基于立方Farrow 結(jié)構(gòu)的插值細搜頻偏估計算法

陸俊宇， 李 鈺

（華東理工大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院, 上海 200237）

高斯最小頻移鍵控（GMSK）是調(diào)制指數(shù)為1/2 和頻率脈沖為高斯脈沖的連續(xù)相位調(diào)制（Continuous Phase Modulation，CPM）信號，具有包絡(luò)恒定、相位連續(xù)的特性，適用于功率和頻帶資源有限的通信場景[1-3]。GMSK 信號相干解調(diào)的前提是要求接收機能夠產(chǎn)生和接收信號同頻、同相的載波，但在許多具有高動態(tài)相對運動的通信環(huán)境中，如衛(wèi)星、飛機、列車等，由相對運動引起的多普勒頻移將會在接收機下變頻所得的基帶信號中引入殘留載波頻偏，致使基帶信號的相位軌跡發(fā)生偏離，最終造成解調(diào)誤碼[4-5]。因此，精確的載波同步是解調(diào)前的重要一環(huán)。載波同步的目的是從接收信號中提取載波參數(shù)，之后根據(jù)提取的參數(shù)值對接收信號進行修正。載波參數(shù)的捕獲算法主要分為閉環(huán)和開環(huán)兩種。閉環(huán)算法一般基于鎖相環(huán)（PLL）結(jié)構(gòu)，具有較高的跟蹤精度，缺點是捕獲速率慢、收斂時間長，不適合突發(fā)信號載波參數(shù)的捕獲。開環(huán)載波參數(shù)捕獲算法不需要反饋誤差信息，可直接根據(jù)接收信號的特征來提取載波參數(shù)。開環(huán)算法又分為數(shù)據(jù)輔助（Data-Aided，DA）[6-7]和非數(shù)據(jù)輔助（Non-Data-Aided，NDA）[8-9]。DA 開環(huán)算法采用了添加前導(dǎo)序列的方法來估計載波參數(shù)，具有捕獲精度高、抗噪性能好的優(yōu)點，但缺點是添加的前導(dǎo)序列需要占用額外的帶寬；NDA 開環(huán)算法不需要添加先驗信息，能保持較高的頻譜利用率，但是在低信噪比下的載波參數(shù)捕獲精度較低。

本文在短時突發(fā)通信[10]的應(yīng)用背景下，采用了DA 開環(huán)載波參數(shù)提取算法，引用了文獻[11]提出的最優(yōu)前導(dǎo)序列結(jié)構(gòu)和克拉美羅界（CRB），在H&P（Hosseini & Perrins）算法[12]的基礎(chǔ)上，通過對快速傅里葉變換（FFT）所得頻譜進行一維搜索來估計載波頻偏值。受限于柵欄效應(yīng)，僅通過FFT 后直接掃頻的方法只能估計整數(shù)倍頻偏，存在較大的估計誤差[13-14]。為了進一步提高頻偏估計的精度，本文提出了一種基于Farrow 結(jié)構(gòu)的立方插值細搜索算法。在FFT 有限補零的條件下，通過粗搜索確定細搜索范圍，使用立方Farrow 插值結(jié)構(gòu)計算細搜范圍內(nèi)的小數(shù)倍頻點的插值譜線，以逼近真實的頻偏譜線。通過仿真驗證，本文所提出的基于Farrow 結(jié)構(gòu)的立方插值細搜算法能在H&P 算法的基礎(chǔ)上進一步提高載波頻偏的估計精度，具有良好的估計性能和工程應(yīng)用價值。

1 頻偏估計的實現(xiàn)框架

頻偏估計的實現(xiàn)框架如圖1 所示。框架主要由H&P 算法和插值細搜（IDS）算法構(gòu)成，其基本的設(shè)計思路是在H&P 算法的基礎(chǔ)上引入本文提出的插值細搜算法以獲得更高精度的載波頻偏估計值。在H&P 算法部分，將含有前導(dǎo)序列部分的基帶數(shù)字信號輸入預(yù)處理模塊（Pre），得到2 路預(yù)處理的輸出信號并分別送入2 個FFT 模塊，計算這2 路預(yù)處理信號的頻譜序列，依次取模（Abs）、相加得到2 路預(yù)處理信號的幅度譜序列。之后將該幅度譜序列進行分流，一路送入IDS 算法部分，另一路送入H&P 算法部分的Max 模塊進行掃頻找到粗搜索的最高譜線。在IDS 算法部分，插值模塊根據(jù)輸入幅度譜序列確定細搜區(qū)域，然后在細搜區(qū)域內(nèi)進行固定倍數(shù)的插值，再經(jīng)由Max 模塊掃頻得到最高插值譜線，最后將粗搜索最高譜線和插值最高譜線進行比較，選最高譜線所對應(yīng)的頻點作為載波頻偏的估計值。

