一道有關ω最值試題研究的心路歷程

摘" 要：通過呈現解一道高考試題的心路歷程，探究函數[y=Asinωx+φ]的零點、對稱軸和單調性等性質與參數ω的內在聯系.

關鍵詞：參數；三角函數；高考試題

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）11-0060-05

已知函數[y=Asinωx+φ]的性質求參數ω的最值或范圍是高考中的熱點問題，常常是已知函數圖象或者某些條件研究參數ω的取值（范圍）的問題. 例如，2016年高考數學全國Ⅰ卷理科第12題. 該題常見于高三復習用書，但是呈現的解法基本都是“代入或逐項驗證”. 顯然，這沒有達成對問題的理解. 下面呈現筆者對此題的研究過程，以饗讀者.

一、題目與解

題目" 已知函數[fx=sinωx+φωgt;0， φ≤π2]，[x=-π4]為[fx]的零點，[x=π4]為[y=fx]圖象的對稱軸，且[fx]在[π18， 5π36]上單調，則ω的最大值為（" " ）.

（A）11" " （B）9" " （C）7" " （D）5

解法1：記函數[fx]的最小正周期為T（下同），則[T=2πω].

因為[x=-π4]為[fx]的零點，[x=π4]為[y=fx]圖象的對稱軸，

所以[π4--π4=T4+nT2]（n ∈ N），①

即[2n+14 ? 2πω=π2].

解得ω = 2n + 1（n ∈ N）.

因為[fx]在[π18， 5π36]上單調，

所以[5π36-π18≤T2=πω]. ②

由②，得ω ≤ 12.

當ω = 11時，由[x=-π4]為[fx]的零點，得

[-11π4+φ=kπ]（k ∈ Z）.

由[φ≤π2]，得[φ=-π4]，此時[fx= sin11x-π4].

當[x∈π18， 5π36]時，[11x-π4∈13π36， 23π18]，不滿足[fx]在[π18， 5π36]上單調.

當ω = 9時，[-9π4+φ=kπ]（k ∈ Z），

所以[φ=π4]，此時[fx= sin9x+π4].

當[x∈π18， 5π36]時，[9x+π4∈3π4， 3π2]，

則[fx]在[π18， 5π36]上單調遞減，符合題意.

故答案選B.

解法1是許多教輔中給出的解法. 利用零點與極值點（對稱軸）間隔[2n+14]個周期的倍數，得到[ω=2n+1]，即ω是奇數，而命題人給的選項“11，9，7，5”都是奇數！根據單調區間長度小于等于半個周期，得到ω ≤ 12，而命題人給的選項“11，9，7，5”都小于12！

費了好大的力氣，對選出正確答案幾乎沒用，最后還是靠逐項驗證得到答案. 是被命題人耍了？還是有什么隱含條件沒有弄清？

二、反思過程，修正解法

分析發現，解法1中“[fx]在[π18， 5π36]上單調”與“[5π36-π18≤T2]”不是等價轉化的. 同樣地，將“[x=-π4]為[fx]的零點，[x=π4]為[y=fx]圖象的對稱軸”轉化為“[π4--π4=T4+nT2]”也不是等價轉化. 因為若“[x=π4]為[fx]的零點，[x=-π4]為[y=fx]圖象的對稱軸”也能得到“[π4--π4=T4+nT2]”. 修正解法1：由于“[x=-π4]為[fx]的零點，[x=π4]為[y=fx]圖象的對稱軸”的另一種數學表達是“[f-π4=0]，[fπ4=1]或[fπ4=-1]”. 于是得到解法2.

解法2：因為[x=-π4]為[fx]的零點，

所以[ω-π4+φ=mπ]（m ∈ Z）. ③

因為[x=π4]為[y=fx]圖象的對稱軸，

所以[ω×π4+φ=nπ+π2]（n ∈ Z）. ④

由③④，得[ω=2n-m+1，φ=2n+m+14π.] ⑤

因為[φ≤π2]，所以m + n = 0或m + n = -1.

當m + n = 0時，ω = 4n + 1，φ =[π4].

由[fx]在[π18， 5π36]上單調，得[πω≥5π36-π18]，

即ω ≤ 12.

要求ω最大，根據選項可取n = 2，得ω = 9.

