基于模擬退火粒子群算法與小沖桿試驗確定材料塑性性能的方法

單應強， 鐘繼如， 王瓊琦， 關凱書

（華東理工大學機械與動力工程學院, 承壓系統與安全教育部重點實驗室, 上海 200237）

近年來，長距離油氣輸送管道發展迅猛，管道在高溫、高壓、易腐環境中長期工作極易出現力學性能下降、脆化、甚至開裂等失效情況。為了保證管道在役期間的安全工作，需要對其力學性能進行測試評價。雖然常用的測試手段如單軸拉伸試驗、緊湊拉伸試驗等已較為成熟，但其所需的試樣尺寸均較大，取樣對管道的破壞不可避免，在一些特定的區域部位，甚至無法獲得所需尺寸的試樣。小沖桿試驗作為一種可以在在役管道上，以近乎“無損評價”的測試方法獲得了越來越多的關注[1-2]，其試樣尺寸一般為?10 mm×0.5 mm，通過對圓形試樣中心進行擠壓加載直至斷裂，得到小沖桿試驗的載荷-位移曲線，從而對材料性能進行評價。

目前通過小沖桿試驗評價材料的單軸拉伸力學性能已有了很大的進展。在強度方面，韓浩[3]、Zhong[4]、徐亮[5]等分別通過經驗關聯、數據庫和試驗標定的逆向有限元方法，獲得了材料的屈服強度和抗拉強度。但在材料塑性指標上卻鮮有報道，目前從小沖桿試驗中獲取斷面收縮率和斷后伸長率，一般采用與小沖桿試樣斷口厚度和中心最大位移進行經驗關聯的方法[6-7]，然而由于試驗條件不統一，且試樣存在尺寸效應[8-9]、幾何非線性等問題，獲得的經驗公式并不能通用。

本文提出了一種基于模擬退火粒子群算法（SAPSO），從小沖桿試驗的載荷-位移曲線中，結合有限元模擬獲取材料斷后伸長率和斷面收縮率的方法。通過對小沖桿試驗曲線的反演標定，獲取材料的Johnson-Cook（J-C）本構模型參數，再利用獲得的材料參數模擬單軸拉伸試驗，從而得到材料的斷后伸長率和斷面收縮率。通過與單軸拉伸試驗結果對比，證明了該方法獲取塑性性能參數的可靠性。且相較于經驗關聯的方法，本文提出的方法無需進行大量實驗，更為高效，成本更低。

1 試驗部分

1.1 試驗材料

本文使用的材料是X65 和X70 管線鋼，試樣取自X65 和X70 管線鋼弧板。在垂直、平行軋制方向分別切取拉伸試樣；沿厚度方向切取小沖桿試樣。取樣方式如圖1 所示。

圖1 試樣切割示意圖Fig.1 Schematic diagram of sample cutting

1.2 單軸拉伸試驗及結果

單軸拉伸試樣選擇光滑圓棒，根據GB/T 228.1—2010 進行加工，其標距段尺寸為 ? 5 mm×25 mm。試樣的具體尺寸如圖2 所示。由于材料體積受限，因此每個方向只進行2 次平行試驗。采用平行試驗取平均值的方法，在型號為MTS Landmark 370.10 的拉伸試驗機上進行試驗，獲取X65 和X70管線鋼的強度和塑性性能。

圖2 拉伸試樣尺寸圖（單位：mm）Fig.2 Size diagram of tensile specimen (Unit: mm)

X65 及X70 管線鋼的強度和塑性性能如表1所示。從表中結果可知，X65、X70 管線鋼不同取樣方向上的斷后伸長率和斷面收縮率較為接近，因此在后文中取不同取樣方向上的平均值作為參考。

表1 材料單軸拉伸性能Table 1 Uniaxial tensile properties of materials

1.3 小沖桿試驗及結果

按照GB/T 29459.1—2012 從弧板中切割小沖桿試樣，加工并研磨至 ? 10 mm×(0.5±0.01) mm。將研磨后的小沖桿試樣在11 μm(1 200 目)砂紙上稍稍打磨，以確保試樣表面粗糙度相同。隨后，每種材料在SPT-10 型微試樣測試機上進行3 次小沖桿試驗。本文采用的小沖桿試驗裝置的示意圖如圖3所示。小沖桿試驗中采用氮化硅陶瓷珠，直徑為2.5 mm。下夾具孔徑為4 mm 且有0.2 mm 的倒角。加載速度為0.2 mm/min，試樣在陶瓷珠的壓力下發生變形直至開裂，并通過傳感器記錄此期間的載荷-位移曲線。圖4 所示為小沖桿試驗典型的載荷-位移曲線，小沖桿試驗的載荷-位移曲線和常規拉伸試驗的曲線類似，可分為4 個不同的階段[7,10-11]：Ⅰ為彈性彎曲變形階段；Ⅱ為彈塑性彎曲階段；Ⅲ為塑性強化階段；Ⅳ為材料損傷軟化和斷裂階段。