圖1 頻偏估計的實現(xiàn)框架Fig.1 Implementation framework of frequency offset estimation

2 H&P 算法的基本原理

H&P 算法是面向短時突發(fā)通信場景提出的載波頻偏、載波相偏、定時偏差聯(lián)合同步算法，由于信號的持續(xù)時間較短，在接收機已經(jīng)知道基帶信號中前導(dǎo)序列位置的條件下，可以假設(shè)在前導(dǎo)序列持續(xù)時間內(nèi)接收基帶信號所攜帶的載波頻偏為固定常數(shù)[15]。在加性高斯白噪聲（Additive White Gaussian Noise，AWGN）信道條件下，GMSK 接收信號經(jīng)過下變頻后的復(fù)基帶接收信號[16]可以表示為

式中Es為碼元能量；T為碼元周期；w(t) 為復(fù)基帶高斯白噪；誤差參數(shù)有載波頻偏fd、載波相偏 θ 、定時偏差 ε ； φ 為攜帶碼元信息的信號相位，其表達式為

其中，調(diào)制指數(shù)h=1/2 ；前導(dǎo)序列 α={αk} ，k=0,1,···,L0?1，L0為序列的碼元個數(shù)。最優(yōu)前導(dǎo)序列的結(jié)構(gòu)如圖2 所示，序列主要分為3 段，前L0/4個碼元和后L0/4的碼元取值為?1，中L0間/2個碼元取值為1。q(t)為相位響應(yīng)，是頻率脈g沖(t)的積分形式，即

圖2 最優(yōu)前導(dǎo)序列結(jié)構(gòu)Fig.2 Optimal leading sequence structure

式中，L為關(guān)聯(lián)長度；Bb為3 分貝（Decibel，dB）帶寬。

隨即，接收機可通過對前導(dǎo)序列持續(xù)時間內(nèi)的基帶信號r(t;α) 進行傅里葉變換，掃描整個頻譜找到最高譜線，并以最高譜線所對應(yīng)的頻點作為載波頻偏的估計值。最后，將頻偏估計值代入相應(yīng)的閉合表達式，依次求出定時偏差、載波相偏。H&P 算法的載波頻偏、定時偏差、載波相偏的估計式依次為

其中，

式中T0表示前導(dǎo)序列的持續(xù)時間。

因為定時偏差和載波相偏是通過將載波頻偏估計值分別代入它們的閉合表達式求取的，其估計精度同樣受到載波頻偏估計精度的影響，所以本文的關(guān)注重點在于如何在數(shù)字接收機系統(tǒng)中進一步提高載波頻偏的估計精度。在數(shù)字接收機系統(tǒng)中，GMSK 接收信號需要經(jīng)下變頻、模數(shù)轉(zhuǎn)換后變?yōu)閿?shù)字基帶信號序列r(n;α) 。式（9）和（10）為連續(xù)傅里葉變換的形式，與之對應(yīng)的是數(shù)字信號的離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT），在變換之前可先對數(shù)字序列拆分后進行補零處理，DFT 的輸入信號為

