巧變式激活縱橫聯系 善拓展開啟創(chuàng)新思維

摘" 要：對高考試題進行深入探究和變式拓展，可以充分挖掘高考試題蘊含的知識內涵、思想方法和思維價值，引導學生發(fā)現由一道題到一類題的解法思路，有利于完善他們的知識結構，有效激發(fā)他們所掌握的數學思想方法的聯系，進而使他們的數學學習達到觸類旁通、融會貫通的效果. 同時，能夠深刻領會高考試題的指導思想、考查意圖、命題思路和求解路徑，實現與高考命題專家的跨越時空的對話. 以2022年新高考Ⅱ卷第16題為例，從5個角度進行了解構分析和變式拓展.

關鍵詞：高考試題；深入探究；變式拓展

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）11-0049-06

問題是數學的心臟，是數學主干知識和思想方法的重要載體. 給學生提供富有知識含量和思維含量的數學問題，引導他們深入探究和深度思考，是高考復習教學的目的所在，也是教師的重要和根本任務. 為了培養(yǎng)學生思維的深刻性、批判性和靈活性，引導學生深入挖掘高考試題的知識內涵和思維價值，感悟思想的一致性，體會思維的系統性和應用方法的普適性，在高考復習教學中，我們提倡從數與形、特殊與一般、幾何與代數等多個角度對歷年高考試題進行深度解構和變式拓展，這有利于學生進一步完善知識結構，觸發(fā)知識和思想方法的縱橫聯系，激發(fā)創(chuàng)新思維的萌發(fā)和產生.

一、試題再現

例 （2022年新高考Ⅱ卷·16）已知直線[l]與橢圓[x26+y23=1]在第一象限交于[A，B]兩點，[l]與[x]軸、[y]軸分別交于[M，N]兩點，且[MA=NB]，[MN=23]，則直線[l]的方程為" " " " " ".

解：如圖1，設[AB]的中點為[E]，連接OE.

因為[MA=NB]，

所以[ME=NE]，即[E]為[MN]的中點.

所以[OE=EM].

所以[∠EOM=∠EMO].

所以[kOE=-kAB].

設[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，

則[x126+y123=1]，[x226+y223=1].

所以[x226-x126+y223-y123=0]，

即[x2+x1x2-x16+y2+y1y2-y13=0].

所以[y2+y1y2-y1x2+x1x2-x1=-12]，

即[kOEkAB=-12].

令直線[l]的斜率[kAB=k][klt;0]，

則[-k2=-12].

解得[k=-22]或[k=22]（舍去）.

設直線[l]的方程為[y=-22x+m][mgt;0].

令[x=0]，得[y=m]；

令[y=0]，得[x=2m].

所以[M2m， 0]，[N0，" m].

所以[MN=][m2+2m2=23].

解得[m=2]或[m=-2]（舍去）.

所以直線[l]的方程為[y=-22x+2]，

即[x+2y-22=0].

【評析】該題主要考查直線與橢圓的位置關系、直角三角形的性質、兩點間的距離公式和點差法求相關截線的斜率等數學知識和方法. 同時，考查了數學運算、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)，以及數形結合、轉化與化歸等數學思想. 該題難度中等，涉及的知識、方法和思想都在課程標準的范圍內，是一道體現考教銜接要求的典型試題.

二、變式拓展

在高考復習教學中，我們既要注重用好教材上的典型例題和習題，充分挖掘其中蘊含的知識和思想方法，展示其突出的代表性和典型性，也要注重用好高考試題，善于對高考試題進行變式探究與拓展延伸，通過一題多解、一題多變、多題一解、多題同構等方式，揭示這些題目在知識內涵和解答思路等方面的內在聯系與區(qū)別，探究這些題目最本質、最簡潔、最有思維價值的解法，不斷提升學生的思維品質.

對典型例題、習題和高考試題進行變式探究和拓展延伸的方法有很多. 可以加強或弱化原題的條件或結論，可以更換題目的背景、情境或數據，可以賦予題目中的數、形相對應的意義，還可以用函數、方程、不等式或數列的觀點重新改寫條件和結論等. 方法不一，需要根據學生的知識基礎、認知層次和思維水平進行改編與拓展，使他們的思維“夠得著”，從而進一步完善他們的知識結構和思想方法結構，促進他們數學素養(yǎng)和思維能力的提升.