圖3 小沖桿試驗裝置示意圖Fig.3 Schematic diagram of small punch test device

圖4 小沖桿試驗典型載荷-位移曲線及分段Fig.4 Typical load-deflection curves and segments of small punch test

在X65 和X70 管線鋼弧板上分別切取3 個小沖桿試樣，進行平行試驗。其載荷-位移曲線如圖5 所示。從圖中可以看出，兩種材料的3 條平行試驗曲線重合度較高，說明制樣精良，所測得的載荷-位移曲線穩定可靠。在后文中，采用3 條曲線中的中間條作為目標曲線進行試驗。

圖5 X65 和X70 管線鋼小沖桿載荷-位移曲線Fig.5 Load-deflection curves of small punch test for X65 and X70 pipeline steels

2 基于模擬退火粒子群算法的反演方法

2.1 模擬退火粒子群算法

智能算法在有限元模擬的迭代計算當中負責改變輸入有限元模型的材料參數，優秀的算法能夠以更快的速度和準確度確定材料的J-C 本構參數。粒子群算法由Kennedy 和Eberhart 在1995 年提出[12-13]，其主要特點為信息共享，粒子群不斷調整自身的位置、前進方向和前進速度，最終逐漸收斂至最優解。粒子群算法的缺點在于多極值的情況下，易收斂至局部最優解[14]。模擬退火算法由Kirkpatrick 等在1983 年提出[15]，其模擬了固體物質升溫、保溫和冷卻3 個階段，具有良好的搜索全局最優解的能力。本文采用模擬退火粒子群智能算法作為材料參數迭代的基礎。模擬退火粒子群算法的優越性已有多位學者進行測試論述，劉愛軍等[16]采用了7 個標準測試函數對模擬退火粒子群算法進行了測試。結果表明在連續單峰函數方面，相比遺傳算法，模擬退火粒子群算法搜索精度比其大2 個數量級、且收斂時間是其1/3；在復雜非線性多峰函數方面，對比遺傳算法、粒子群優化算法、量子粒子群優化算法、協同粒子群優化算法，模擬退火粒子群算法收斂速度及精度依舊具有明顯優勢。文獻[17-19]的研究結果也均表明模擬退火粒子群的優越性。

模擬退火粒子群算法的原理與粒子群算法基本一致，但在粒子的更新迭代方式上存在差異，其粒子更新法則如下所示：

式中：pi,j為個體極值，下標i、j分別為第j維度空間的第i個粒子， ω 為慣性權重，c為學習因子，r為[0,1]間的隨機數， υi、xi分別為粒子的速度向量和位置，t為迭代次數，pg_plus∈pi，按照Metropolis準則接受差解的方法更新粒子[20]：

隨著計算的進行，退火溫度Tr逐漸降低，算法接受差解的概率也隨之下降直至為0，其退火溫度的控制由以下函數控制：

式中： γ 為退火系數。

2.2 J-C 本構模型參數的獲取

Johnson 等[21]在1983 年對多種材料的本構參數進行了標定，其提出的模型結構簡單，意義明確，被大量應用于有限元軟件中。本文基于有限元反演方法，利用有限元模擬從小沖桿試驗的載荷-位移曲線中確定材料的J-C 本構模型參數。J-C 本構方程分為兩部分，第1 部分描述材料的彈塑性變化：

其中： σ 為等效應力，Q為屈服應力，B為硬化模量，εp為真實塑性應變，n為硬化指數，C為應變率指數， ε 為應變率， ε0為參考應變率，m為溫度指數，T為材料融化的開爾文溫度。

第2 部分描述材料的損傷演化：

其中： εf為斷裂應變，Di為材料參數， σ?為應力三軸度。J=1 時，材料單元發生損傷演化， Δε 為塑性應變增量。當單元發生損傷演化時，還需確定材料的剛度退化參數Dc。