其中，N為每個碼元的樣本點數(shù)，P為補零倍數(shù)，表示補零后的序列長度為之前的P倍，則序列r1(n;α)和r2(n;α) 的DFT 形式寫作

實際上可以使用更高效的FFT 來實現(xiàn)DFT 的計算。取 λ1(k) 與 λ2(k) 的模并相加得離散譜線

式中，譜線相鄰頻點間隔 Δf=fs/(PNL0)，fs為采樣頻率。記最高譜線的頻率索引為km，則歸一化頻偏估計值為vd=kmΔf/fs。

3 基于立方Farrow 結(jié)構(gòu)的插值細搜算法

3.1 細搜算法的基本原理

圖3 為細搜算法的流程圖，算法的工作流程為：

圖3 細搜算法的流程Fig.3 Flow chart of the detailed search algorithm

(1) 系統(tǒng)對補零后的序列r1(n;α) 與r2(n;α) 進行FFT，然后分別取模，相加得到粗搜索譜線X(k) ；

(2) 對譜線進行第一次的掃頻，即粗搜索，找到最高譜線及其兩側(cè)的次高譜線，記最高譜線的頻率索引為km，次高譜線的索引為km?1 、km+1 ；

(3) 以次高譜線之間的頻率范圍作為細搜索范圍，分別在索引區(qū)間 [km?1,km] 和 [km,km+1] 進行一定倍數(shù)的插值，由此在2 個離散整數(shù)頻點之間得到小數(shù)倍頻點的插值譜線；

(4) 在插值譜線中搜索最高譜線，即細搜索，并比較最高插值譜線和譜線X(km) 之間的大小，在兩者中取幅值最大譜線所對應(yīng)的頻點作為頻偏估計值。

3.2 立方插值濾波器的Farrow 結(jié)構(gòu)

Farrow 結(jié)構(gòu)是多項式插值算法的數(shù)字化實現(xiàn)，有助于插值算法的工程應(yīng)用[17]。插值濾波器可實現(xiàn)小數(shù)倍插值，其基本原理可概括為先將數(shù)字信號重構(gòu)為模擬信號，然后重采樣。文獻[18]給出了重采樣后的插值公式，根據(jù)插值細搜算法的設(shè)計要求將公式重新表達為

式中，Ti表示插值間隔；j=0,···,I?1，I為插值倍數(shù)；kb表示插值基點； μb,j表示以kb為起始點的第j個小數(shù)間隔，即 μb,j=jΔμ ，小數(shù)間隔 Δμ∈(0,1) ；Ts表示采樣周期；i為濾波器索引，取值為I1到I2之間的整數(shù)，其取值范圍決定了計算插值所需的輸入樣本數(shù)為I2?I1+1 ；h(t) 為插值濾波器的有限階脈沖響應(yīng)，可采用關(guān)于 μb,j的多項式逼近[19]，即

其中，M為濾波器抽頭數(shù)，bl(i) 是獨立于 μb,j的加權(quán)系數(shù)。將式（17）等號右側(cè)表示為插值多項式的拉格朗日形式，有

插值計算公式可重寫為

對于4 點立方插值濾波器[18]，設(shè)置I1= ?M/2 ，I2=M/2?1，M取=4代入式（18）得三次多項式方程組

將式（20）代入（19）得立方插值計算表達式

由此繪制出立方插值的Farrow 結(jié)構(gòu)，如圖4 所示。關(guān)于 μb,j的小數(shù)倍插值的計算復(fù)雜度，主要體現(xiàn)在延時次數(shù)、縮放因子數(shù)、加法次數(shù)、乘法次數(shù)這4 個方面。立方插值的Farrow 結(jié)構(gòu)共有4 列，每列計算是并行執(zhí)行的，前3 列計算需要延時3 個Ts，第4 列延時2 個Ts后等待前面幾列計算完成。小數(shù)間隔μb,j首先需要等待3 個Ts后才能和第1 列的計算結(jié)果相乘，之后 μb,j還需要再做2 次乘法和3 次加法，共6 次計算，后級計算需要等待前級計算輸出結(jié)果后才能執(zhí)行，等待的時間為Ts，故計算完1 次 μb,j的小數(shù)倍插值需要的延時數(shù)為8。立方插值Farrow 結(jié)構(gòu)的每列都相當于1 個FIR 濾波器，并且它們擁有公共的抽頭系數(shù)1/6、1/3、1/2，因此縮放因子數(shù)為3，它們可存入查找表中待需要時再提取，不用重新計算。此外，通過直接觀察Farrow 結(jié)構(gòu)圖，可知完成1 次插值需要的加法次數(shù)為11，乘法次數(shù)為3。總之，計算1 次關(guān)于 μb,j的小數(shù)倍插值需要8 次延時、3 類縮放因子、11 次加法、3 次乘法，計算復(fù)雜度低，易于工程實現(xiàn)。