[fx=sin9x+π4]符合題意.

當m + n = -1時，φ =[-π4]，ω = 4n + 3.

取n = 2，得ω = 11，[fx=sin11x-π4].

當[x∈π18， 5π36]時，[11x-π4∈13π36， 23π18]，此時[fx]不單調，不符合題意.

故答案選B.

【評析】解法2中的式子⑤蘊含著一個顯然而重要的結論，即已知圖象上兩個確定的點（零點、極值點），就能得到兩個方程（方程③④），從而得到ω的表達式ω = 2n + 1（n ∈ N），即給定函數的零點、極值點（對稱軸），就能建立ω的函數關系[ω=fk，k∈Z，φ=gk，k∈Z.]

三、再反思，優化解法

進一步思考，題目中的三個條件“[x=-π4]為[fx]的零點，[x=π4]為[y=fx]圖象的對稱軸，且[fx]在[π18， 5π36]上單調”展示了函數的零點、對稱軸與單調性三條性質. 從函數圖象的角度來看，“極值點不在單調區間內”是一個有用的結論.

由于[x=π4]時，[fx]可能取極大值也可能取極小值，區間[π18， 5π36]可能是單調增區間也可能是單調減區間，而且[x=π4]不一定是與區間[π18， 5π36]相鄰的極值點. 因此，可能的示意圖有4種，如圖1所示.

以圖1（a）為例，我們的想法是用已知的對稱軸[x=π4]表示對稱軸x1和x2. 由于兩條相鄰的對稱軸之間相差k（k ∈ Z），所以[x1=π4-kπω]，[x2=π4-k+1πω].于是得到解法3.

解法3：因為極值點不在單調區間內，

所以[x=π4+kπω][?][π18， 5π36]，

即[π4-k+1πω≤π18，π4-kπω≥5π36.] ⑥

解得9k ≤ ω ≤[367k+1].

由9k ≤[367k+1]，解得k ≤[43].

因為k ∈ Z，所以取k = 1，此時9 ≤ ω ≤[727].

由解法1，知ω = 2n + 1（n ∈ N），所以取ω = 9.

當ω = 9時，[fx=sin9x+π4]，圖象如圖2所示，顯然符合條件. 故答案選B.

四、拓展研究

問題：在條件不變的情況下，求所有滿足題意的ω的值.

在解法3中，求出k ≤[43].

若取k = 0，則0 ≤ ω ≤[367].

由ω = 2n + 1（n ∈ N），得ω = 1或ω = 3或ω = 5.

當ω = 1時，[fx=sinx+π4]，圖象如圖3所示，顯然符合條件.

當ω = 3時，[fx=sin3x-π4]，圖象如圖4所示，顯然符合條件.

當ω = 5時，[fx=sin5x+π4]，圖象如圖5所示，顯然符合條件.

五、新的問題

在解法3中，根據函數y = sin x的圖象，利用“極值點在單調區間外”使問題得以解決. 于是，一個自然的想法是：類似地，利用“零點在單調區間內”是否也可以解決此題呢？

解法4：因為[x=-π4]為[fx]的零點，

所以[x=-π4+kπω]也為[fx]的零點.

因為零點在單調區間內，

所以[x=-π4+kπω∈π18， 5π36]，

即[-π4+kπω≥π18，-π4+kπω≤5π36.] ⑦

由⑦，得[18k7]≤ ω ≤[36k11]，且k ≥ 0.

要想得到正確結果，還是需要逐項檢驗！那么，問題出在哪里？分析發現，函數[fx]的零點在區間[π18， 5π36]內，與題中“[fx]在[π18， 5π36]上單調”并不是充要條件，如圖6所示.

[fx]在區間[π18， 5π36]上有零點，但[fx]在區間[π18， 5π36]上不單調，即“[fx]在區間[π18， 5π36]上有零點”是“[fx]在[π18， 5π36]上單調”的必要條件.

六、問題的關鍵

進一步反思，該題的條件“[fx]在區間[π18， 5π36]上單調”并不表示函數[fx]的單調區間是[π18， 5π36]. 只能說，區間[π18， 5π36]是函數[fx]的一個單調區間的子區間（子集）.