對于準靜態的室溫小沖桿試驗，不考慮應變速率及溫度的影響，J-C 本構方程可簡化為以下形式：

因此需要確定的J-C 本構模型參數分別為：Q、B、n、D1、D2、D3、Dc。為了求解方便，加快求解收斂速度，將以上未知參數分為塑性參數組和損傷參數組，對其依次進行迭代提取，并假定D1=0 。其中塑性參數與小沖桿試驗曲線中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ階段相關，損傷參數與Ⅳ階段相關，因此在迭代對比時采用不同區段的曲線。根據曲線趨勢，彈塑性參數對比段選用位移0～1.2 mm 間的曲線，損傷對比參數段則為位移從1.2 mm 至曲線末端。其具體分段對比如圖6 所示。

圖6 參數對比區段Fig.6 Parameter comparison section

使用模擬退火粒子群算法從小沖桿試驗載荷-位移曲線中提取材料J-C 本構模型參數的流程如圖7所示。首先隨機預設一組材料的塑性參數Q、B、n，將其輸入有限元軟件中模擬小沖桿試驗，獲得對應的載荷-位移曲線；然后將獲得的曲線與小沖桿試驗彈塑性參數對比段進行對比，計算二者之間的偏差，其偏差可視為預設材料參數的函數，表示為：

圖7 有限元反演方法獲取材料參數流程圖Fig.7 Procedure of obtaining material parameters by inverse method

其中：f(Q,B,n) 表示試驗曲線和模擬曲線的誤差，N為數據點個數，Fj,FE、Fj,Exp分別表示相同加載深度下的模擬載荷與試驗載荷。

獲取兩條曲線誤差之后，判斷是否滿足要求（設為1%），若滿足要求，則計算終止，預設參數即為材料塑性參數；若不滿足要求，則通過智能算法改變輸入參數，進行新一輪的對比計算，直至誤差低于1%。獲取材料塑性參數后，將其作為已知條件，代入有限元模擬，以小沖桿試驗曲線的損傷參數對比段為目標，迭代計算損傷參數，其具體計算流程與塑性參數組類似。

2.3 小沖桿試驗有限元模型的建立

本研究采用的有限元軟件為ABAQUS。由于小沖桿試驗的模型及邊界條件均具有軸對稱的性質，因此將其簡化為二維軸對稱模型。陶瓷珠及上、下夾具設置為剛體，試樣為變形體，泊松比為0.3，彈性模量設為200 GPa。上、下夾具、陶瓷珠與試樣間設置接觸，摩擦因數采用0.2。單元選擇四節點軸對稱縮減積分單元（CAX4R），網格尺寸為0.05 mm×0.05 mm。圖8 為小沖桿試驗的有限元模型示意圖。

圖8 小沖桿試驗有限元模型示意圖Fig.8 Schematic diagram of small punch test finite element model

2.4 模擬小沖桿曲線的計算結果

X65 管線鋼經過多輪計算，彈塑性對比段最小誤差為1.24%，損傷對比段誤差為0.80%；X70 管線鋼經過多輪計算，彈塑性對比段誤差為0.99%，損傷對比段誤差為0.44%。兩種管線鋼對比提取的J-C 本構模型參數如表2 所示，其參數所對應的模擬曲線如圖9 所示。從圖中可以看出，模擬曲線與試驗曲線已相當接近。在曲線末端，模擬曲線比試驗曲線略微上翹，原因可能是在實際試驗中，試樣由于并非完全均勻，裂紋一般在最薄弱處起裂，而在有限元模擬中，其裂紋擴展仍是軸對稱的[22]。

表2 材料J-C 模型參數計算結果Table 2 Parameter calculation results of J-C model for materials

圖9 模擬曲線與試驗曲線的比較Fig.9 Comparison between simulation curve and test curve

3 單軸拉伸試驗有限元模擬

為了將提取的J-C 本構模型參數用于模擬單軸拉伸試驗，從而獲取材料的斷后伸長率和斷面收縮率，建立了如圖10 所示的有限元模型。模型及邊界條件均具有軸對稱特性，因此將其簡化為二維1/2 平面模型，單元類型選用軸對稱單元（CAX4R）。模型尺寸與實際拉伸試樣尺寸相同。夾持端施加10 mm位移約束，平行段最右側施加x軸對稱約束。為了提高計算速度和精度，利用過渡網格對平行斷裂段進行網格加密，細化前最大網格尺寸為0.3 mm×0.3 mm，由于J-C 本構模型參數與網格尺寸相關，因此細化后網格尺寸仍為0.05 mm×0.05 mm。