圖4 立方插值的Farrow 結(jié)構(gòu)Fig.4 Farrow structure for cubic interpolation

3.3 小數(shù)倍頻插值的基本原理

小數(shù)倍頻插值如圖5 所示，根據(jù)立方插值的Farrow 結(jié)構(gòu)，插值計算的所需樣點集為{X(kb?1) ，X(kb)，X(，kb+}1)，X(kb所+2)以可將索引j從零開始依次加一遞增，取個I?1μb,j，采用立方Farrow 結(jié)構(gòu)依次計算2 個離散頻點kb和kb+1之間的小數(shù)倍頻點的插值譜線。結(jié)合插值細搜示意圖（圖6），進一步給出基于立方Farrow 結(jié)構(gòu)的IDS 算法實現(xiàn)小數(shù)倍頻插值并估計載波頻偏的具體步驟：

圖5 小數(shù)倍頻插值示意圖Fig.5 Schematic diagram of decimal frequency interpolation

圖6 插值細搜示意圖Fig.6 Schematic diagram of interpolation detailed search

(1) 對FFT 所得譜線X(k) 進行第1 次掃頻，通過初步的粗搜索，找到最高譜線X(km) 以及兩側(cè)的次高譜線X(km?1)和X(km+1) 。

(2) 以次高譜線的頻率索引km?1 作為第1 個插值基頻點，則k=km?1 ，可以取b=1，將第1 個插值基點記為k，其小數(shù)間隔表示為 μ1,j。對于立方Farrow 插值，取離散值X(k1?1)、X(k1)、X(k1+1) 、X(k1+2)，在索引區(qū)間k1[?1，k1]依次計I?算1個小數(shù)倍頻率索引，k1+，μ1,1，k1+·μ1,2·k1+·μ1,3，k1+μ1,I?1處的y(k1插+μ1,1)值y(k1+μ，1,2)y(k，1+μ1,3)，...，。

(3) 以最高譜線的頻率索引km作為第2 個插值基頻點，則k=km，可以取b=2 ，并將第2 個插值基點記為k2，其小數(shù)間隔表示為u2,j。取離散值X(k2?1) ，X(k2)，X(，k2+，1)在X(k2索+2)引區(qū)間[k2k，2+1]之間依次計算個I?1小數(shù)倍頻率索k2+引μ2,1、k2+μ2,2，k2，+μ2,3··k2+·μ2,I?，1處的y插(k2+值μ2,1)，y(k2+μ2,2)，y(k，2+μ2·,3)·y(k·2+μ，2,I?1)。

(4) 留下區(qū)域[k1+μ1,1，···，k1+μ1,I?1，k2+μ2,1，···，k2+μ2,I?1]作為細搜區(qū)間，然后進行第2 次掃頻，通過細搜索確定最高插值譜線。細搜的結(jié)果存在2 種情況：若插值y(kb+μb,j) 大于X(km) ，則留下kb+μb,j作為頻偏估計的索引，頻偏的估計值為(kb+μb,j)Δf；若X大(km于)任何一個插值，則留下km作為頻偏估計的索引，頻偏估計值為kmΔf。

4 算法的仿真驗證

使用Matlab 仿真工具驗證本文提出的基于立方Farrow 結(jié)構(gòu)的IDS 算法，仿真的參數(shù)設(shè)置如表1所示。仿真給出了采用了分段拋物線Farrow 結(jié)構(gòu)[18]、立方Farrow 結(jié)構(gòu)的IDS 算法的頻偏估計均方差曲線；同時，還和文獻[12]中使用的高斯插值算法進行了對比，分析它們之間的頻偏估計性能；然后，分析了基于立方Farrow 結(jié)構(gòu)的IDS 算法的插值倍數(shù)I和頻偏估計精度之間的關(guān)系；最后，通過觀察頻偏修正后的星座圖的相位分布進一步驗證基于立方Farrow結(jié)構(gòu)的IDS 算法的效果。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置Table 1 Simulation parameter setting