解法3實際上是通過對稱軸將函數[fx]的單調區間表示出來，所以要想修正解法4，也需要通過零點將[fx]的單調區間表示出來. 根據零點和極值點的關系，即零點平移四分之一個周期的奇數倍得到極值點，可以得到以下解法.

解法5：因為[x=-π4]為[fx]的零點，

所以[fx]的單調區間為[-π4+2k+1T4，-π4+2k+3T4，]

即[-π4+2k+1π2ω，-π4+2k+3π2ω].

所以[π18， 5π36?-π4+2k+1π2ω，-π4+2k+3π2ω]，

即[-π4+2k+1π2ω≤π18，-π4+2k+3π2ω≥5π36.] ⑨

解得[182k+111]≤ ω ≤[92k+37].

由[182k+111]≤[92k+37]，得k ≤[196].

因為k ∈ Z，所以k ≤ 3.

要求[ω]最大，取k = 3，得[12611]≤ ω ≤[817]，無滿足題意的ω；

取k = 2，得[9011]≤ ω ≤ 9，此時可取ω = 9.

故答案選B.

【評析】無論是解法3還是解法5，本質都是用極值點（對稱軸）將單調區間表示出來. 因為極值點（對稱軸）是單調區間的端點，這是問題的關鍵所在. 至此，我們可以得到解這類問題的一般思路與步驟：給定函數的零點、極值點（對稱軸），就能建立ω的函數關系，即[ω=fk，k∈Z，φ=gk，k∈Z;] 給定函數在某區間內的單調性，就能界定ω的范圍，相當于變相給出了函數的定義域；求ω的范圍相當于求函數的值域.

七、更一般的結論

解法4與解法5的關鍵是用函數的極值點與零點表示其單調區間. 更一般地，有以下結論.

結論1：若x = x0是函數[fx=Asinωx+φ]（ω gt; 0）的極值點（對稱軸），則函數[fx]的單調區間是[x0+kT2，x0+k+1T2]，即[x0+kπω，x0+k+1πω].

特殊地，當x = x0是極大值點時，函數[fx]的單調遞增區間是[x0+2k+1πω，x0+2k+2πω]，單調遞減區間是[x0+2kπω，x0+2k+1πω]；當x = x0是極小值點時，函數[fx]的單調遞增區間是[x0+2kπω，x0+2k+1πω]，單調遞減區間是[x0+2k+1πω，x0+2k+2πω].

結論2：如果x = x0是函數[fx=Asinωx+φ]（ω gt; 0）的一個零點，那么函數[fx]的單調區間是[x0+2k+1T4，x0+2k+3T4]，即[x0+2k+1π2ω，x0+2k+3π2ω].

八、更多應用

作為應用，讀者可以嘗試用上述方法求解下面兩道題目.

（2014年北京卷·理14）設函數[fx=sinωx+φ]，ω gt; 0，φ gt; 0，若[fx]在區間 [π6， π2]上具有單調性，且[fπ2=f2π3=-fπ6]，則[fx]的最小正周期為________.

（2023年四省聯考·18）已知函數[fx=sinωx+φ]在區間[π6， π2]上單調，其中ω為正整數，[φ≤π2，]且[fπ2=f2π3].

（1）求[y=fx]圖象的一條對稱軸；

（2）若[fπ6=32]，求φ.

九、結束語

對該題解法的探究可謂一波三折. 尋求零點、對稱軸與單調區間的聯系，看似是一個常規問題，實際上要真正達成對數學的理解并不是一件容易的事. 有邏輯地思考問題的方式、批判與質疑的精神缺一不可. 這或許正是數學的育人價值所在.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］朱成萬，王紅權. 至精至簡的高中數學思想與方法：30講破解高考反復考查內容（第六版）［M］. 杭州：浙江大學出版社，2023.

引用格式：朱成萬，王紅權，朱婷慧. 一道有關[ω]最值試題研究的心路歷程［J］. 中國數學教育（高中版），2024（11）：60-64.

作者簡介：朱成萬（1973— ），男，正高級教師，主要從事中學數學教學研究；

王紅權（1970— ），男，高級教師，浙江省特級教師，主要從事中學數學教學研究；

朱婷慧（1998— ），女，二級教師，主要從事中學數學教學研究.