不難發(fā)現，例題有4個條件：① 直線[l]與橢圓[x26+][y23=1]在第一象限交于[A，B]兩點，[l]與[x]軸、[y]軸分別交于[M，N]兩點；② 橢圓方程[x26+y23=1]；③[MA=][NB]；④[MN=23]. 其中，條件[MA=NB]在于建立關系式[kOEkAB=-12]，進而求出直線[AB]的斜率[k=-22]. 在此基礎上，根據條件[MN=23]求得直線[AB]在[y]軸上的截距[m=2]. 我們可以圍繞以上4個條件進行變式拓展.

1. 借助直線與橢圓相交得到的三角形的面積進行變式拓展

一條直線與橢圓相交時有兩個交點，它們與橢圓的中心兩兩相連可以構成一個三角形. 我們可以將條件[MN=23]更換為“已知[OAB]的面積”進行變式拓展.

變式1：已知直線[l]與橢圓[C]：[x26+y23=1]在第一象限交于[A，B]兩點，[l]與[x]軸、[y]軸分別交于[M，N]兩點，若[MA=NB]，[OAB]的面積為2（[O]為坐標原點），則直線[l]的方程為" " " " " ".

解：設[Ax1，y1]，[Bx2，y2].

根據例題的解題過程，得[kAB=-22].

設直線[AB]的方程為[y=-22x+m][mgt;0].

聯立[y=-22x+m]與[x26+y23=1]，消去[y]，得

[x2-2mx+m2-3=0].

所以[Δ=2m2-4m2-3=12-2m2gt;0].

整理，得[m2lt;6].

因為[x1+x2=2m]，[x1x2=m2-3]，[0lt;x1lt;6，0lt;][x2lt;6]，

所以[3lt;m2lt;6].

所以[AB=1+k2x2-x12]

[=32x1+x22-4x1x2=322m2-4m2-3=3212-2m2.]

因為點[O]到直線[y=-22x+m]的距離為[d=]

[m1+222=23m]，

所以[SOAB=12AB×d=12×3212-2m2×23m=2].

整理，得[6-m2m2=8]，即[m4-6m2+8=0].

所以[m2=2]或[m2=4].

因為[mgt;0]，[3lt;m2lt;6]，

所以[m2=4].

解得[m=2].

所以直線[l]的方程為[y=-22x+2].

【評析】變式1是一道涉及直線[l]與橢圓[C]相交的綜合題，其基本解法涉及點差法求直線[l]的斜率、弦長公式、點到直線的距離公式、解一元二次不等式等知識，其間重點挖掘了條件①，從而得到[m]的取值范圍為[3lt;mlt;6]，這是解決直線與圓錐曲線相交問題的通性通法.

如果改造條件①②③，用其他條件給出橢圓方程，可以自然鏈接2024年新課標Ⅰ卷第16（2）題：已知點[A0， 3]和點[P3， 32]為橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1][agt;bgt;0]上兩點. 若過點[P]的直線[l]交[C]于另一點[B]，且[ABP]的面積為9，求直線[l]的方程.

這道題中有條件“直線[l]交[C]于另一點[B]”，點[B]不一定在第一象限，且[A]，[P]兩點都是橢圓[C]上的定點，分析[ABP]的面積為9的關鍵是對點[B]的位置的討論，或者對直線[AB]的斜率和方程的討論.

2. 借助橢圓上的點與中心連線相互垂直進行變式拓展

直線與橢圓相交得到的兩個點與中心的連線相互垂直，是一種重要的位置關系. 我們可以借助坐標運算對垂直關系進行數與形的轉換. 以此為背景對原題進行變式拓展，可以豐富題目的條件形式與運算內涵，培養(yǎng)數學運算、直觀想象與邏輯推理等素養(yǎng).

變式2：已知直線[l]與橢圓[C]：[x29+y23=1]交于[A，B]兩點，[l]與[x]軸、[y]軸的正半軸分別交于[M，N]兩點，若[MN=23]，[OA]⊥[OB]（[O]為坐標原點），則直線[l]的方程為" " " " " " ".

解：如圖2，設直線l的方程為[y=kx+m] （[klt;0]，[mgt;0]），[Ax1，y1]，[Bx2，y2].

令[x=0]，得[y=m]；

令[y=0]，得[x=-mk].

所以[M-mk， 0]，[N0，" m].

所以[MN=-mk2+m2=23].

整理，得[m21+1k2=12].

聯立方程[y=kx+m]與[x29+y23=1]，消去[y]，得

[1+3k2x2+6kmx+3m2-9=0].

所以[x1+x2=-6km1+3k2]，[x1x2=3m2-91+3k2].

由[Δ=6km2-41+3k23m2-9gt;0]，得[m2lt;9k2+3.]