圖10 單軸拉伸試驗有限元模型Fig.10 Finite element model of uniaxial tensile test

模擬得到塑性性能指標的計算參數如圖11 所示，圖中Lu為斷后標距，Ru為斷后截面半徑。

圖11 塑性指標的計算Fig.11 Calculation of plasticity index

斷后伸長率（A）和斷面收縮率（Z）的計算公式見式（10）和式（11）。

式中：L0是原始標距，S0為平行段原始橫截面積，Su為斷后試樣的最小橫截面積。

表3 所示為小沖桿試驗與單軸拉伸試驗測得的材料塑性結果對比。從表3 中的數據可以看出，通過以上方法，從小沖桿試驗的載荷-位移曲線獲得的材料塑性參數中，僅X65 管線鋼的斷后伸長率與試驗結果相差較大，相對誤差為23.58%，但其絕對誤差僅為4.48%；X65 管線鋼的斷面收縮率及X70 管線鋼的斷后伸長率、斷面收縮率均與試驗結果較為接近，誤差均在10%以內，X65 管線鋼的斷面收縮率、X70 管線鋼的斷后伸長率和斷面收縮率的絕對誤差分別為3.07%、1.91%和1.41%。

表3 小沖桿試驗和單軸拉伸試驗測得的材料塑性指標結果對比Table 3 Comparison of the results of material plasticity index measured by small punch test and uniaxial tensile test

采用此種方法獲得的X65 管線鋼斷后伸長率誤差偏大的原因是：在基于模擬退火粒子群算法，對小沖桿試驗曲線進行迭代逼近時，模擬的X65 管線鋼小沖桿曲線的彈塑性對比段與實際曲線的相對誤差為1.24%，未能如同X70 管線鋼一樣收斂至1%以下，且損傷對比段曲線誤差也大于X70 管線鋼。這是由于J-C 本構模型作為一個用于金屬大變形、高應變率和高溫情況的理想剛塑性強化模型[23-24]，實際鋼材的應力-應變關系與理想模型存在一定的差異。最終導致所獲取的J-C 本構參數及塑性參數仍與實際值存在一定誤差。從X70 管線鋼的數據也可以看出，通過智能算法，誤差函數收斂值越小，最終獲得的J-C 本構模型參數及模擬獲得的塑性參數結果將越接近實際值。除此之外，X65 管線鋼實際斷后伸長率為19%，模擬獲得的斷后伸長率與實際值的絕對誤差值小于5%，但由于本身對比值較小，因此相對誤差比較大。

在有限元模擬小沖桿試驗以及單軸拉伸試驗的過程中，本文采用了Johnson-Cook 模型來描述材料的本構關系，且假設單軸拉伸試驗以及小沖桿試驗的真應力-應變曲線一致，即描述小沖桿試樣變形的真應力-應變曲線也能用于描述單軸拉伸試樣的變形。這兩種假設均廣泛應用于小沖桿試驗的研究[25-29]，因此認為本文建立的從小沖桿試驗評價材料塑性性能的方法具有普適性。

因此，借助模擬退火粒子群算法，從小沖桿試驗的載荷-位移曲線中，通過有限元反演方法可以較為準確地獲取材料J-C 模型本構參數，并可用于有限元模擬，從而準確高效地評價金屬材料的塑性性能。

4 結 論

由于小沖桿試驗存在尺寸效應以及幾何非線性的問題，從小沖桿試驗獲取材料的斷后伸長率和斷面收縮率一直是一個難題，以往的少數研究均采用經驗關聯的方法，適用范圍有限。本文借助了有限元模擬和模擬退火粒子群算法，實現了從小沖桿曲線中提取材料J-C 本構參數，并通過模擬單軸拉伸試驗獲得材料的斷后伸長率和斷面收縮率，從而建立了小沖桿試驗評價材料塑性性能的方法。該方法基于被廣泛采用的單軸拉伸試驗與小沖桿試驗真應力應變曲線一致假設，因此具有普適性。

通過這個方法獲得的X65 管線鋼的斷后伸長率的絕對誤差為4.48%，由于比對值相對較小，其相對誤差為23.58%，斷面收縮率絕對誤差為3.07%，相對誤差為3.70%；X70 管線鋼的斷后伸長率絕對誤差為1.91%，相對誤差為8.20%，斷面收縮率的絕對誤差為1.41%，相對誤差為1.72%。說明通過該方法從小沖桿試驗曲線中獲取的材料塑性參數具有一定的工程參考價值，為評價材料塑性性能提供了另一種可靠途徑。