)行末端的最大運動范圍,可作為衡量機(jī)器人性能的評價指標(biāo)[12]。基于數(shù)值法完成工作空間搜索,選擇一組參數(shù)搜索工作空間邊界,參數(shù)值分別為L=2 m、l1=0.8 m、r=1.2 m、R=1.5 m。

由圖6可知:工作空間由3個相同的扇形構(gòu)成,沿著xoy平面呈對稱分布,邊界光滑,無空洞分布情況。其三維圖沿著xoz平面以及yoz平面的投影圖形相同,都是半橢圓形。

圖6 3PRPaR機(jī)構(gòu)工作空間

5 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動靈巧性分析

靈巧度是評價并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動靈活性的性能指標(biāo),本文以雅可比矩陣條件數(shù)倒數(shù)作為靈巧度指標(biāo),來分析機(jī)構(gòu)運動過程中的靈巧性。仿真分析得到靈巧度性能圖譜如圖7所示。由圖可知:機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)的普遍不高,最大值為0.22,局部的靈巧度值為0,靈巧度分布不均勻。

圖7 運動靈巧度分布

6 并聯(lián)機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化

6.1 模型優(yōu)化的建立

為了評價機(jī)構(gòu)在整個可達(dá)工作空間內(nèi)的運動靈巧性,行業(yè)內(nèi)定義了衡量機(jī)構(gòu)運動性能的全域性能指標(biāo),也稱為全局靈巧度[13]。全域性能指標(biāo)η僅能反映工作空間內(nèi)運動性能的平均值,實際應(yīng)用過程中,還要求運動性能穩(wěn)定,不能波動太大,靈巧度在全域的分布更均勻。全域性能指標(biāo)η和全域性能波動指標(biāo)σ定義如下:

(15)

(16)

式中:w為可達(dá)工作空間體積,LCI為靈巧度。

工程應(yīng)用中期望η和w盡可能大而σ盡可能小,現(xiàn)分別以全域性能指標(biāo)F1、工作空間體積Vw和全域性能波動指標(biāo)F2作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),多目標(biāo)優(yōu)化模型具體如下:

(17)

(18)

6.2 優(yōu)化算法的選擇

多目標(biāo)優(yōu)化采用經(jīng)典的NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法,能夠得到滿足多目標(biāo)的Pareto優(yōu)化機(jī)構(gòu)參數(shù)解集,通過機(jī)構(gòu)參數(shù)解集獲取實際需求參數(shù)值[14]。

優(yōu)化曲面如圖8所示。由圖可知,全域性能指標(biāo)和工作空間體積是背離的,當(dāng)工作空間體積為5.8 m3時,全域性能指標(biāo)和對應(yīng)的全域性能波動指標(biāo)均為0;當(dāng)全域性能指標(biāo)為0.20時,工作空間體積小,全域性能波動指標(biāo)大。這表明同時獲得較小的工作空間體積和較大的全域性能指標(biāo)是不可能的,只能折中選取較為均衡的目標(biāo)值。表1選取了6組Pareto優(yōu)化參數(shù),圖9是相應(yīng)參數(shù)下的靈巧度在空間的分布。

表1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化前沿集的部分尺寸參數(shù)

圖8 Pareto前沿優(yōu)化曲面

由圖9可知,工作空間體積較小(第1組和第2組)時,其靈巧度沿y=0.2截面分為兩部分,最大靈巧度靠近y=0.5和x=0的部分;工作空間體積較大(第3組～第6組)時,靈巧度被分割為4個區(qū)域,分割界面為y=±0.4、±0.5、±0.5和±1.0,分割面上的點存在奇異性且靈巧度為0;第3組和第6組的最大靈巧度和第1、2組相同。從實際應(yīng)用出發(fā),第3組參數(shù)雖工作空間較大,但靈巧度卻很小,可不選取;第1組參數(shù)和第4、5、6組參數(shù)可以考慮使用,它們平衡了工作空間體積和靈巧度,其中第4組的全域性能波動指標(biāo)值最低,因此第4組可作為較為理想的設(shè)計參數(shù)值。

6.3 優(yōu)化后仿真驗證

選擇一組優(yōu)化后的參數(shù)對并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維建模,同時對其進(jìn)行抓取工件的動態(tài)運動仿真,圖10為機(jī)構(gòu)抓取工件過程中的不同位置。由圖可知,運動過程無跳變情況,運動平穩(wěn)。仿真結(jié)果表明,機(jī)構(gòu)的運動性能較好。

圖10 動態(tài)仿真算例

7 結(jié)束語

本文構(gòu)造了一種對稱分布的新型3PRPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu),分析了機(jī)構(gòu)的動平臺執(zhí)行末端運動特性,結(jié)果表明,機(jī)構(gòu)能夠沿著空間x、y、z方向運動,不存在轉(zhuǎn)動的情況。

基于雅可比矩陣推導(dǎo)得到正解奇異性和逆解奇異性條件,要求支鏈1、 2、3的移動副的垂直高度和動平臺避免在同一高度,且主動副避免運動到極限位置,另外結(jié)構(gòu)參數(shù)要求r+L>R。

通過NSGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化算法優(yōu)化,結(jié)果表明:工作空間體積和全域性能指標(biāo)是背離的,而全域性能指標(biāo)較大時,全域性能波動指標(biāo)也較大。