因為[OA]⊥[OB]，

所以[OA ? OB=0]，即[x1x2+y1y2=0].

所以[x1x2+kx1+mkx2+m=0].

整理，得[1+k2x1x2+kmx1+x2+m2=0].

所以[1+k2×3m2-91+3k2+km?-6km1+3k2+m2=0].

整理、化簡，得[m2=94k2+1].

結合方程[m21+1k2=12]與[klt;0]，[mgt;0]，

解得[k1=-33，m1=3;] [k2=-3，m2=3.]

故符合條件的直線[l]有兩條，它們的方程分別為[y=-33x+3]和[y=-3x+3].

【評析】變式2改造了條件①，點[A，B]并不一定都在第一象限. 將橢圓方程更換為[x29+y23=1]，目的是方便計算；將條件[MA=NB]更換為[OA]⊥[OB]. 變式2是解析幾何問題中直線與圓錐曲線相交的常見問題，解題思路具有一般性，即將條件[OA]⊥[OB]轉化為[OA ? OB=0]，進而得到坐標運算式[x1x2+y1y2=0]；聯立直線與圓錐曲線方程得到一元二次方程，利用一元二次方程根的判別式和根與系數的關系代入求解. 解題時要注意對隱含條件“直線[l]與[x]軸、[y]軸的正半軸分別相交”“[klt;0]，[mgt;0]”“[m2lt;9k2+3]”的驗證. 以上解題過程應該盡可能避免將[OA]⊥[OB]化為[kOAkOB=-1]進行求解. 因為涉及直線時必須考慮斜率不存在的情況，需要分類討論，否則容易出現漏解.

變式2也可以給定直線[l]的方程，探討在動態(tài)變化情況下滿足[OA]⊥[OB]的橢圓方程. 例如，可以變?yōu)椋阂阎獧E圓[C]：[x26+y2b2=1][0lt;blt;6]，直線[x+y=1]與橢圓交于[A，B]兩點. 設線段[AB]的中點為[E]，[O]為坐標原點，且[OA]⊥[OB]，求橢圓[C]與直線[OE]的方程.

3. 借助交點坐標關系和直角三角形性質進行變式拓展

直線與橢圓相交時得到相交弦，此時直線與兩條坐標軸或平行、或相交、或垂直. 我們可以從這些方面變更條件、改變結論，對例題進行變式. 下面是保留條件①②④，將條件③改為[xM=xA+xB]所進行的變式拓展.

變式3：已知直線[l]與橢圓[C]：[x26+y23=1]在第一象限交于[A，B]兩點，[l]與[x]軸、[y]軸分別交于[M，N]兩點，且滿足[MN=23]，[xM=xA+xB]，則直線[l]的方程為" " " " " " .

解：如圖3，設[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，線段[AB]的中點為[E]，連接OE.

設直線[l]的方程為[y=kx+m] （[klt;0]，[mgt;0]）.

由例題的解題過程，得[kOEkAB=-12]，即[kOEk=-12].

因為點[E]為線段[AB]的中點，

所以[2xE=xA+xB].

因為[xM=xA+xB]，

所以[2xE=xM].

所以[E]是線段[MN]的中點.

所以[OE=EM].

所以[kOE=-k].

結合[kOEk=-12]，得[kOEk=-k2=-12].

由[klt;0]，得[k=-22].

因為[M-mk， 0]，[N0，" m]，

所以[MN=m2+2m2=23].

解得[m=2]或[m=-2]（舍去）.

所以直線[l]的方程為[y=-22x+2].

【評析】求解變式3時利用點E是線段AB的中點得到[2xE=xA+xB]，結合條件[xM=xA+xB]得到[2xE=xM]，進而推理得到點[E]是線段[MN]的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到[kOE=-kAB=-k]，求得直線[AB]的斜率. 也可以利用直線與橢圓相交的弦長公式，以及這條相交弦的兩個端點、直線與一個坐標軸交點的橫坐標的關系[xM=xA+xB]，得到[AN=][BM]，進而推理得到點E是線段MN的中點.

變式3給出的條件是[xM=xA+xB]. 我們也可以將條件③改造為[yN=yA+yB]等.

4. 借助線段比值取值范圍和函數單調性進行變式拓展

例題的條件①②③④都是直接給出的. 在前面，我們對條件③④進行了若干變式. 我們還可以結合函數的單調性和奇偶性，利用比例關系對條件③④進行變式拓展，實現函數與幾何的深度融合.