不同插值方法和不同補零倍數(shù)對載波頻偏估計精度的影響如圖7 所示。在無差值條件下的補零倍數(shù)（P）依次設(shè)置為1、2、4。通過觀察發(fā)現(xiàn)，增大補零倍數(shù)有助于提高頻偏的估計精度，但是僅通過補零的方式只能給估計精度帶來較少的信噪比增益。在P=4 的條件下引入IDS 算法，I=32 ：采用了分段拋物線 IDS 算法后，頻偏估計精度獲得了明顯的信噪比增益，均方差曲線隨信噪比的增大而下降，但是下降幅度卻逐漸減小，9 dB 后趨于平穩(wěn)；不同于分段拋物線插值算法，立方IDS 算法表現(xiàn)出了逼近CRB 的頻偏估計性能，相比高斯插值算法，頻偏估計性能僅損失約0.7 dB 的增益。

圖7 補零和插值對頻偏估計精度的影響Fig.7 Effect of zero padding and interpolation on the accuracy of frequency offset estimation

圖8 給出了基于立方Farrow 結(jié)構(gòu)的IDS 算法在不同插值倍數(shù)下的頻偏估計均方差，P=4，I由小到大依次取2、4、8、16、32。如圖8 所示，頻偏估計精度隨插值倍數(shù)的增大而增大，頻偏估計精度在插值倍數(shù)2 到4 之間有顯著提升，此后增大插值倍數(shù)對于頻偏估計精度的提升作用越來越小，16 倍插值之后的提升開始接近極限。表2 示出了16 倍和32 倍插值條件下本文所提算法的頻偏估計均方差的仿真值，兩者的頻偏估計性能非常相近，與CRB 相比，精度損失約1.2 dB。因此，實際工程中的插值倍數(shù)可取16，有助于進一步減少插值倍數(shù)所帶來的計算量。

表2 頻偏估計均方差Table 2 Mean square error (MSE) of frequency offset estimates

圖8 不同插值倍數(shù)對頻偏估計精度的影響Fig.8 Effect of different interpolation multiples on the accuracy of frequency offset estimation

在16 倍插值條件下，采用基于立方Farrow 結(jié)構(gòu)的IDS 算法對基帶信號進行頻偏補償。圖9 給出了GMSK 基帶信號頻偏補償前后的相位星座分布，仿真的信噪比為30 dB，頻偏分布 (fd) 為 0.1%fs， 1%fs。在圖中，紅圈為理論相位分布點，藍圈為實際的信號相位分布。通過觀察發(fā)現(xiàn)，頻偏補償前的信號相位雜散分布，同時沿單位圓發(fā)生旋轉(zhuǎn)，偏離理論分布點，而頻偏補償后的信號相位重新收斂于理論位置。由此可以得出，基于立方Farrow 結(jié)構(gòu)的IDS算法估計的載波頻偏值能夠有效地糾正GMSK 基帶信號的相位軌跡。

圖9 基帶信號頻偏補償前后的相位星座圖Fig.9 Phase constellation before and after frequency offset compensation of baseband signal

5 結(jié) 論

在GMSK 信號的載波同步問題上，為了進一步提高H&P 算法的載波頻偏估計精度，本文提出了一種基于立方Farrow 結(jié)構(gòu)的插值細搜算法，在FFT 粗搜索的基礎(chǔ)上進一步地細搜索，使用立方Farrow插值結(jié)構(gòu)在由FFT 粗搜索所確定的細搜區(qū)域內(nèi)進行小數(shù)倍頻的插值，確定最高插值譜線，并將其和粗搜索的最高譜線進行比較，取幅值最高譜線的頻點作為載波頻偏的估計值。通過MATLAB 仿真，在前導(dǎo)序列長度為64 的條件下，首先分析了基于立方Farrow結(jié)構(gòu)的插值細搜算法的頻偏估計性能，然后分析了頻偏估計性能和插值倍數(shù)的關(guān)系，最后再觀察頻偏修正后的相位星座收斂情況。仿真結(jié)果表明，本文所提出的基于立方Farrow 結(jié)構(gòu)的插值細搜算法能夠在H&P 算法的基礎(chǔ)上有效提升頻偏估計精度，在插值倍數(shù)為16 的時候具有逼近克拉美羅界的頻偏估計性能，信噪比估計損失僅為1.2 dB，具有良好的性能。