變式4：已知直線[l]與橢圓[x26+y23=1]在第一象限交于[A，B]兩點，[l]與[x]軸、[y]軸分別交于[M，N]兩點，且滿足[AMBM+BMAM=ANBN+BNAN]，則直線[l]的斜率為" " " " " "".

解：如圖4，設[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，線段[AB]的中點為[E]，連接OE，直線[l]的斜率為[kAB=k].

由例題的解題過程，得[kOEkAB=-12]，

即[kOEk=-12].

不妨設[AMgt;BM]，則[AMBM， BNAN∈1，+∞].

因為函數[fx=x+1x]在[1，+∞]上單調遞增，[AMBM+][BMAM=ANBN+BNAN]，

所以[AMBM=BNAN]，即[AB+BMBM=AB+ANAN].

整理，得[AN=BM].

所以點[E]為[MN]的中點，[OE=EM].

所以[kOE=-kAB=-k].

結合[kOEk=-12]，得[kOEkAB=-k2=-12].

由[klt;0]，得[k=-22].

故直線l的斜率為[-22].

【評析】求解變式4的關鍵是由函數[fx=x+1x]在[1，+∞]上單調遞增，且[AMBM， BNAN∈][1，+∞]，[AMBM+BMAM=ANBN+BNAN]，得到[AN=BM]，進而得到[kOE=-kAB=-k]. 借助函數的單調性，將幾何線段的比例關系轉化得到[AMBM=BNAN]，有機融合了幾何線段的比值范圍與函數單調性等相關知識和方法，是數學知識和方法的綜合應用.

5. 借助橢圓系、坐標軸平移和動態(tài)思維進行變式拓展

培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力，需要構建各種動態(tài)變化的場景或情境，讓學生在分析圖形存在的不變性和恒定性質，揭示圖形之間、數形之間的聯系，將基本方法、基本技能應用于新情境、新問題的解決過程中，開啟想象力，創(chuàng)造不同于慣常的思考問題的機會，激發(fā)他們的內在潛能和意識.

常見的橢圓方程是中心在坐標原點的標準方程. 方程[x26+y2b2=1][0lt;blt;6]表示短軸為動態(tài)變化的橢圓；方程[x26+y2b2=1][bgt;6]表示長軸為動態(tài)變化的橢圓. 橢圓的中心是否也動態(tài)變化呢？

變式5：已知圓錐曲線[C：x2+2y2-2kx-8ky+9k2-]

[6=0]（[k]為參數），若存在直線[l]，使得這條直線被圓錐曲線C所截得的線段長都等于[5]，則直線[l]的方程為" " " " " " .

解：將圓錐曲線[C：x2+2y2-2kx-8ky+9k2-6=0]（[k]為參數）配方，得[x-k26+y-2k23=1].

所以圓錐曲線C是橢圓，它的中心[G]的坐標為[k，2k]. 隨著[k]取值的不同，方程[C]表示一系列不同的橢圓（橢圓系）. 點[G]是直線[y=2x]上的動點；這一系列橢圓的半長軸和半短軸的長分別為[6]，[3].

先考慮最特殊的情況，即直線[y=2x]與橢圓[x26+y23=1]相交，截得的線段長[L0=1+22x2-x1=5×]

[263gt;5]，所以一定存在直線[l]與[y=2x]平行且被這個橢圓系中每一個橢圓截得的線段長都為[5].

設所求直線[l]的方程為[y=2x+m]，它被這些橢圓系中每一個橢圓截得的線段長都等于[5]，

則直線[y=2x+m]被橢圓[x26+y23=1]所截得線段長也等于[5].

設這條線段的兩個端點分別為[Ax1，y1，Bx2，y2.]

聯立方程[x26+y23=1]和[y=2x+m]，消去y，得

[9x2+8mx+][2m2-6=0].

所以[x1+x2=-8m9]，[x1x2=2m2-69].

由[Δ=8m2-362m2-6=216-8m2gt;0]，得

[-33lt;mlt;33].

由[AB=1+22x1+x22-4x1x2=5]，得

[-8m92-4×2m2-69=1].

解得[m=±3304].

因為[3304lt;33]，

所以所求直線[l]有兩條，它們的方程分別為[y=2x-3304]，[y=2x+3304].

從以上求解過程我們還發(fā)現，一定還存在不與[y=2x]平行的直線[lm]，它被橢圓[x26+y23=1]截得的線段長也等于[5]，但由于不能保證這條直線[lm]與這個橢圓系中所有橢圓都相交，因此只需要考慮與直線[y=2x]平行的情況.

【評析】變式5考查了動態(tài)與靜態(tài)、特殊與一般相互轉換的創(chuàng)新思維方式、方法和能力. 情境雖然涉及動態(tài)橢圓系與坐標軸平移等內容，但基礎知識、基本方法和數學思想仍然在課程標準設定的范圍內，解題過程主要是圍繞特殊化思想、橢圓的標準方程、直線與橢圓相交、弦長公式，以及動點、動直線與定直線的關系等方法和內容，是檢驗學生創(chuàng)新思維能力的一道好題.

變式5還可以從改變動態(tài)橢圓的中心軌跡、長軸長與短軸長、直線被這些橢圓所截得的線段長等方面進行再次拓展. 總之，可以通過進一步拓展激發(fā)學生思維的廣闊性、深刻性和靈活性.

三、思考建議

在現實世界中，變化是永恒的，不變是相對的. 作為思維學科的數學，讓學生對經典例題和習題進行變式拓展、深入探究，是日常教學尤其是章節(jié)小結課中應該特別重視的. 我們反對機械訓練、題海戰(zhàn)術，目的就是防止固化學生的思維，防止學生總是處于簡單重復或模仿練習的過程中，防止弱化他們新穎、靈動、奇異的思維方式、思維激情和思維能力.

變式拓展不僅能夠引導學生及時完善知識結構，深入理解知識的縱橫聯系，有效激活他們經歷和體驗的數學思想方法聯線成網、靈活應用，而且有助于學生養(yǎng)成善于反思、敢于質疑、注重變式等不斷深化理解的思維習慣和學習習慣，有助于學生學會學習、學會思考，增強他們的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維能力.

對典型例題和習題的變式拓展，無論是對原題條件與結論的改造，還是對原題背景或情境的重構，抑或數與形、特殊與一般等方面的對應、對稱變化，都要著眼于學生的知識基礎和認知能力，著眼于原題與拓展題之間的邏輯聯系，著眼于學生的獨立思考與深入探究，著眼于學生思維能力的培養(yǎng)與激發(fā)，堅決不能為變式而變式、為拓展而拓展；不能牽強附會、低層低效，導致變式或拓展缺乏應有的知識含量和思維含量. 這些都需要教師在備課時予以深入分析、深度思考、深刻解構，編制好富有知識量和思維量的教學方案，切實提升課堂教學內容的思維層次和教學效益.

原教育部考試中心劉芃在文獻［1］中指出：“與其大量做題，不如抽出時間認真研究往年的試題……往年的高考試題是精雕細磨的產物，它反映了對考試內容的深思熟慮、對設問和答案的準確拿捏、對學生水平的客觀判斷. 研究這些試題，就如同和高考試題的制作者對話.”正因為如此，在進行高考數學復習教學時，我們提倡加強對高考試題的研究和解構，充分挖掘試題內涵，盡力進行具有一定思維深度的變式拓展，力求吃透高考試題的設計意圖、考查目標、編制方法，從命題者的角度審視試題，從而實現由一道題串起一類題，進而達成以少勝多、觸類旁通、舉一反三的教學效果.

章建躍博士歷來主張課堂教學要設計好“問題串”. 在文獻［3］中，他給出了“問題串”設計的具體要求，即“問題串”應該是“整節(jié)課的教學主線，所提出的問題應當注意適切性，對學生理解數學概念、形成基本技能和領悟基本思想有真正的啟發(fā)作用，達到‘跳一跳摘果子’的效果．”而高考復習課注重對高考試題進行深入解構和變式拓展，恰好契合了“問題串”（題組）設計的教學主張，有利于引導學生進一步完善知識結構和思想方法脈絡，有利于激發(fā)和開啟他們的創(chuàng)新思維.

參考文獻：

［1］劉芃. 劉芃考試文集［M］. 北京：人民教育出版社，2012.

［2］徐樸. 基于素養(yǎng)導向的新高考復習創(chuàng)新教學實踐：讓學生由“做題者”向“命題者”轉變［J］. 中學數學教學，2024（1）：1-5.

［3］章建躍.《普通高中教科書·數學（人教A版）》“單元—課時教學設計”體例與要求［J］. 中學數學教學參考（上旬），2019（8）：14-16.

引用格式：張永超. 巧變式激活縱橫聯系" 善拓展開啟創(chuàng)新思維：一道高考解析幾何試題的解構分析與變式拓展［J］. 中國數學教育（高中版），2024（11）：49-54.

作者簡介：張永超（1963— ），男，正高級教師，安徽省特級教師，主要從事中學數學課程、教學和評價研究.